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点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析


【知识梳理】
(1)四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 符号语言: A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ???l ?? 。 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 三个推论:① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且

只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线) 。 符号语言: P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , P ? l 。 公理 4: (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言: a // l , 且b // l ? a // b 。 (2)空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线 a , b ,经过空间任意一点 O 作直线 a? // a, b? // b ,我们把 a ? 与 b ? 所成的角(或直角)叫异 面直线 a , b 所成的夹角。 (易知:夹角范围 0 ? ? ? 90? ) 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 (注意:会画两 个角互补的图形)

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ?共面直线 ? 2.位置关系: ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点
(3)空间中直线与平面之间的位置关系

?直线在平面内(l ? ?)有无数个公共点 ? 直线与平面的位置关系有三种: ? ?直线与平面相交(l ? ? ? A)有且只有一个公共点 直线在平面外 ? ? ?直线与平面平行(l / /?)没有公共点 ?
(4)空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种: ?

?两个平面平行(? / / ?)没有公共点 ?两个平面相交(? ? ? ? l)有一条公共直线

1

直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结 (1)四个定理 定理 直线与平面 平行的判定 定理内容 平面外的一条直线与平面 内的一条直线平行,则该直 线与此平面平行 一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行,则这 两个平面平行 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出”一条直线与已知 直线平行就可以判定直线与平面平行。 即将“空间问题”转化为“平面问题” 判定的关键: 在一个已知平面内 “找出” 两条相交直线与另一平面平行。即将 “面面平行问题”转化为“线面平行问 题”

a ? ? , b ? ? , 且a // b ? a // ?

平面与平面 平行的判定

a ? ?,b ? ?, a ? b ? P, a // ? , b // ? ? ? // ?

直线与平面 平行的性质

一条直线与一个平面平行, a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b 则过这条直线的任一平面 ? a // b 与此平面的交线与该直线 平行 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它们 的交线平行

平面与平面 平行的性质

? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b

直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结 (一)基本概念 1.直线与平面垂直:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 垂直,记作 l ? ? 。直 线 l 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面。直线与平面的公共点 P 叫做垂足。 2. 直线与平面所成的角: 角的取值范围: 0 ? ? ? 90? 。 3.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二 面角的面。二面角的记法: 二面角的取值范围: 0 ? ? ? 180? ; 两个平面垂直:直二面角。 (二)四个定理 定理 直线与平面 垂直的判定 平面与平面 定理内容 一条直线与一个平面内的 两条相交直线垂直,则该直 线与此平面垂直。 一个平面过另一平面的垂 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出”两条相交直 线与已知直线垂直就可以判定直线 与平面垂直。即将“线面垂直”转 化为“线线垂直”

m、n ? ? , m ? n ? P, 且a ? m, a ? n ? a ??

a ? ? , a ? ? ? ? ? ? (满 判定的关键: 在一个已知平面内 “找

2

垂直的判定

线,则这两个平面垂直。

足条件与 ? 垂直的平面 ? 有无数个)

出” 两条相交直线与另一平面平行。 即将“面面平行问题”转化为“线 面平行问题”

直线与平面 垂直的性质 平面与平面 垂直的性质

同垂直与一个平面的两条 直线平行。 两个平面垂直,则一个平面 内垂直与交线的直线与另 一个平面垂直。

a ? ? , b ? ? ? a // b

? ? ? ,? ? ? ? l, a ? ? , a ?l ? a ??

解决问题时,常添加的辅助线是在 一个平面内作两平面交线的垂线

【经典例题】
典型例题一 例 1 简述下列问题的结论,并画图说明: (1)直线 a ? 平面 ? ,直线 b ? a ? A ,则 b 和 ? 的位置关系如何? (2)直线 a ? ? ,直线 b // a ,则直线 b 和 ? 的位置关系如何? 分析: (1)由图(1)可知: b ? ? 或 b ? ? ? A ; (2)由图(2)可知: b // ? 或 b ? ? .

说明:此题是考查直线与平面位置关系的例题,要注意各种位置关系的画法与表示方法. 典型例题二

例 2 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, Q 是 PA 的中点,求证: PC // 平面 BDQ . 分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 证明:如图所示,连结 AC ,交 BD 于点 O , ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO ? CO ,连结 OQ ,则 OQ 在平面 BDQ 内, 线, ∴ PC // OQ . ∵ PC 在平面 BDQ 外, ∴ PC // 平面 BDQ . 且 OQ 是 ?APC 的中位

3

说明:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,怎样找这一直线 呢? 由于两条直线首先要保证共面, 因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交, 如果能证明已知直线和交线 平行,那么就能够马上得到结论.这一个证明线面平行的步骤可以总结为: 过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行.

典型例题三 例 3 经过两条异面直线 a , b 之外的一点 P ,可以作几个平面都与 a , b 平行?并证明你的结论. 分析:可考虑 P 点的不同位置分两种情况讨论. 解: (1)当 P 点所在位置使得 a , P (或 b , P )本身确定的平面平行于 b (或 a )时,过 P 点再作不出与 a , b 都平行的平面; (2)当 P 点所在位置 a ,P (或 b ,P )本身确定的平面与 b (或 a )不平行时,可过点 P 作 a // a? ,b? // b .由 于 a , b 异面,则 a? , b ? 不重合且相交于 P .由于 a? ? b? ? P , a? , b ? 确定的平面 ? ,则由线面平行判定定理知:

a // ? , b // ? .可作一个平面都与 a , b 平行.
故应作“0 个或 1 个”平面. 说明:本题解答容易忽视对 P 点的不同位置的讨论,漏掉第(1)种情况而得出可作一个平面的错误结论.可见, 考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论. 典型例题四 例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面. 已知:直线 a // b , a // 平面 ? , b ? ? . 求证: b // ? . 证明:如图所示,过 a 及平面 ? 内一点 A 作平面 ? . 设? ? ? ? c , ∵ a // ? , ∴ a // c . 又∵ a // b , ∴ b // c . ∵ b ? ? , c ?? , ∴ b // ? . 说明:根据判定定理,只要在 ? 内找一条直线 c // b ,根据条件 a // ? ,为了利用直线和平面平行的性质定理, 可以过 a 作平面 ? 与 ? 相交,我们常把平面 ? 称为辅助平面,它可以起到桥梁作用,把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样,在构造辅助平面时,首先要确认这个平面是存在的,例如,本例中就是以“直线 及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.

