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高中数学课件:《指数函数及其性质


练习:
下列函数中,那些是指数函数 (1)

y ? 4x
y ? ?4 x

(2)

y ? x4
y ? (?4) x
x2

(3)

(4)

(5)

y ??

x<

br />
(6) y ? 4 (8)

(7)

y?x

x

y ? (2a ? 1)

x

1 (a ? 且a ? 1) 2

(1)、(5)、(8)为指数函数
2

用描点法作函数 y ? 2 和y ? 3 的图象.
x x

函 数 图 象 特 征

x
y=2x y=3x




-3
1/8

-2
1/4 1/9

-1
1/2 1/3
x

0
1 1

1
2 3

2
4 9

3
8 27


… …

… 1/27

yy ? 3

y ? 2x

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x
3

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象. 2 3
x … -3 -2 4 9
1 x y?( ) 3

-1 2 3 Y

0 1 1

1

2

3



y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 x y?( ) 2

1/2 1/4 1/3 1/9

1/8 … 1/27 …

思考:若不用描点法, 这两个函数的图象又该

如何作出呢?

Y=1
O X
4

y

1 x y?( ) 2

8 7 6 5 4 3 2 1

y =2x

-3 -2 -1 0 1 2

3

x

5

1 x 观察右边图象,回答下列问题: y?( ) 2 问题一: 图象分别在哪几个象限?

1 x y?( ) 3

y=3X

Y

y = 2x

答:四个图象都在第____象限 Ⅰ、Ⅱ
问题二: X O 图象的上升、下降与底数a有联系吗? a>1 0< a<1 答:当底数__时图象上升;当底数____时图象下 降. 顺 底数a由大变小时函数图像在第一象限内按____ 时针方向旋转.
注: a>1, a越大,y=ax越靠近坐标轴;

Y=1

问题三: 图象中有哪些特殊的点? 0<a<1, a越小, y=ax越靠近坐标轴;

(0,1) 答:四个图象都经过点____.

6

2.指数函数的图象和性质
a>1
y

0<a<1
y=ax (0<a<1) y=1
x 0

图 象
a>1 图 象 特 征

y=1 0

y=ax (a>1) (0,1)

y
(0,1) x

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近。 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?).



2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1. 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
7



二、新 课
3、例 题: 例1、求下列函数的定义域:
①、 ③、

y?2

x ?1
x

2

②、

f ( x) ? 1 ? a
x?R

,(a ? 0, a ? 1)
x

?1? y ?? ? ?3?

3? x

解、 ① ③


x

由 3 ? x ? 0,得 x ? 3

x 0 即 a ? a 由 1-a ? 0,得 a ? 1 当 a ? 1时,x ? 0;当 0 ? a ? 1时,x ? 0

8

2 .求下列函数的定义域.
(1) y

?2

x ?4

(2)

y ? 0.7

1 x

(3) y ? 3 (5) y 为 R.

x ?1

(4) y

?2

1 x ?4

?5

x ?1

解:(1)因为可以在整个实数范围内取值,所以定义域

(2)因为可以在整个实数范围内取值,而 x ≠ 1时有 意义,所以定义域为[1,+ ∞).
9

二、新 课
例2、比较下列各组数的大小:
①、 ③、

1.7 ,1.7

2.5

3

②、

1.70.3 , 0.93.1

?3? ?4? ? ? ,? ? ?4? ?3?

1 6

?

1 5

解:① 函数y ? 1.7 x 在(??, ??)是增函数, 又? 2.5 ? 3,

?1.72.5 ? 1.73
?4? ②、 ? ? ?3?
? 1 5

?3? ?? ? ?4?

1 5

?3? ?4? ?? ? ? ? ? ?4? ?3?
③、

1 6

?

1 5

1 1 ?3? 函数y ? ? ? 在R是减函数, 又? ? , 6 5 ?4?

x

?1.70.3 ? 1而0.93.1 ? 1,

?1.70.3 ? 0.93.1

10

二、新 课 小结比较指数大小的方法:
①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的特征是 同底不同指(包括可以化为同底的),若底数是参变量要 注意分类讨论。 ②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特征是不同 底不同指。

1) 4

0.3

3) 0.1

0.3

? 4?0.4 ? 0.1?0.4

2) ( ) 4) 4

4 0.3 3
0.3

? 30.3 ? 3
0.3

5) 4?0.3 ? 0.3?0.4
11

三、小结

1、指数函数概念;
函数y = ax(a?0,且a ?1)叫做指数函数, 其中x是自变量 .函数的定义域是R .

2、指数比较大小的方法;
①、构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的 特征是同底不同指(包括可以化为同底的),若底 数是参变量要注意分类讨论。
②、搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特征是不同 底不同指。
12

3、指数函数的性质:
(1)定义域: ( ?? ,?? ) 值 域: ( 0 ,?? ) (2)函数的特殊值:( 0 ,1 ) (3)函数的单调性:a

? 1, 单调增 0 ? a ? 1, 单调减

◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而
形象的方法,记忆指数函数性质时可以联想它的图像;

? P65,习题2.1 :5、6、7、8。
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