当前位置:首页 >> 建筑/土木 >>

06-()分析力学基础-第二类拉格朗日方程


3—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
? ri ? ri ? ? ? qk ?qk k ?1
N

i ? 1, 2, 3, ? n

将上式代入动力学普遍方程(3-15)式:
r ? ( Fi ? m i ??i ) ? ?
i ?1 n N k ?1

? ri ? qk ? ?qk

r ? [ ? ( Fi ?m i ??i ) ?
k ?1 i ?1

N

n

? ri ]? q k ? 0 ?qk

因qk是独立的,所以
? ri r ? ( Fi ?m i ??i ) ? ? q k ? 0
i ?1 n

k ? 1, 2, ? N

注意广义力可得
M1-1

注意到广义力可得

? ri Q k ? ? m i ?? ? ri ?qk
i ?1

n

k ? 1, 2, ? N

上式中的第二项与广义力相对应,称为广义惯性力。

上式应用起来很不方便。我们要作变换
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步:就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。 拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步:就是改造惯性虚功项, 使之与系统的动能的变化联系起来。
? ri r ? ( Fi ?m i ??i ) ? ? q k ? 0
i ?1 n

k ? 1, 2, ? N
M1-2

变换

1.

? ? ri ? ri ? ? ?qk ?qk
? ri r ? m i ??i ? ? q k ?
i ?1 n n

2.

? ? ri d ? ? ri ? ? ?q ? ? ?q dt ? k ? k
n

3.

d ? ? ? ri ? d ? ri ? m i d t ? ri ? ? q k ? ? ? m i r?i ? d t ? q k ? ? i ?1 i ?1
n

? d ? ? ? ri ? ? ? mi ? ri ? ? q ? ? ?k ? dt ? i ?1
n

? ? ri ? m i r?i ? ? q k
i ?1

n

? ? ri ? d ? ? ? ? m i ri ? ? ? ? dt ? ? ?qk ? ?qk i ?1 ?

?

n

i ?1

1 ? ? ? m i ri ? ri ? 2
n

d ? ? ? d t ?qk
?

?

n

i ?1

1 ? 2 ? mi vi ? ? ?q 2 k

?

i ?1

1 ? m i v i2 ? 2

d ?T ?T ? ? d t ?qk ?qk
M1-3


Q k ? ? m i ?? ? ri
i ?1 n

? ri ?qk

k ? 1, 2, ? N

可得

d ?T ?T ? ? Qk ? d t ?qk ?qk

k ? 1, 2, ? N

为理想完整系的拉格朗日方程,方程数等于质点系的自由度数。 其中:
Qk ?

?
n

n

i ?1

? ri Fi ? ?qk

——主动力的广义力,可以是力、力矩或其他力学量 (不包含约束反力)

T ?
pk ?

?

i ?1

1 ? m i v i2 ? ——体系相对惯性系的动能 2
——广义动量,可为线动量、角动量或其他物理量
M1-4

?T ? ?qk

2. 保守体系的拉格朗日方程

如果主动力都是保守力,即 F ? ?? V ,则为广义力
? ? n ? ?r ? V ? ri ?V i Q k ? ? Fi ? ? ?? ? ? ?? ?qk ? ri ? q k ?qk i ?1 i ?1
n

Qk ?

?
i ?1

n

? ? ?r Fi ? i ? ?qk

? ? xi ?yi ?zi ? ? ? Fix ? q ? Fiy ? q ? Fiz ? q ? i ?1 ? k k k ?
n

? ?V ?xi ?V ?yi ?V ?zi ? ?V ? ??? ? ? ??? ?xi ?qk ?yi ?qk ?zi ?qk ? ?qk i ?1 ?
n

M1-5

2. 保守体系的拉格朗日方程 将Qk代入拉格朗日方程式,得
d ?T ?T ?V ( )? ? ?0 ? d t ?qk ?qk ?qk

势能V不包含广义速度,引入拉格朗日函数
? L ? T ? V ? L ( qk , qk , t )

为拉格朗日函数(动势),是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。 保守体系的拉格朗日方程为:
d ?L ?L ( )? ?0 ? d t ?qk ?qk

想一想:上式的成立、适用条件是什么?
M1-6

3. 对拉格朗日方程的评价
(1) 拉氏方程的特点(优点): ? 是一个二阶微分方程组,方程个数与体系的自由度相同。形式简 洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标,方程形式不变。

?方程中不出现约束反力,因而在建立体系的方程时,只需分析已
知的主动力,不必考虑未知的约束反力。体系越复杂,约束条件越 多,自由度越少,方程个数也越少,问题也就越简单。
? 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的,能量是整个物理

学的基本物理量而且是标量,因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性,成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7

3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值

拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
规律,描述了力学系统的动力学规律,为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法,不仅在力学范畴有重要的理论意义

和实用价值,而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数
学技巧。

M1-8

应用拉氏方程解题的步骤: 1. 判定质点系的自由度k,选取适宜的广义坐标。必须注意: 不能遗漏独立的坐标,也不能有多余的(不独立)坐标。

2. 计算质点系的动能T,表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j ? 1,2, ? , k ) ,计算公式为:
?xi ?y i ?zi Q j ? ?(X i ? Yi ?Zi ) ?q j ?q j ?q j i ?1
n



Qj ?