典型例题五

4

例 5 已知四面体 S ? ABC 的所有棱长均为 a .求: (1)异面直线 SC、AB 的公垂线段 EF 及 EF 的长; (2)异面直线 EF 和 SA 所成的角. 分析:依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 SC、AB 的公垂线段,进而求出其距离;对于异面直线所成的 角可采取平移构造法求解. SF、CF . 解: (1)如图,分别取 SC、AB 的中点 E、F ,连结 由已知,得 ?SAB ≌ ?CAB . ∴ SF ? CF , E 是 SC 的中点, ∴ EF ? SC . 同理可证 EF ? AB ∴ EF 是 SC、AB 的公垂线段. 在 Rt?SEF 中, SF ? ∴ EF ? SF2 ? SE2

1 3 a , SE ? a . 2 2

3 2 1 2 2 a ? a ? a. 4 4 2
(2)取 AC 的中点 G ,连结 EG ,则 EG // SA . ∴ EF 和 GE 所成的锐角或直角就是异面直线 EF 和 SA 所成的角. 连结 FG ,在 Rt?EFG 中, EG ? 由余弦定理,得

1 1 2 a , GF ? a , EF ? a. 2 2 2

1 2 2 2 1 2 a ? a ? a EG2 ? EF 2 ? GF 2 4 4 4 ? 2. cos?GEF ? ? 2 ? EG ? EF 2 1 2 2? a ? a 2 2
∴ ?GEF ? 45 .
?

故异面直线 EF 和 SA 所成的角为 45 . 说明:对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出来,然后再求值.

?

典型例题六 例 6 如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内. 已知:直线 a // ? , B ? ? , B ? b , b // a . 求证: b ? ? .

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分析:由于过点 B 与 a 平行的直线是惟一存在的,因此,本题就是要证明,在平面 ? 外,不存在过 B 与 a 平行 的直线,这是否定性命题,所以使用反证法.

证明:如图所示,设 b ? ? ,过直线 a 和点 B 作平面 ? ,且 ? ? ? ? b' . ∵ a // ? ,∴ b // ? .
'

这样过 B 点就有两条直线 b 和 b 同时平行于直线 a ,与平行公理矛盾. ∴ b 必在 ? 内. 说明:(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据. (2)本例还可以用同一法来证明,只要改变一下叙述方式. 如上图,过直线 a 及点 B 作平面 ? ,设 ? ? ? ? b' .∵ a // ? ,∴ b // ? .
'

'

这样, b 与 b 都是过 B 点平行于 a 的直线,根据平行公理,这样的直线只有一条, ∴ b 与 b 重合.∵ b ? ? ,∴ b ? ? .
'

'

'

典型例题七 例 7 下列命题正确的个数是( ) . l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l // ? ; (1)若直线 (2)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l // ? ; (3)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任一直线平行; (4)若直线 l 在平面 ? 外,则 l // ? . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 分析:本题考查的是空间直线与平面的位置关系.对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键.要注意直线 和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类,还可以按照直线是否在平面内来分类. 解:(1)直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,并没有说明是所在点都不在平面 ? 内,因而直线可能与平面平行亦 有可能与直线相交.解题时要注意“无数”并非“所有” .(2)直线 l 虽与 ? 内无数条直线平行,但 l 有可能在平面 ? 内,所以直线 l 不一定平行 ? .(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误,借助教具我们很容易看到.当 l // ? 时,若 m ? ? 且 m // l ,则在平面 ? 内,除了与 m 平行的直线以外的每一条直线与 l 都是异面直线.(4)直线 l 在平面 ? 外,应包括两种情况: l // ? 和 l 与 ? 相交,所以 l 与 ? 不一定平行. 故选 A. 说明:如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系,解题时更要注意分类要完整,考虑要全面.如直线 l 、 m 都平行于 ? ,则 l 与 m 的位置关系可能平行,可能相交也有可能异面;再如直线 l // m 、 l // ? ,则 m 与 ? 的位置

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关系可能是平行,可能是 m 在 ? 内. 典型例题八 例8 如图,求证:两条平行线中的一条和已知平面相交,则另一条也与该平面相交.

已知:直线 a // b , a ? 平面? ? P .求证:直线 b 与平面 ? 相交.

分析:利用 a // b 转化为平面问题来解决,由 a // b 可确定一辅助平面 ? ,这样可以把题中相关元素集中使用, 既创造了新的线面关系,又将三维降至二维,使得平几知识能够运用. 解:∵ a // b , ∴ a 和 b 可确定平面 ? . ∵ a ?? ? P , ∴平面 ? 和平面 ? 相交于过点 P 的直线 l . ∵在平面 ? 内 l 与两条平行直线 a 、 b 中一条直线 a 相交, ∴ l 必定与直线 b 也相交,不妨设 b ? l ? Q ,又因为 b 不在平面 ? 内(若 b 在平面 ? 内,则 ? 和 ? 都过相交直 线 b 和 l ,因此 ? 与 ? 重合, a 在 ? 内,和已知矛盾) . 所以直线 b 和平面 ? 相交. 说明:证明直线和平面相交的常用方法有:证明直线和平面只有一个公共点;否定直线在平面内以及直线和平面 平行;用此结论:一条直线如果经过平面内一点,又经过平面外一点,则此直线必与平面相交(此结论可用反证法证 明) . 典型例题九 例 9 如图,求证:经过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面与另一条直线平行. 已知: a 与 b 是异面直线.求证:过 b 且与 a 平行的平面有且只有一个.

