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任意性与存在性综合问题的解答策略


解 题 技 巧 与 方 法 
。  . 

稚 

. - l , - .  
● 

馁意性  番在   憔缝合 题 解答策略 
◎陈达 勇   ( 宜 昌 市第 十 八 中 学 4 4 3 0 0 7 )  

综 上 所 述 , (   ) 在 [ o , 1 ] 上 的 值 域 为 [ o , ÷ 】 .  
当   ∈ [ 0 , 1 ] u J , - , 詈  [ 0 , 詈] , 又 n > 0 , 所 以 g (   ) 在  
[ 0 , 1 ] 上单 调递 增 , 所以 g ( o ) ≤g (   ) ≤g ( 1 ) 即1 一 a ≤g (  ) ≤  
1一  a


故   (   ) 在[ o , 1 ] 上的值 域为[ 1 一 口 , 1 一 ÷] .  

解,(   ) …< g(   ) …得 0 < 0 < ÷,  
解 g(  ) … < - 厂(  )   得 a>2 ,   所  以   M  =   { a I 厂(  ) … < g(  ) …) u  

{ 0   0 g(   ) …< 厂 _ (   )  ) =( 0 , ÷) u( 2 , +。 。 ) , 贝 0   C   M=  
…   小

{ 喜 3 篆 数  
B . [ 1 , z )   D . [   丢]  

[ ÷ , 2 】 , 其 中 U : ( o , + 。 。 ) , 故 应 选 C .  


般性结论 :   。 ∈G 。 ,  

∈c   , 使 得f (  。 )=g (  : ) ,  

等 价 于 函数 , (  ) 在 C 。 上 的 值 域 A与 函 数 g (  ) 在 C  上 的  值 域  的交 集 非 空 , 即A   nB≠  .  
2  

g (  )= a s i n   ' I T   一口+1 ( 。>0 ) , 若 存 在  1 ,   2 ∈[ 0 , 1 ] , 使 得 

例2   已知 _ 厂 (  )=  +   , g (  )=  + l n x , 其 中 n> 0, 若 

A . ( ÷ , 丁 3 ]   c . [ ÷ , 2 】  

对任意的   ,   ∈[ 1 , e ] 都有 f (   ) ≥g (   : ) 成 立, 求实数 a  
的 取 值 范 围.  

分析

假设 _ 厂 (  ) 、 g (  ) 的值 域 分 别 为 [  , n ] 和[ c , d ] ,  

先 在 直 角坐 标 系 中 画 出草 图 , 让[ m, n ] 固定 , [ c , d ] 变化 , 则 
可 分 为六 种 情 况 : n<c 、 m <c<   <d 、 m <c <d<  、 c<m <   d</ z 、 d< m、 c <m <   <d , 再用 条件 确定 相应 的情 况 , 最 后 

检 验取 等 时是 否 符 合 . 如本 例可 以分 析得 出 d ≤ m 符 合 题  意, 则 有 g(  ) …≤ ,(  )   , 所以{ o l   g(  ) … ≤_ 厂 (  ) …} 为 
所 求.  


f(  ) … 不符 合题 意 , 所 以 。的取 值 范 围 为 C   M, 其 中 U=( 0 ,  

对V   ,   : E[ 1 , e ] , 都有 f (  ) ≥g(  : ) , 等 价 于 

∈[ 1 , e ] 时 f( x ) … ≥g(  ) …。   当  ∈[ 1 , e ] 时, g   (  )=1 +—  > 0 , 所以g (  ) 在[ 1 , e ]  
上单调递增 , 所 以 g(  ) … = g ( e )=e +1 .  

因 为 厂(  )=1 一  

=  

, 令 厂(  )= 0结 合  e[ 1 ,  

当 ÷ Z     时  ) =   x 十 3 l   测  ) = 等  f   + J   l   > 0 ,  
 ̄ J l f (   ) 在 ( ÷ , 1 ] 上 单 调 递 增 ,   1 ) < , (   ) ≤ _ 厂 ( 1 ) 即  
1   9

e ] , a> 0得  = Ⅱ .  

① 当 0<a< 1时 , 厂( _  )>0 , 所 以f (  ) 在[ 1 , e ] 上 单 调 
递增 , 所 以 ,(  ) …= _ 厂 ( 1 ):o  +l , 解 ,(  ) … ≥g (  )   得 

a ≥ 、 / e 这与 0<  <1矛盾.  
②当 1 ≤a ≤e时 , 有: 当1 ≤   <a时 厂 (  )<0 , 当 Ⅱ<   ≤e 时 ,( Ⅳ ) >0 , 所 以f (  ) 在[ 1 , a ] 上单调 递减 , 在[ a , e ]   上单调递增 , 所 以 ,(  ) …= , ( a )= 2 a , 解- 厂(  )   ≥g(  ) … 
得 0 ≥   , 又 l ≤n ≤e , 所以   ≤口 ≤e .  
( 下转 8 6页 )  

< - 厂 (  ) ≤3 -   .  