?W ?qj

( j)

若主动力为有势力,也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。 4. 建立拉氏方程并加以整理,得出k个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
M1-9

[例] 物块C的质量为m1,A,B两轮

皆为均质圆轮,半径R,质量为m2,
求系统的运动微分方程。 解:图示机构只有一个自由度, 所受
约束皆为完整、理想、定常的,以物
块平衡位置为原点,取x 为广义坐标。

系统势能:

(以弹簧原长为弹性势能零点)
1 V ? k (? 0 ? x ) 2 ? m1 gx 2
M1-10

系统动能:
T ? 1 1 1 2 2 ? m1 x 2 ? J B? B ? J I? A 2 2 2 1 1 1 1 3 2 2 ? ? m1 x 2 ? m 2 R 2? B ? m 2 R 2? A 2 2 2 2 2

m1 ? 2 m 2 2 ? ? x 2

系统的拉格朗日函数(动势)
L ? T ?V ?

m1 ? 2 m 2 2 1 ? x ? k (? 0 ? x ) 2 ? m1 gx 2 2

代入拉格朗日方程
d ?L ?L ( )? ?0 ? d t ?qk ?qk

( m1 ? 2 m 2 ) ?? ? k (? 0 ? x ) ? m1 g ? 0 x
M1-11

注意到
k ? 0 ? m1 g

可得系统的运动微分方程
( m1 ? 2 m 2 ) ?? ? kx ? 0 x

M1-12

已知:M1的质量为m1, M2的质量为m2, 杆长为l。 试建立此系统的运动微分方程。 解:图示机构为两个自由度,取x1, ? 为广义坐标,则有。
x 2 ? x1 ? l sin ?
y1 ? 0 ? y1 ? 0

y 2 ? l cos ? ? ? y 2 ? ? l? sin ?

求导:
? ? ? x 2 ? x1 ? l? cos ?

系统动能:
T ? 1 1 ? ?2 ?2 m1 x12 ? m 2 ( x 2 ? y 2 ) 2 2 m 2l 1 2 ? ? ? ? ? ( m1 ? m 2 ) x1 ? ( l? 2 ? 2 x1 ? cos ? ) 2 2
M1-13

系统势能:(选质点 M2 在最低位置为零势能位置)
V ? m 2 gl (1 ? cos ? )

求导运算可得:
?T ? ? ? ( m1 ? m 2 ) x1 ? m 2 l? cos ? ? ? x1 ?T ? 0 ? x1
Q x1 ? ? ?V ? 0 ? x1

d ?T ?? ? ? ( m1 ? m 2 ) ??1 ? m 2 l? cos ? ? m 2 l? 2 sin ? x ? d t ? x1

由拉格朗日方程

d ?T ?T ( )? ? Qk 得 ? d t ?qk ?qk

?? ? ( m1 ? m 2 ) ??1 ? m 2 l? cos ? ? m 2 l? 2 sin ? ? 0 x
M1-14

同理:
?T ? ? ? m 2 l 2? ? m 2 lx1 cos ? ? ??
?T ? ? ? m 2 lx1 ? sin ? ??
Q? ? ? ?V ? ? m 2 gl sin ? ? x1

d ?T ?? ? ? ? m 2 l ( l? ? cos ? ??1 ? x1? sin ? ) x ? d t ? x1

由拉格朗日方程

d ?T ?T ( )? ? Qk ? d t ?qk ?qk



?? ? ? m 2 l ( l? ? cos ? ??1 ? x1? sin ? ) ? ? m 2 gl sin ? x

M1-15

[例] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA:重P,可绕O

点转动;均质小齿轮:重Q,半径 r ,沿半径为R的固定大齿
轮滚动。系统初始静止,系杆OA位于图示OA0 位置。系杆OA 受大小不变力偶M作用后,求系杆OA的运动方程。 解:图示机构只有一个自由度, 所
受约束皆为完整、理想、定常的,可
取OA杆转角? 为广义坐标。
? v A ? ( R ? r )? vA R?r ? ?A? ? ? r r

M1-16

1 1Q 2 1 2 2 ? T ? J O? ? v A ? J A? A 2 2 g 2
11 P 1Q 1 1 Q 2 ( R ? r )2 ? 2 ? ? ? ( R ? r )2? 2 ? ( R ? r )2? 2 ? ? r ? 2 23 g 2 g 2 2 g r

1 2 P ? 9Q ? ? ? ( R ? r )2? 2 12 g

?W
Q?