分析:本题考查存在性与唯一性命题的证明方法.解题时要理解“有且只有”的含义. “有”就是要证明过直线 b 存在一个平面 ? ,且 a // ? , “只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的.存在性常用构造法找出(或作出)平

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面,唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论. 证明:(1)在直线 b 上任取一点 A ,由点 A 和直线 a 可确定平面 ? . 在平面 ? 内过点 A 作直线 a ,使 a // a ,则 a 和 b 为两相交直线,
'

'

'

所以过 a 和 b 可确定一平面 ? .
'

∵ b ? ? , a 与 b 为异面直线, ∴ a ?? . 又∵ a // a , a ? ? ,
'

'

∴ a // ? . 故经过 b 存在一个平面 ? 与 a 平行. (2)如果平面 ? 也是经过 b 且与 a 平行的另一个平面, 由上面的推导过程可知 ? 也是经过相交直线 b 和 a 的.
'

由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知,平面 ? 与 ? 重合, 即满足条件的平面是唯一的. 说明:对于两异面直线 a 和 b ,过 b 存在一平面 ? 且与 a 平行,同样过 a 也存在一平面 ? 且与 b 平行.而且这 两个平面也是平行的(以后可证) .对于异面直线 a 和 b 的距离,也可转化为直线 a 到平面 ? 的距离,这也是求异面 直线的距离的一种方法. 典型例题十 例 10 如图,求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

已知: ? ? ? ? l , a // ? , a // ? ,求证: a // l . 分析:本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力.利用线面平行的性质定理,可以先证明直线 a 分别和两平面的某些直线平行,即线面平行可得线线平行.然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明 a 与 l 平 行.

证明:在平面 ? 内取点 P ,使 P ? l ,过 P 和直线 a 作平面 ? 交 ? 于 b . ∵ a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b , ∴ a // b .

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同理过 a 作平面 ? 交 ? 于 c . ∵ a // ? , a ? ? , ? ? ? ? c , ∴ a // c . ∴ b // c . ∵b ? ? ,c ? ? , ∴ b // ? . 又∵ b ? ? , ? ? ? ? l , ∴ b // l . 又∵ a // b , ∴ a // l . 另证:如图,在直线 l 上取点 M , 过 M 点和直线 a 作平面和 ? 相交于直线 l1 ,和 ? 相交于直线 l 2 .

∵ a // ? ,∴ a // l1 , ∵ a // ? ,∴ a // l2 , 但过一点只能作一条直线与另一直线平行. ∴直线 l1 和 l 2 重合. 又∵ l1 ? ? , l2 ? ? , ∴直线 l1 、 l 2 都重合于直线 l , ∴ a // l . 说明: “线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的,这种转化的思想在立体几何中非常重要. 典型例题十一 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB , AE 、BD 上各取一点 P 、Q , AP ? DQ . 在 且 求

例 11

证: PQ // 面 BCE .

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分析:要证线面平行,可以根据判定定理,转化为证明线线平行.关键是在平面 BCE 中如何找一直线与 PQ 平 行.可考察过 PQ 的平面与平面 BCE 的交线,这样的平面位置不同,所找的交线也不同. 证明一:如图,在平面 ABEF 内过 P 作 PM // AB 交 BE 于 M , 在平面 ABCD 内过 Q 作 QN // AB 交 BC 于 N ,连结 MN .

∵ PM // AB ,∴

PM PE ? . AB AE

又∵ QN // AB // CD ,

QN BQ QN BQ ? ? ,即 . DC BD AB BD ∵正方形 ABEF 与 ABCD 有公共边 AB , ∴ AE ? DB .
∴ ∵ AP ? DQ ,∴ PE ? BQ . ∴ PM ? QN . 又∵ PM // AB , QN // AB , ∴ PM // QN . ∴四边形 PQNM 为平行四边形. ∴ PQ// MN . 又∵ MN ? 面 BCE , ∴ PQ // 面 BCE . 证明二:如图,连结 AQ 并延长交 BC 于 S ,连结 ES .

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∵ BS // AD ,∴

AQ DQ . ? QS QB

又∵正方形 ABEF 与正方形 ABCD 有公共边 AB , ∴ AE ? DB , ∵ AP ? DQ ,∴ PE ? QB .



AP DQ AQ ? ? . PE QB QS

∴ PQ // ES , 又∵ ES ? 面 BEC , ∴ PQ // 面 BEC . 说明:从本题中我们可以看出,证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行,此时常用中位线 定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法,具体用何种方法要视条件而定.此题中我们可以把“两个有公 共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形” ,那么题中的结论是否仍然成立? 典型例题十二 例 12 三个平面两两相交于三条交线,证明这三条交线或平行、或相交于一点.

已知: ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , ? ? ? ? c . 求证: a 、 b 、 c 互相平行或相交于一点. 分析:本题考查的是空间三直线的位置关系,我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手,根据共面的两条直 线平行或相交来推论三条交线的位置关系. 证明:∵ ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , ∴ a、b ? ? . ∴ a 与 b 平行或相交. ①若 a // b ,如图

∵ b ? ? , a ? ? ,∴ a // ? .

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又∵ ? ? ? ? c , a ? ? ,∴ a // c . ∴ a // b // c . ②若 a 与 b 相交,如图,设 a ? b ? O ,

∴ O ? a , O ?b . 又∵ a ? ? ? ? , b ? ? ? ? . ∴ O ?? , O ?? 又∵ ? ? ? ? c ,∴ O ? c . ∴直线 a 、 b 、 c 交于同一点 O . 说明:这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题,如正方体 ABCD 中,

M 、 N 分别是 CC1 、 A1B1 的中点,画出点 D 、 M 、 N 的平面与正方体各面的交线,并说明截面多边形是几边形?
典型例题十三 例 13 已知空间四边形 ABCD , AB ? AC , AE 是 ?ABC 的 BC 边上的高,DF 是 ?BCD 的 BC 边上的中线, 求证: AE 和 DF 是异面直线. 证法一: (定理法)如图

由题设条件可知点 E 、 F 不重合,设 ?BCD 所在平面 ? .

? DF ? ? ? A ?? ? ∴? ? AE 和 DF 是异面直线. ?E ?? ? E ? DF ?
证法二: (反证法) 若 AE 和 DF 不是异面直线,则 AE 和 DF 共面,设过 AE 、 DF 的平面为 ? . (1)若 E 、 F 重合,则 E 是 BC 的中点,这与题设 AB ? AC 相矛盾. (2)若 E 、 F 不重合, ∵ B ? EF , C ? EF , EF ? ? ,∴ BC ? ? .