当 0 ≤   ≤ ÷时 , , (   ) = 一   +   1 , 则 , (   ) 在   [ 0 , ÷ ] 上 单 调 递 减 , 所 以 , ( ÷ ) ≤ , (   ) ≤ _ 厂 ( 0 ) 即 0 ≤  
, (  ) ≤   1
. 

数 学 学 习 与研 究

2 0 1 5 . 7  

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戮?  
● 

解题 技 巧 与 方法 
稽  u  

根 据 几 何 图 形 的 特 性 建 立 

如图所 示 的直 角 坐 标 系, 则 
AA B C的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别  为 A ( 0 , 0 ) 、 B ( b , 0 ) , C( b c o s   口,  
b c o s ls f i n 口) .  
图 2 问 题 2在 直 角 坐 标 系 
中 的描 述 
图3   问 题 4在 直 角 坐标 系 中的 描 述 

\ 
D  

( 2 ) 几 何 问题 转化 为 代数 
问 题 

A C  =b 2 C O S   卢, BG  = b 2   s i n   卢, C D。= b 2 C O S   l f s i n   卢,  

则  +  = 古 ( 南+ 南) =  

=  .  

( 2 ) 根 据 题 意 分 析 求 解 的 思 路  参数 “ ,  , f包 含 在 二 个 相 似 AO F   C和 △B   F : A   中, 可 

用相似三角形对应边成 比例的关 系建立 参数 “ 、  、 厂 的 代 数 
关系式 , 故根据 A   O F  ̄ C— AB 2 F 2 A 2 , 得 


3 . 几 何 坐 标 法 在 物 理 学 透 镜 成 像 光 路 计 算 中 的 应 用 
例 3   已知 物体 A B垂 直 于 凸 透 镜 的 主 轴 , 与 主 轴 平 行  的光线 A C经过 凸透 镜 折 射后 通 过 焦 点 F , , 光线 A O通过 凸   =   即  =  

透 镜 中心 0, 穿过 凸透 镜 后 方 向不 变 , 与光 线 C F   相 交于 A 。  
点, A 2 B   是倒 立 于主轴 上物体 A B的像 , 物距 O B=u , 像 距  O B 2 = 口 , 焦距 O F 2 =O F 1 = ,  
求证 :  
证 明 
u  

∞一J  

化简 , 得  +   :   .  
u   J  

4 . 结 论  几何 坐标 法 的 核 心 思 想 是 建 立 一 个 合 适 的 坐 标 系 , 将  所 关 心 的几 何 点 用 坐 标 通 过 建 立 坐 标 系 的 方 法 对 应 起 来 ,   对应 的 坐 标 在 几 何 约 束 条 件 下 表 示 成 代 数 方 程 进 行 求 解 ,   这是 我们 对 笛 卡尔 几何 坐标 法 思 想 的启 悟 .  

+  

:   .  
_ ,  

( 2 ) 建 立 直 角 坐 标 系 

[ 参考文献 】  

已知 O B= H , O B 2 =  , O F 2 = , 设 /A O B :/A 2 O B 2 = 卢.  
根据 题 意 建 立 如 图所 示 的 直 角 坐 标 系, 则 A B =u t  ,  
A2 B2=  t  

[ 1 ] 邓鹏 , 康 纪权 , 孙 海.初 等 几 何 研 究. 北 京 : 高 等 教 
育 出版 社 , 2 0 1 2 . 2 .  

[ 2 ] 李 中平 .平 面 几 何 分 类 证 明.重 庆 : 西 南师范 大学  
出 版 社 ,2 0 1 1 . 7 .  

点 A , B, C , A   , B : 的 坐 标 分 别 为  (一“ , u t g 1 3 ) , B(一¨ ,  
0), C( 0, “ t g J 3 ), A 2 ●  , 一v t g 1 3 ), B2 (  , 0) .  

[ 3 ] 王 宪 昌.数 学 思 维 方 法. 北 京 : 人 民 教 育 出版 社 ,  
2 01 0, 3.  

