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一类不等式竞赛题的统一证明


第 1 2期  夏松 明: 谈 一 类 不 等 式 竞 赛 题 的统 一 证 明   ? 4 1?   一 类 不 等 式 竞 赛 题 的 统 一 证 明  ●夏松 明  ( 富阳中学 浙江富阳 3 1 1 4 0 0 )   若 有 一个人 每次 最 多 只能跳 5米 远 , 有 一 条河 , 河宽 6米 , 此人 想通 过一 系列 的跳跃 , 从 河 的一边 跳 到

  另一 边 , 则 某个 时刻 , 他 一定 落人 河 中.   上 面的现象可引申为一个数学命题 : 数轴上有一区间[ a , b ] ( 或( n , b ) ) 和一点集 A={  ,  , …} , 满  足  <   : <…, 且任取 i = 1 , 2 , …都有 … 一   ; ≤6 — 0 ( 相应为 … 一  ; < b — a ) . 若 区间 [ o , b ] ( 或( a , b ) )   的左 、 右 2侧 都 有 A的元素 , 则 必存 在某 一个  , 使 得  ∈[ a , b ] ( 或( a , b ) ) .   在 数学竞 赛 中常 出现 与 此命题 相关 的不 等式 证 明 问题 .   n  例1  已 知实数  ,  , …,  ( n > 2 ) , 满足 l   X i } >1 , l  I ≤1 ( i = 1 , 2 , …, n ) . 求证: 存在正整数k ,     。 n    .   . 使得 。 I   ’   一   1   l ≤1 .   ( 第 5届 中国西部数 学奥 林 匹克 竞赛 试题 )   证 明  令 g ( o )   … ∑  , g ( . ] } ):∑   = 一 1   i =1   i =   +1   ∑戈 。 ( 1 ≤J i } ≤  一 1 ) , g ( n )   ∑  , 则 对于  = 0 , 1 ,   = i: 1   ,   一 1 , 有  ?  I   g ( . j } +1 )一g ( 后 )l =2   I   + 1   f ≤2 ,   即每 次 改变量 不超 过 2 . 设 区间为 [ 一1 , 1 ] , 由题 意知 g ( o )隹 [ 一1 , 1 ] , 又 因为g ( o )+ g (  )=0 , 所 以g ( o )   和g ( n ) 位于 区问[ 一1 , 1 ]的2 侧, 因此在 g ( o ) 一g ( n )的过程 中, 必有一个正整数  , 使得 g (   )∈[ 一1 ,     . H  .  1 ] ,   ∑   一∑   ≤1 .   例2  设S   =1 +   1+ …+ ÷, n 是 正 整数 . 证明: 对满 足0 ≤0 < 6 ≤1 的 任 意实 数0 , b , 数列{ s L   一   [ s   ] } 中有无穷多项属于( a , 6 ) ( 这里 [   ] 表示不超过实数  的最大整数 ) .   ( 2 0 1 2年 全 国高 中数 学联 赛加 试 试题 )   证 明  先设 无 数 多个 区 间为 I o= ( a , 6 ) , j 1= ( a+1 , 6+1 ) , …, j  = ( a+n , 6+  ) , …. 易知 S  一   [ S   ]∈( a , 6 )当且仅 当 S   位 于 以上某 个 区间 内. 再 由高 等数 学 中的 一个 事 实 : 当 n越 来越 大 时 , S  =1

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