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∵ A? ? , D ? ? , ∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共面,这与题设 ABCD 是空间四边形相矛盾. 综上,假设不成立. 故 AE 和 DF 是异面直线. 说明:反证法不仅应用于有关数学问题的证明,在其他方面也有广泛的应用. 首先看一个有趣的实际问题: “三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?” 对于这个问题,同学们可试验做一做. 也许你在试验几次后却无法成功时, 觉得这种装法的可能性是不存在的. 那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装 法是不可能呢? 用反证法可以轻易地解决这个问题.假设这种装法是可行的,每条船装缸数为单数,则 9 个单数之和仍为单数,与 36 这个双数矛盾.只须两句话就解决了这个问题. 典型例题十四 例 14 已知 AB 、 BC 、 CD 是不在同一平面内的三条线段, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 BC 、 CD 的中点,求 证:平面 EFG 和 AC 平行,也和 BD 平行. 分析:欲证明 AC // 平面 EFG ,根据直线和平面平等的判定定理只须证明 AC 平行平面 EFG 内的一条直线, 由图可知,只须证明 AC // EF .

证明:如图,连结 AE 、 EG 、 EF 、 GF . 在 ?ABC 中, E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点. ∴ AC // EF .于是 AC // 平面 EFG . 同理可证, BD // 平面 EFG . 说明:到目前为止,判定直线和平面平行有以下两种方法:(1)根据直线和平面平行定义;(2)根据直线和平面平 行的判定定理. 典型例题十五 已知空间四边形 ABCD , P 、 Q 分别是 ?ABC 和 ?BCD 的重心,

例 15

求证: PQ // 平面ACD . 分析:欲证线面平行,须证线线平行,即要证明 PQ 与平面 ACD 中的某条直线平行,根据条件,此直线为 AD , 如图.

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证明:取 BC 的中点 E . ∵ P 是 ?ABC 的重心,连结 AE , ∶ 则 AE∶PE ? 3 1 ,连结 DE , ∵ Q 为 ?BCD 的重心,

∶ ∶ ∴ DE QE ? 3 1 ,
∴在 ?AED 中, PQ// AD . 又 AD ? 平面ACD , PQ ? 平面ACD , ∴ PQ // 平面ACD . 说明:(1)本例中构造直线 AD 与 PQ 平行,是充分借助于题目的条件: P 、 Q 分别是 ?ABC 和 ?BCD 的重心, 借助于比例的性质证明 PQ// AD ,该种方法经常使用,望注意把握. (2)“欲证线面平行,只须证线线平行” .判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法.根据问题具体情况要 熟练运用. 典型例题十六

例 16

正方体 ABCD? A1B1C1D1 中, E 、 G 分别是 BC 、 C1 D1 的中点如下图.

求证: EG // 平面BB1D1D .

分析:要证明 EG // 平面BB1D1D ,根据线面平等的判定定理,需要在平面 BB1D1D 内找到与 EG 平行的直线, 要充分借助于 E 、 G 为中点这一条件. 证明:取 BD 的中点 F ,连结 EF 、 D1F .

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∵ E 为 BC 的中点, ∴ EF 为 ?BCD 的中位线,则 EF // DC ,且 EF ? ∵ G 为 C1 D1 的中点, ∴ D1G // CD 且 D1G ?

1 CD . 2

1 CD , 2

∴ EF // D1G 且 EF ? D1G , ∴四边形 EFDG 为平行四边形, 1 ∴ D1F // EG ,而 D1F ? 平面BDD B1 , EG ? 平面BDD B1 , 1 1 ∴ EG // 平面BDD B1 . 1 典型例题十七 如果直线 a // 平面? ,那么直线 a 与平面 ? 内的(

例 17

) .

A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 解:根据直线和平面平行定义,易知排除 A、B.对于 C,无数条直线可能是一组平行线,也可能是共点线,∴C 也不正确,应排除 C. 与平面 ? 内任意一条直线都不相交,才能保证直线 a 与平面 ? 平行,∴D 正确. ∴应选 D. 说明:本题主要考查直线与平面平行的定义. 典型例题十八 例 18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 ) .

解:如图中的甲图,分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系; 如图中的乙图,分别与异面直线 a 、 b 平行的两条直线 c 、 d 是相交关系. 综上,可知应选 D. 说明:本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力. 典型例题十九

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例 19 a 、 b 是两条异面直线,下列结论正确的是( ) . A.过不在 a 、 b 上的任一点,可作一个平面与 a 、 b 平行 B.过不在 a 、 b 上的任一点,可作一个直线与 a 、 b 相交 C.过不在 a 、 b 上的任一点,可作一个直线与 a 、 b 都平行 D.过 a 可以并且只可以作一平面与 b 平行 解:A 错,若点与 a 所确定的平面与 b 平行时,就不能使这个平面与 ? 平行了. B 错,若点与 a 所确定的平面与 b 平等时,就不能作一条直线与 a , b 相交. C 错,假如这样的直线存在,根据公理 4 就可有 a // b ,这与 a , b 异面矛盾. D 正确,在 a 上任取一点 A,过 A 点做直线 c // b , 则 c 与 a 确定一个平面与 b 平行,这个平面是惟一的. ∴应选D. 说明:本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念. 典型例题二十 (1)直线 a // b , a // 平面? ,则 b 与平面 ? 的位置关系是_____________.

例 20

(2) A 是两异面直线 a 、 b 外的一点,过 A 最多可作___________个平面同时与 a 、 b 平行. 解:(1)当直线 b 在平面 ? 外时, b // ? ;当直线 b 在平面 ? 内时, b ? ? . ∴应填: b // ? 或 b ? ? . (2)因为过 A 点分别作 a , b 的平行线只能作一条, (分别称 a , b )经过 a , b 的平面也是惟一的.所以只能作一个平面; 还有不能作的可能,当这个平面经过 a 或 b 时,这个平面就不满足条件了. ∴应填:1. 说明:考虑问题要全面,各种可能性都要想到,是解答本题的关键. 典型例题二十一 如图,a // ? ,A 是 ? 的另一侧的点,B, C, D ? a , 线段 AB ,AC ,AD 交 ? 于 E ,F ,G , BD ? 4 , 若
' ' ' '

例 21

CF ? 4 , AF ? 5 ,则 EG =___________.