( 上接 8 4页 )  

③ 当 a>e时 , /(  )<0 , 所 以f (  ) 在[ 1 , e ] 上 单 调 递 


2  

时  (   ) > 0 , 所 以当   ∈( 0 , 2 ) 时  (   ) …= _ 厂 ( 1 ) =一 ÷.  
对 于 函数 g (  )=   。一 2 b x+ 4 ,  f i e [ 1 , 2 ] .  

减, 所 以 ,(  ) … = , ( e )= e+   , 解l 厂 (  ) … ≥g(  ) …得。 ≥  


又 a>e , 所 以 a>e .  

( 1 ) 当 b<1 时, 可求 得 g(  ) … =g ( 1 )= 5— 2 6 ,  
1   1  

综 合 ① ② ③ 得 所 求 实 数。 的 取 值 范 围 是 『 L  },   二  + 。 。 1 ,   .  
般性结论 : 已知f (  ) 、 g(  ) 是 在 闭 区 间 D 上 的 连 续  函数 , 则对 V   ,   ∈ D使得 f (   ) ≤g (   ) , 等价 于 /(   ) … ≤  


解l 厂 (  ) … ≥g(  ) …得 b ≥   这与 b <1矛 盾 .  

( 2 ) 当l ≤b ≤2时 , 可 求 得 g(  ) …= g ( b )= 4一b   ,  
0 

g(  ) ….  

解_ 厂 (  ) …≥ g(   ) …得 b   ≥÷ 这与 1 ≤b ≤2 矛盾.  
( 3 ) 当b > 2时 , 可 求 得 g(  ) …= g ( 2 )=8— 4 6 ,  
1 7 

例3  已 知函 数, (   ) = l n   一 ÷  + —  一 1 , g (   ) =  一  
2 b x+ 4 , 若 对 任 意  ∈( 0, 2 ) , 存 在 , ∈[ 1 , 2 ] , 使f (  . ) ≥   g (   ) , 求 实 数 b的 取值 范 围.   分析 假 设_ 厂 (  ) 、 g (  ) 的值 域 分 别 为 [ m,  ] 和[ c , d ] ,   先在 直 角 坐标 系 中 画 出 草 图 , 让[ m, n ] 固定 , [ c , d ] 变化 , 则  可分为六种情况 :   <C , m <c<n<d , / T t <C<d<  , c <m <   d<n , d<m, c<m <n<d , 再用 条件 确定 相应 的情 况 , 最 后  检验取等时是否符合. 如本例 可 以分析 得 出 C ≤ m <d<n ,   d ≤m, c ≤m<r L ≤d符 合 题 意 , 则 有 g(  ) … ≤,(  )   , 所 以  { b I g(  ) …≤ ,(  ) …} 为所求.   解 依题意f (  ) 在( 0 , 2 ) 上 的最 小值 不小 于 g (  ) 在  [ 1 , 2 ] 上 的 最 小 值 即 ,(  )   ≥g(  ) …, 于 是 问题 可 转 化 为 
最值问题.  

解f (  ) …≥g (   )  得 6 ≥ 等.  
0 

r  1’ 

、  

综合 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 得实 数b 的 取 值 范围 是I   i 1 / , + *) ?  
般性结 论: 若 对 V   ∈C   ,   2∈ c 2 , 使 f(   )≥   g (  ) , 等价于, (  ) 在 c . 上 的最 小 值 不 小 于 g(  ) 在 c  上 


的 最 小值 , 即 f(  ) … ≥g(  ) …( 这 里 假 设 ,(  ) …, g(  ) … 
存 在) .   由此窥见 , 任 意 性 与 存 在 性 综 合 问 题 的 成 题 形 式 千 变 

万化 , 如任 意性 与 任 意 性 、 任意性 与存 在性 、 存 在 性 与 存 在  性 的组 合 , 值域开区间 、 半开半 闭区间 、 闭 区 间 的组 合 , 参 数  的渗入等 , 这些 都让 这类 问题 变 得 异 常 复 杂 , 如 果 我 们 一 味  地拘泥于结论 ( 结论众 多 , 很难准确记忆 ) , 则 往 往 会 让 思 维  僵化 , 难 于把 握 准确 的信 息 , 故而“ 两 个变量是 特点 , 数 形 结  合是手段 , 分类 讨论 来 转 化 , 值 域 最 值 是 目标 . ” 不 失 为 处 理 
这 类 问题 的一 个 基 本 策 略 .  

因 , (   ) = l n x 一 ÷   + 丢 一 1 , 所 以 厂 (   ) = ÷ 一 ÷ 一 嘉=  
二  


则 当 0<   <l时 , _ 厂(  )<0 ; 当 1<   <2  

数 学 学 习与 研 究

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