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历年高考解析几何解答题(理科)


乐教、诚毅、奉献、创新

四川高考理科数学试题 2006 年—2011 年解几解答题
1.2006 年四川高考 21 题) ( 已知两定点 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ), 满足条件 P F 2 ? P F 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E,直线y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。如果 A B ? 6 3 , 且 曲线 E 上存在点 C,使 O A ? O B ? m O C , 求 m的 值 和 ? A B C 的 面 积 S 。
??? ? ??? ? ????
??? ?

??? ?

??? ?

2.(2007 年四川高考 20 题)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆

x

2

? y

2

? 1 的左、右焦点.

4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 · PF 2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M ( 0 , 2 ) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中
O 为坐标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

1

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3.(2008 年四川高考 21 题)设椭圆 心率 e
? 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F 2

,离

,右准线为 l , M 、 N 是 l 上的两个动点, F1 M ?F 2 N ? 0 .
???? ?
???? ?

????? ???? ?

(Ⅰ)若 | F1 M |? | F 2 N | ? 2 5 ,求 a 、 b 的值;
????? ???? ?

?????

(Ⅱ)证明:当 | M N | 取最小值时, F1 M ? F 2 N 与 F1 F 2 共线.

?????

4.(2009 年四川高考 20 题)已知椭圆

x a

2 2

?

y

2

b

? 1( a ? b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,

离心率 e ?

2 2

,右准线方程为 x ? 2 。

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F 2 M ? F 2 N ? 程。
????? ???? ? 2 26 3

,求直线 l 的方

2

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5.(2010 年四川高考 20 题)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴
2 1

上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线 交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.
w_w w. k#s 5_u.c o*m

3

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6.(2011 年四川高考 21 题)椭圆有两顶点 A ? ? 1, 0 ? 、 B ?1, 0 ? ,过其焦点 F ? 0 ,1 ? 的直线 l 与 椭圆交于 C 、 D 两点,并与 x 轴交于点 P ,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q ⑴当 CD ?
3 2 2 时,求直线 l 的方程;

⑵当点 P 异于 A 、 B 两点时,求证: OP ? OQ 为定值。

4

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四川高考理科数学试题解几答案
1. (2006 年四川高考 21 题)解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? ? 为焦点的双曲线的左支, 且 c ?
2 2

2 , 0 , F2

?

?

2,0

?

2 , a ? 1 ,易知 b ? 1

故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1 ? x ? 0 ?
? y ? kx ? 1 ?x ? y ? 1
2 2

设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,

由题意建立方程组 ?

消去 y ,得 ? 1 ? k 2 ? x 2 ? 2 k x ? 2 ? 0

又已知直线与双曲线左支交于两点 A , B ,有
? 1? k ? 0 ? 2 2 ? ? ? ? 2 k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ?2k ? x1 ? x 2 ? ? 0 2 ? 1? k ? ?2 ? x1 x 2 ? ? 0 2 ? 1? k ?
2

解得 ? 2 ? k ? ? 1

又∵ A B ?
?

1 ? k ? x1 ? x 2 ?
2
2

1? k

2

?

? x1 ?

x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

1? k

2

?

?2 ? ?2k ? ? 2 ? 4? ? 2 ? 2 1? k ?1? k ?
2

?1 ? k ? ? 2 ? k ?
2 2

?1 ? k ?
2

2

依题意得

2

?1 ? k ? ? 2 ? k ?
2

?1 ? k ?
2

2

? 6 3

4 2 整理后得 2 8 k ? 5 5 k ? 2 5 ? 0

2 ∴k ?

5 7

2 或k ?

5 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

故直线 A B 的方程为
??? ?

5 2

x ? y ?1? 0

设 C ? x c , y c ? ,由已知 O A ? O B ? m O C ,得 ? x1 , y 1 ? ? ? x 2 , y 2 ? ? ? m x c , m y c ?
5

??? ?

????

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∴ ? m xc , m yc ? ? ?
? ? x1 ? x 2 m
2k
2 2

,

y1 ? y 2 ? ? , m ?
2 k ?1
2

?m

? 0 ? 又 x1 ? x 2 ?

2k k ?1
2

? ?4 5



y 1 ? y 2 ? k ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?

k ?1

?2 ?

? ?4 5 8 ? ? 8 ∴点 C ? , ? ? ? ? m m ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

80 m
2

?

64 m
2

? 1 得 m ? ? 4 ,但当 m ? ? 4 时,

所得的点在双曲线的右支上,不合题意∴ m ? 4 , C 点的坐标为 ? ? 5 , 2 ?
C 到 A B 的距离为
5 2 ? ? 5 ? 2 ?1 ? ? 5 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ?
2

?

?

1 3

∴ ? A B C 的面积 S ?

1 2

?6 3?

1 3

?

3

2.(2007 年四川高考 20 题)解:(Ⅰ)解法一:易知 a ? 2 , b ? 1, c ? 所以 F1 ? ? 3 , 0 ? , F 2 ? 3 , 0 ? ,设 P ? x , y ? ,则
???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? ? 3 ? x , ? y ,

3

?