解:∵ a // ? , EG ? ? ? 平面ABD . ∴ a // EG ,即 BD // EG , ∴

EF FG AF EF ? FG EG AF ? ? ? ? ? . BC CD AC BC ? CD BD AF ? FC

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AF ? BD 5 ? 4 20 ? ? . AF ? FC 5 ? 4 9 20 ∴应填: . 9
则 EG ? 说明:本题是一道综合题,考查知识主要有:直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等.同时也考查 了综合运用知识,分析和解决问题的能力.

【课堂练习】
1.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( ) A. ? 内所有的直线都与 a 异面; B. ? 内不存在与 a 平行的直线; C. ? 内所有的直线都与 a 相交; D.直线 a 与平面 ? 有公共点. 2.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3.空间四边形 ABCD 中,若 AB ? AD ? AC ? CB ? CD ? BD ,则 AC 与 BD 所成角为 A、 30 0 B、 450 C、 60 0 D、 90 0 4. 给出下列命题: (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D)3 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( )条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点 P 为Δ ABC 所在平面外一点, PO⊥平面 ABC, 垂足为 O, PA=PB=PC, 若 则点 O 是Δ ABC 的 ( D1 外心 (C)重心 (D)垂心 C1 7.如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为( ) 0 0 0 (A)30 (B)45 (C)60
0

) (A) 内心 (B)

A1 D

B1 C B

(D)90

A )

8.直线 a,b,c 及平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是(

A、若 a ? α ,b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α B、若 b ? α , a//b 则 a//α C、若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b D、若 a⊥α , b⊥α 则 a//b 9.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( ) A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; B.直线 a// ? ,a// ? C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 10、 a, b 是异面直线,下面四个命题: ①过 a 至少有一个平面平行于 b; ②过 a 至少有一个平面垂直于 b;

17

③至多有一条直线与 a,b 都垂直;④至少有一个平面与 a,b 都平行。 其中正确命题的个数是( )A 0 B 1 C 2 D 3 选择题答题表 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知直线 a//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系为 12.已知直线 a⊥直线 b, a//平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系为 13 如图,ABC 是直角三角形, ? ACB= 90 ,PA ? 平面 ABC,此图形中有 14.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线, 给出四个论断: ① m ? n ②α ?β ③ m ?β ④ n ?α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:______________________________________.
?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

. . 个直角三角形 P

A B

C

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 15.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC 求证:AB⊥ BC P

A

C

B 16.在三棱锥 S-ABC 中,已知 AB=AC, O 是 BC 的中点,平面 SAO⊥平面 ABC 求证:∠SAB=∠SAC S

C 17.如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC=2(1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC; O (2)求二面角 P—BC—A 的大小; (3)求三棱锥 P—AEF 的体积. A B P F E A B C

18

【课后作业】
一、选择题 1. 给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α 、β 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ?

? A, 点A ? m, 则l与m不共面; ②若 m、l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? ,? // ? , 则l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? , 则? // ? .
其中为假命题的是 A.① B.② C.③ D.④

2.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 ? ③若 ? A.1

?? || ?

,? ,l

??

,则 ?

|| ?

;②若 m ? ? , n ? ? , m ||

? , n || ? ,则 ? || ? ;
,则 m ||

??

,则 l B.2

|| ?

;④若 ?

? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l || ?
C.3 D.4

n

王新敞
奎屯

新疆

其中真命题的个数是

3.已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 m ②若 ?

? ? , m ? ? , 则? // ? ; ? ? , ? ? ? , 则? // ? ;

③若 m ? ? , n ?

? , m // n, 则? // ? ;
? , n // ? , 则? // ? 。其中真命题是
C.③和④ D.①和④

④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? A.①和② B.①和③

m n 4.已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是
A.若 l // m , m // n ,则 l // n . C.若 l B.若 l

? m , m // n ,则 l ? n .

? ? , n // ? ,则 l ? n . D.若 l // ? , n // ? ,则 l // n .

5.在正四面体 P—ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是 A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF ? 平面 ABC 6.有如下三个命题: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线; ③过平面 ? 的一条斜线有一个平面与平面 ? 垂直. 其中正确命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 7.下列命题中,正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 B.DF ? 平面 PAE D.平面 PAE ? 平面 ABC

19

D.垂直于同一个平面的两个平面平行 8.已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ③若 m ? ? , m // ? , 则? 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ②若 m // ? , n

? ? , 则n ? m;

? ?.

9.已知 a、b、c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ①若 a

? b, b ? c, 则a // c ;②若 a // b, b ? c, 则a ? c ;

③若 a // ? , b ?

? , 则a // b ;④若 a 与 b 异面,且 a // ? , 则b与? 相交;

⑤若 a 与 b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直. 其中真命题的个数是 A.1 A.18 对 B.2 B.24 对 C.3 C.30 对 D.4 D.36 对 10.过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有

11.正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, P 、 Q 、 R 分别是 1

AB 、 AD 、 B1C1

的中点.那么,正方体的过 P 、 Q 、 R 的截面图形是 A.三角形 A.3 个 B.四边形 B.4 个 C.五边形 C.6 个 D.六边形 D.7 个

12.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有

13.设 ?、?、? 为平面, m、n、l 为直线,则 m A. ? C.

? ? 的一个充分条件是
B. ? D. n

? ? ,? ? ? ? l , m ? l

? ? ? m,? ? ? , ? ? ? ? ?, n ? ? , m ? ?

? ? ? ,? ? ? ,m ??

14.设 ? 、 ? 为两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,且 l ? ? ,m ? ⊥m,则 ? ⊥ ? .那么 A.①是真命题,②是假命题 C. ①②都是真命题 B. ①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题

? ,有如下的两个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l∥m;②若 l

15.对于不重合的两个平面 ? 与 ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都垂直于 ? ;②存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都平行于 ? ; ③ ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等;④存在异面直线 l、m,使得 l// ? ,l// ? ,m// ? ,m// ? ,

20

其中,可以判定 ? 与 ? 平行的条件有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二、填空题 1.已知平面 ? , ? 和直线 m,给出条件:① m // ? ;② m 时,有 m // ? ; (ii)当满足条件 时,有 m

? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ?

.(i)当满足条件

??

王新敞
奎屯

新疆

(填所选条件的序号)

2.在正方形

ABCD? A' B ' C ' D ' 中,过对角线 BD ' 的一个平面交 AA ' 于 E,交 CC ' 于 F,则
'

一、四边形 BFD 二、四边形 BFD 三、四边形 BFD 四、四边形 BFD 以上结论正确的为

E 一定是平行四边形 E 有可能是正方形 E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 E 有可能垂直于平面 BB ' D
王新敞
奎屯 新疆

'

'

'

(写出所有正确结论的编号)

3.下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是____________. (写出所有真命题的编号) 4.已知 m、n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 ?

// ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n

王新敞
奎屯

新疆

②若 m, n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ?

// ?

王新敞
奎屯

新疆

③若 m ? ? , n ?

? , m // n ,则 ? // ?

王新敞
奎屯

新疆

④m、n 是两条异面直线,若 m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则 ?

// ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号) 5. 已知 m、n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题: ① 若 m // ? ,则 m 平行于平面 ? 内的任意一条直线 ② 若?
王新敞
奎屯 新疆

// ? , m ? ? , n ? ? , 则 m // n

王新敞
奎屯

新疆

③若 m ? ? , n ?

? , m // n ,则 ? // ?

王新敞
奎屯

新疆

④若 ?

// ? , m ? ? ,则 m // ?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

上面命题中,真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号) 6.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是

(填写所有正确选项的序号)

王新敞
奎屯

新疆

21

①菱形 ④平行四边形 三、计算题

②有 3 条边相等的四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

③梯形

1. 如图 1 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB= 2 在线段 AB 上,且 EF⊥PB. (Ⅰ)证明:PB⊥平面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的大小.

34 .F 是线段 PB 上一点, CF ?

15 34 ,点 E 17

P F E A
如图 1

B C

2 . 如 图 , 在 五棱 锥 S — ABCDE 中 , SA⊥ 底 面 ABCDE , SA=AB=AE=2 ,

BC ? DE ? 3 , ?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120 ?
⑵ 证明:BC⊥平面 SAB;

王新敞
奎屯

新疆

⑴ 求异面直线 CD 与 SB 所成的角(用反三角函数值表示) ; ⑶ 用反三角函数值表示二面角 B—SC—D 的大小 (本小问不必写出)
王新敞
奎屯 新疆

S

A B C
3. 已知三棱锥 P—ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点,△ABC,△PEF 都是正三角形,PF⊥AB. (Ⅰ)证明 PC⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 P—AB—C 的平面角的余弦值; (Ⅲ)若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的球面上,求△ABC 的边长.

E D

P

A F

C E B

4.

已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72

3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为 60 ? 。

(1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离.

P

A O B

C

22

5.如图,在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, 1

AB ? AD ? 2, DC ? 2 3 , AA1 ? 3, AD ? DC , AC ? BD 垂足为 E
(Ⅰ)求证 BD ?

王新敞
奎屯

新疆

A C ;(Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小;(Ⅲ)求异面直线 AD 与 1
王新敞
奎屯 新疆

D' A' D B' A B E

C'

BC1 所成角的大小

C

6.如图, 在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, 1 (Ⅱ) 求证 AC1 ?平面CDB1 ; (Ⅲ)求异面直线

AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA1 ? 4

,点 D 为

AB 的中点

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅰ)求证

AC ? BC1 ;

C1
王新敞
奎屯 新疆

B1

AC1 与 B1C 所成角的余弦值

A1

C A D

B

7.如图,正三角形 ABC 的边长为 3,过其中心 G 作 BC 边的平行 线,分别交 AB、AC 于 B1 、 C1 .将 ?AB1C1 沿 B1C1 折起到 ?A1 B1C1 的位置,使点 A1 在平面 BB1C1C 上的射影恰是线段 BC 的中 点 M.求: (1)二面角 A1

? B1C1 ? M 的大小; (2)异面直线 A1 B1 与 CC1 所成角的大小(用反三角函数表示) .

23

8.如图,正三棱锥 S—ABC 中,底面的边长是 3,棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,M 是 BC 的中点.求: (Ⅰ) (Ⅱ)二面角 S—BC—A 的大小; (Ⅲ)正三棱锥 S—ABC 的体积.

AM SM

的值;

【参考答案】
课堂参考答案 1.D;2.C;3.D;4.D;5.C;6.B;7.A;8.D;9.D;10.C 11.平行或在平面内; 17.(2)45° 12. 平行或在平面内; 13.4; 14.若②③④则①

课后作业答案 一、选择题 1.C 9.A 2. B 10.D 3.D 11.D 4.D 12.B 5. C 13.D 6.C 14.D 7.C 15.B 8.C

二、填空题 1.③⑤ 4.③④ 三、计算题 1.[解](I)证明:∵ PA
2

②⑤ 5.③④

2.①③④ 6.②③⑤

3.①,④

? AC 2 ? 36 ? 64 ? 100 ? PC 2

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故 PA⊥平面 ABC
王新敞
奎屯 新疆

24

又∵ S ?PBC

?

1 1 | PC || BC |? ?10 ? 6 ? 30 2 2
P F E
PA⊥平面 ABC



1 1 15 34 | PB || CF |? ? 2 34 ? ? 30 ? S ?PBC 2 2 17
故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB ∴PB⊥平面 CEF (II)由(I)知 PB⊥CE,

A

F1 C

B

∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影,故 AB⊥CE 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1,则 FF1⊥平面 ABC, EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影,∴EF⊥EC 故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角 二面角 B—CE—F 的大小为 arctan
王新敞
奎屯 新疆

tan ?FEB ? cot ?PBA ?