??

3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2
2

?

x

2

?3?

1 4

4

?3x

2

? 8?

因为 x ? ? ? 2, 2 ? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, P F1 ? P F 2 有最小值 ? 2 当 x ? ? 2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, P F1 ? P F 2 有最大值 1 解法二:易知 a ? 2 , b ? 1, c ?
3 ,所以 F1 ?

???? ???? ?

???? ???? ?

?

3 , 0 , F2

?

?
2

3 , 0 ,设 P ? x , y ? ,则
2

?

???? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? P F1 ? P F1 ? P F 2 ? P F1 ? P F 2 ? c o s ? F1 P F 2 ? P F1 ? P F 2 ?

???? 2 ? ????? ? P F 2 ? F1 F 2 ???? ???? ? 2 P F1 ? P F 2

?

1 ? x? ? 2 ?

?

3

?

2

? y ? x?
2

?

3

?

2

2 2 2 ? ? y ? 1 2 ? x ? y ? 3 (以下同解法一) ? ?

6

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(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2 , A ? x1 , y 2 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,
? y ? kx ? 2 ? ? 2 1? 2 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k ? ? x ? 4 k x ? 3 ? 0 2 4? ? y ?1 ? ? ? 4

∴ x1 ? x 2 ? ?

4k k ?
2

1 4

, x1 ? x 2 ?
2

3 k ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

? ?

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4 k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ? A 0 B ? 9 0 ? co s ? A 0 B ? 0 ? O A ? O B ? 0 ∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
0 0

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

又 y1 y 2 ? ? kx1 ? 2 ? ? kx 2 ? 2 ? ? k x1 x 2 ? 2 k ? x1 ? x 2 ? ? 4 ?
2

3k k ?
2

2

1 4

?

?8k k ?
2

2

1 4

?4 ?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4


2

3 k ? 1 4

?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4

? 0 ,即 k

2

? 4

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ? 2 ? k ? ?

3 2



3 2

? k ? 2

3.(2008 年四川高考 21 题)(Ⅰ)由已知,
F1 ( ? c , 0 )

, F 2 ( c , 0 ) .由 e ?
2

2 2

,c
a

2 2

?

1 2

,∴ a ? 2 c .又 a 2
2 2
2

?b ?c
2

2



∴b2

? c

,a2

? 2b

2

.∴ l : x ?

a

2

?

2c c

? 2c

, M ( 2 c , y1 ) , N ( 2 c , y ) .
2

c

延长 N F 2 交 M F1 于 P , 记右准线 l 交 x 轴于 Q 由平几知识易证 R t ? M Q F1 ≌ R t ? F 2 Q N ∴ Q N 即
y1 ? c

????? ???? ? . F1 M ? F 2 N ? 0 ∵

, FM ∴
1

?????

???? ? ? F2 N

.F M
1

? F2 N

? F1 Q ? 3 c

, QM .
2

? F2 Q ? c



y 2 ? 3c

.∵

????? ???? ? F1 M ? F 2 N ? 2 5


2

∴ 9 c 2 ? c 2 ? 2 0 , c 2 ? 2 , b 2 ? 2 , a 2 ? 4 .∴ a ? 2 , b ? ????? ???? ? (Ⅰ)另解:∵ F1 M ? F 2 N ? 0 ,∴ (3 c , y1 ) ? ( c , y 2 ) ? 0 , y1 y 2

? ? 3c ? 0

.又

????? ???? ? F1 M ? F 2 N ? 2 5

7

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联立 ?
? y1 y 2 ? ? 3 c
2 2 2

? 9 c ? y1 ? 2 0 ? 2 2 ?c ? y2 ? 20
2

, 消去 y 1 、y 2 得:

( 2 0 ? 9 c )( 2 0 ? c ) ? 9 c
2 2

2

, 整理得:9 c 4 ? 2 0 9 c 2 ? 4 0 0 ? 0 ,

.解得 c ? 2 . ????? ???? ? (Ⅱ)∵ F1 M ? F 2 N ? (3 c , y1 ) ? ( c , y 2 ) ? 0 ,∴ y1 y 2 ? ? 3 c 2 ? 0
( c ? 2 )(9 c ? 2 0 0 ) ? 0
2
2


3c

???? ? MN

2

? y1 ? y 2

2

? y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2
2 2 2

.当且仅当 y 1

? ? y2 ?

或y

2

? ? y1 ?

3c

时,取等号.此 与 F F 共线.
1 2

      ? 2 y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? ? 4 y1 y 2 ? 1 2 c ? ????? ???? ? ????? ???? ? ???? ? F1 M ? F 2 N ? (3 c , ? 3 c ) ? ( c , ? 3 c ) 时 M N 取最小值 2 3c .此时 .∴ F1 M ? F 2 N ????? ? ( 4 c , 0 ) ? 2 F1 F 2 ????? ???? ? (Ⅱ)另解:∵ F1 M ? F 2 N ? 0 ,∴ (3 c , y1 ) ? ( c , y 2 ) ? 0 , y1 y 2 ? ? 3 c 2 .

?????