AB 10 5 ? ? AP 6 3

5 3
0
王新敞
奎屯 新疆

2.[解](Ⅰ)连结 BE,延长 BC、ED 交于点 F,则∠DCF=∠CDF=60 , ∴△CDF 为正三角形,∴CF=DF
王新敞
奎屯 新疆

S

又 BC=DE,∴BF=EF 因此,△BFE 为正三角形, ∴∠FBE=∠FCD=60 ,∴BE//CD 所以∠SBE(或其补角)就是异面直线 CD 与 SB 所成的角 ∵SA⊥底面 ABCDE,SA=AB=AE=2, ∴SB= 2
王新敞
奎屯 新疆

0

A B D C F

E

2 ,同理 SE= 2 2 ,
0

又∠BAE=120 ,所以 BE= 2

3 ,从而,cos∠SBE=

6 4



∴∠SBE=arccos

6 4
0

王新敞
奎屯

新疆

所以异面直线 CD 与 SB 所成的角是 arccos
0

6 4
0

王新敞
奎屯

新疆

(Ⅱ) 由题意,△ABE 为等腰三角形,∠BAE=120 ,∴∠ABE=30 ,又∠FBE =60 , ∴∠ABC=90 ,∴BC⊥BA∵SA⊥底面 ABCDE,BC ? 底面 ABCDE, ∴SA⊥BC,又 SA ? BA=A, ∴BC⊥平面 SAB (Ⅲ)二面角 B-SC-D 的大小 ?
王新敞
奎屯 新疆

0

7 82 ? arccos 82
P

王新敞
奎屯

新疆

3.[解](Ⅰ)证明: 连结 CF.

? PE ? EF ?

1 1 BC ? AC ,? AP ? PC . 2 2
A F E

? CF ? AB, PF ? AB,? AB ? 平面PCF.

C O B

D

25

? PC ? 平面PCF,? PC ? AB. ? PC ? 平面PAB.

(Ⅱ)解法一:? AB ?

PF, AB ? CF ,

? ?PFC 为所求二面角的平面角.

a a 3 2 ? 3. 设 AB=a,则 AB=a,则 PF ? EF ? , CF ? a ? cos?PFC ? 2 2 3 3 a 2
? ?PAF ≌ ?PAE,? ?PAB ≌ ?PAC .

解法二:设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. 得 PA=PB=PC. 于是 O 是△ABC 的中心.

? ?PFO 为所求二面角的平面角.

设 AB=a,则 PF

?

a 1 3 , OF ? ? a. 2 3 2

? cos?PFO ?

OF 3 ? . PF 3

(Ⅲ)解法一:设 PA=x,球半径为 R.

? PC ? 平面PAB, PA ? PB,

? 3x ? 2R.? 4?R 2 ? 12? ,? R ? 3.得x ? 2.? ?ABC 的边长为 2 2 .
解法二:延长 PO 交球面于 D,那么 PD 是球的直径. 连结 OA、AD,可知△PAD 为直角三角形. 设 AB=x,球半径为 R.

? 4?R 2 ? 12? ,? PD ? 2 3. ? PO ? OF tan?PFO ?

6 2 3 x, OA ? ? x, 6 3 2

?(

3 2 6 6 x) ? x( 2 3 ? x).于是x ? 2 2. ? ?ABC的边长为2 2 . 3 6 6
AD 、 PD , 则 AD ? BC , PD ? BC ,故 BC ? 平面 APD .
∴ PA ? BC . (2)如图, 由(1)可知平面 PBC ? 平面 APD ,则 ?PDA 是侧面与底

4. [证明](1)取 BC 边的中点 D ,连接

面所成二面角的平面角. 过点 O 作 OE

? PD, E 为垂足,则 OE 就是点 O 到侧面的距离.

设 OE 为 h ,由题意可知点 O 在 ∴

AD 上,

?PDO ? 60? , OP ? 2h .
2h 3 , ? BC ? 4h ,

? OD ?



3 ( 4 h ) 2 ? 4 3h 2 , 4 1 8 3 3 2 h ,∴ h ? 3 . 即底面中心 O 到侧面的距离为 3. ∵ 72 3 ? ? 4 3h ? 2h ? 3 3 S ?ABC ?
∵AA1⊥底面 ABCD.∴ AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影. ∵BD⊥AC.∴ BD⊥A1C;

5. [解] (I)在直四棱柱 ABCD-AB1C1D1 中, (II)连结 A1E,C1E,A1 C1. 与(I)同理可证 BD⊥A1E,BD⊥C1E,

D' A' D B' A E B F

C'

C

26

∴ ∠A1EC1 为二面角 A1-BD-C1 的平面角. ∵

AD⊥DC,∴ ∠A1D1C1=∠ADC=90°, 又 A1D1=AD=2,D1C1= DC=2

3 ,AA = 3 且
1

AC⊥BD,

∴ A1C1=4,AE=1,EC=3,∴ A1E=2,C1E=2 在△A1EC1 中,A1C1 =A1E +C1E ,
2 2 2

3,

∴ ∠A1EC1=90°, 即二面角 A1-BD-C1 的大小为 90°.

(III)过 B 作 BF//AD 交 AC 于 F,连结 FC1, 则∠C1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角. ∵

AB=AD=2, BD⊥AC,AE=1, ∴ BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,

∴ FC1=

7 ,BC

1



15 ,在△BFC
15 5

1

中, cos ?C1 BF

?

15 ? 4 ? 7 15 , ? 5 1? 2 ? 15

∴ ∠C1BF= arccos

15 5

即异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为

arccos



解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴,
王新敞
奎屯 新疆

y 轴, z 轴,建立空间直角坐标



王新敞
奎屯

新疆

连结

A1E, C1E, AC1. 1 A1E, BD ? C1E ,
A' B' A

z
D' C'

与(1)同理可证, BD ? ∴ ?A EC1 为二面角 1

A1 ? ED ? C1 的平面角.

D E

C

y



3 3 A1 (2, 0, 3), C1 (0, 2 3, 3), E , , 0). 2 2

x

B

??? ? ???? ? 1 3 3 3 3 EA1 ? ( , ? , 3), EC1 ? (? , , 3) ∴ 2 2 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? 3 9 ? EA1 ? EC1 ? ? ? ? 3 ? 0, ∴ EA ? EC1 , 即 EA ? EC1. ∴二面角 A ? ED ? C1 的大小为 90 (Ⅲ) 1 1 1 4 4 ??? ? ???? ? 如 图 , 由 D(0,0,0) , A(2,0,0), C1 (0,2 3, 3), B(3, 3,0), 得 AD ? (?2,0,0), BC1 ? (?3, 3, 3), ∴ ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ????? AD, BC1 6 15 AD ? BC1 ? 6, AD ? 2, BC1 ? 15, ∴ cos AD, BC1 ? ???? ???? ? ? , ∵异面直线 AD 与 BC1 所成角的 ? 5 AD BC1 2 15
得 大小为 arccos

15 . 5

王新敞
奎屯

新疆

解法三: (Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为 E.连结

A1E, C1E, AC 1. 1
与(Ⅰ)同理可证 BD ?

z
A'

D' C'

A1E, BD ? C1E,
B' A E
27

D C B

y

x

∴ ?A EC1 为二面角 1

A1 ? BD ? C1 的平面角

王新敞
奎屯

新疆

由 E(0,0,0), A (0, ?1, 1 得 EA 1

3), C1 (0,3, 3).

????

???? ? ? (0, ?1, 3), EC1 ? (0,3, 3). ???? ???? ? ? ?3 ? 3 ? 0, ∴ EA1 ? EC1 即 EA1 ? EC1 , ∴二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 90?
王新敞
奎屯 新疆

∵ EA ? 1 1 EC

???? ???? ?

6.[解](I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, (III)∵ DE//AC1, 在△CED 中,ED= ∴ DE//AC1, ∴ AC1//平面 CDB1;

∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,

1 2

AC 1=

5 2

,CD=

1 2

AB=

5 2

,CE=

1 2

CB1=2

2,



cos ?CED ?

8 5 2?2 2 ? 2

?

2 2 5



C1 A1
.

B1
E

∴ 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值

2 2 5

C A
1

解法二: ∵直三棱锥

ABC ? A1B1C1 底面三边长 AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5 ,
1

B D
3 2
,2,0)

AC, BC, CC1 两两垂直 如图建立坐标系,则 C(0,0,0),A(3,0,0),C (0,0,4),B(0,4,0),B (0,4,4),D(
王新敞
奎屯 新疆

(Ⅰ)? AC1

???? ?

???? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ? (?3,0,0), BC1 ? (0,4,4) ,? AC1 ? BC1 ? 0,? AC1 ? BC1

王新敞
奎屯

新疆

C1 z A1
E

B1

(Ⅱ)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,则 E(0,2,2)

???? ???? ? 3 ? DE ? (? , 0, 2), AC1 ? (?3, 0, 4), 2 ???? 1 ???? ???? ???? ? ? ? DE ? AC1 ,? DE // AC1 2

B x A C D y

? DE ? 平面CDB1 , AC1 ? 平面CDB1, ? AC1 // 平面CDB1
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???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? AC1 ? 1 CB 2 2 ? , (Ⅲ)? AC1 ? (?3,0,4), CB ? (0,4,4), ? cos ? AC1 , CB1 ?? ???? ???? ? 1 5 | AC1 || CB1 |

28

∴异面直线

AC1 与 B1C 所成角的余弦值为

2 2 5

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7.[解] (Ⅰ)连接 AM,A1G ∵G 是正三角形 ABC 的中心,且 M 为 BC 的中点, ∴A,G,M 三点共线,AM⊥BC.∵B1C1∥BC, ∴B1C1⊥AM 于 G,即 GM⊥B1C1,GA1⊥B1C1, ∴∠A1GM 是二面角 A1—B1C1—M 的平面角. ∵点 A1 在平面 BB1C1C 上的射影为 M,∴A1M⊥MG,∠A1MG=90°在 Rt△A1GM 中,由 A1G=AG=2GM 得∠A1GM=90°即二面角 A1—B1C1—M 的大小是 60° (Ⅱ)过 B1 作 C1C 的平行线交 BC 于 P,则∠A1B1P 等于异面直线 A1B1 与 CC1 所成的角. 由 PB1C1C 是平行四边形得 B1P=C1C=1=BP,PM=BM—BP=

1 , A B =AB =2. 2
1 1 1

∵A1M⊥面 BB1C1C 于 M,∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°.在 Rt△A1GM 中,A1M=A1G· sin 60

?

? 3?

3 3 ? . 2 2

在 Rt△A1MP 中, A1 P

2

3 1 5 ? A1 M 2 ? PM 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? . 2 2 2

在△A1B1P 中,由余弦定理得 cos ?A1 B1 P

?

A1 B1 ? B1 P ? A1 P ? 2 ? A1 B1 ? B1 P
2 2 2

2 2 ? 12 ?

5 2 ? 5, 2 ? 2 ?1 8

∴异面直线 A1B1 与 CC1 所成角的大小为 arccos 8.[解] (Ⅰ)∵SB=SC,AB=AC,M 为 BC 中点, 由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍,即 3 ? 形 ABC 的中心,G 在 AM 上, GM

5 . 8
∴SM⊥BC,AM⊥BC.

1 1 AM 3 BC ? SM ? 2 ? BC ? AM , 得 ? . (Ⅱ)作正三棱锥的高 SG,则 G 为正三角 2 2 SM 2
是二面角 S—BC—A 的平面角.在 Rt△SGM 中,∵

?

1 AM . ∵SM⊥BC,AM⊥BC,∴∠SMA 3

SM ?

2 2 AM ? ? 3 ? 3GM ? 2GM , ∴∠SMA=∠SMG=60°即二面角 S—BC—A 的大小为 60°。 3 3

(Ⅲ)∵△ABC 的边长是 3,∴ AM

?

3 3 3 3 3 , GM ? , SG ? GMtg60? ? ? 3? , 2 2 2 2

∴ VS ? ABC

1 1 9 3 3 9 3 ? S ?ABC ? SG ? ? ? ? . 3 3 4 2 8

29


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