设 M F1 , N F 2 的斜率分别为 k , ? 1 .
k

由 ? y ? k ( x ? c ) ? y ? 3kc ? 1 ? x ? 2c

,由 ? y ? ? 1 ( x ? c ) c ? ? y2 ? ? k ? k ? x ? 2c ? .当且仅当 3 k
?????
? 1 k

???? ? 1 M N ? y1 ? y 2 ? c ? 3 k ? ? 2 3c k

即k

2

?

1 3

,k

? ?

3 3

时取等号.

即当 ????? 最小时, k MN ∴ F1 M
????? ???? ? ? F2 N

? ?

3 3

,此时 F1 M

???? ? c ? F 2 N ? (3 c , 3 k c ) ? ( c , ? ) k 3c ) ? (c , ?

    (3 c , ? ?

与 F1 F 2 共线.
c ? 2 2 ?2

?????

????? 3 c ) ? ( 4 c , 0 ) ? 2 F1 F 2

4.解:(Ⅰ)有条件有

{a2 a
c

,解得 a ?

2, c=1 。

?b ?

a ?c
2

2

?1。

所以,所求椭圆的方程为

x

2

? y ? 1 。………4 分
2

2
( 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 ( ? 1, 0 ) 、 F 2 1,)。若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为

x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y ? ?
2 2

。不妨设 M ( ? 1,

2 2

) 、 N ? 1, ( ?

2 2

),

8

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uuuu uuuv v ? F2 M ? F2 N ? ( ? 2 , 2 2 ) ? (?2, ? 2 2 ) ? (?4, 0) .

uuuu uuuv v ? F 2 M ? F 2 N ? 4 ,与题设矛盾。? 直线 l 的斜率存在。

设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1)。设 M ( x 1, y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,
x
2

? y ?1

2

联立

{ y2 k (x + 1 ) =

,消 y 得 (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0 。
2 2 2 2

由根与系数的关系知 x1 ? x 2 ?
????? ???? ?

?4k

2 2

1 ? 2k

,从而 y 1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2 ) ?
????? ???? ?

2k 1 ? 2k
2



F 又? F 2 M ? ( x1 ? 1, y 1 ) , 2 N ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ,? F 2 M ? F 2 N ? ( x1 ? x 2 ? 2, y 1 ? y 2 ) 。
????? ???? ? ? F2 M ? F2 N
8k ? 2
2
2

? ( x1 ? x 2 ? 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

? (

1 ? 2k
4

2

) ?(
2

2k 1 ? 2k
2

) ?
2

4 (1 6 k ? 9 k ? 1)
4 2

4k ? 4k ? 1
4 2
2

? ,

4 (1 6 k ? 9 k ? 1)
4 2

4k ? 4k ? 1
4 2

? (

2

26 3

) 。 化简得

2

4 0 k ? 2 3 k ? 1 7 ? 0 解得 k
2

? 1或 者 k

2

? ?

17 40

? k ? ?1. ? 所 求 直 线 l的 方 程 为 y ? x ? 1或 者 y ? ? x ? 1
1 2

5.解:(1)设 P(x,y),则 ( x ? 2 ) ? y ? 2 | x ?
2 2

| 化简得 x -

2

y

2

=1(y≠0)…4 分

3

(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0) 与双曲线 x -
2

y

2

=1 联立消去 y 得

w_w w. k#s5_ u.c o*

(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0

3

9

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? 4k ? x1 ? x 2 ? 2 ? k ?3 由题意知 3-k2≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 ? 2 ? x x ? 4k ? 3 2 ? 1 2 k ?3 ?
2

y1y2 = k2(x1 - 2)(x2 - 2) = k2[x1x2 - 2(x1 + x2) + 4]
?9k
2 2
w_w w. k#s5 _u.c o*m

= k2(

4k ? 3
2

k ?3
2

?

8k
2

2

k ?3

+ 4) =

k ?3
1

因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y=

y1 x1 ? 1

(x+1)因此 M 点的坐标为

(

2 2 ( x 1 ? 1)

,

3 y1

)

???? ? ???? 3 y1 3 y2 3 3 F M ? (? , ) ,同理可得 F N ? ( ? , ) 2 2 ( x1 ? 1) 2 2 ( x 2 ? 1)

w_w w. k#s5_u.c o *m

? 8 1k

2

因此 F M ?F N ? ( ?

???? ???? ?

3 2

) ?
2

9 y1 y 2 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)



4 9

?

k ?3 =0 2 4k ? 3 4k 4( 2 ? 2 ? 1) k ?3 k ?3
2 2

②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3) AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为( 同理可得 F N ? ( ?
???? ???? ?
???? 3 2 ,? 3

???? ? 1 3 3 3 , ), F M ? ( ? , ) 2 2 2 2
w_w w. k#s 5_u.c o*m

???? ???? ? 3 2 3 3 ) 因此 F M ?F N ? ( ? ) ? ? ( ? ) =0 2 2 2 2

综上 F M ?F N =0,即 FM⊥FN,故以线段 MN 为直径的圆经过点 F…12 分

10

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