( ) ?

?T 1 2 P ? 9Q ? ? ( R ? r )2? ? ?? 6 g

? W (? ) ? M ? ??

? M ??

d ?T 1 2 P ? 9Q ?? ? ( R ? r )2? ? dt ?? 6 g
?T ? 0 ??
M1-17

代入拉氏方程:
1 2 P ? 9Q ?? ( R ? r )2? ? 0 ? M 6 g ?? ? ? 6M g 2 ( 2 P ? 9 Q )( R ? r )

积分,得:
? ?
3M gt 2 ? C 1t ? C 2 ( 2 P ? 9 Q )( R ? r ) 2

? ? ? 代入初始条件,t =0 时, ? ? 0 ? 0 , ? ? ? 0 ? 0 得 C 1 ? C 2 ? 0

故: ? ?

3M gt 2 ( 2 P ? 9 Q )( R ? r )

2

M1-18

例:与刚度为k 的弹簧相连的滑块A,质量为m1,可在光滑水

平面上滑动。滑块A上又连一单摆,摆长l , 摆锤质量为m2。
试列出该系统的运动微分方程。 解:将弹簧力计入主动力, 则系统成为具有完整、理想 约束的二自由度系统。保守

系统。取x , ?为广义坐标,
x 轴 原点位于弹簧自然长度 位置, ? 逆时针转向为正。

M1-19

系统动能:
2 ? ? ? v B ? ( x ? l? cos ? ) 2 ? ( l? sin ? ) 2

? ? ? ? ? x 2 ? l 2? 2 ? 2 xl? cos ?
1 ? ? 2 ? 1 m 2 v B 2 ? 1 m1 x 2 ? 1 m 2 ( x 2 ? l 2? 2 ? 2 xl? cos ? ) ? ? ? ? T ? m1 x 2 2 2 2 1 ? ? 2 ? 1 m 2 l 2? 2 ? m 2 xl? cos ? ? ? ? ( m1 ? m 2 ) x 2 2
M1-20

系统势能:
(以弹簧原长为弹性势能零点, 滑块A所在平面为重力势能零

点)
1 V ? kx 2 ? m 2 gl cos ? 2

拉格朗日函数:
L ? T ?V ? 1 1 1 ? ? ? ? ( m 1 ? m 2 ) x 2 ? m 2 l 2? 2 ? m 2 xl? cos ? ? kx 2 ? m 2 gl cos ? 2 2 2

M1-21

L?

1 1 1 ? ? ? ? ( m1 ? m 2 ) x 2 ? m 2 l 2? 2 ? m 2 xl? cos ? ? kx 2 ? m 2 gl cos ? 2 2 2

?L ? ? ? ( m1 ? m 2 ) x ? m 2 l? cos ? ? ?x

,

?L ? ? kx ?x

d ?L ?? ? ? ( m1 ? m 2 ) ?? ? m 2 l? cos ? ? m 2 l? 2 sin ? x ? dt ?x

?L ? ? ? m 2 l 2? ? m 2 xl cos ? , ? ??

?L ? ? ? ? m 2 xl? sin ? ? m 2 gl sin ? ??

d ?L ?? ? ? ( ) ? m 2 l 2? ? m 2 ?? cos ? ? m 2 xl? sin ? xl ? dt ??

代入:

d ?L ?L ( )? ?0 ? d t ?qk ?qk

( k ? 1,2,? , N )

并适当化简得:

?? ? ( m1 ? m 2 ) ?? ? m 2 l? cos ? ? m 2 l? 2 sin ? ? kx ? 0 x
?? ?? cos ? ? l? ? g sin ? ? 0 x
M1-22

? ? ( m 1 ? m 2 ) ?? ? m 2 l ??cos ? ? m 2 l ? 2 sin ? ? kx ? 0 x ? ??cos ? ? l ?? ? g sin ? ? 0 x

若系统在平衡位置附近作微幅运动,此时? <<1o,cos? ≈1,

sin? ≈?,略去二阶以上无穷小量,则
系统的运动微分方程。
( m1 ? m 2 ) ?? ? m 2 l ?? ? kx ? 0 x ? x ?? ? l ?? ? g ? ? 0 ?

上式为系统在平衡位置(x =0, ? =0)附近微幅运动的微分方程。

M1-23

M1-24

变换 1.

? ? ri ? ri ? ? ?qk ?qk
( i ? 1, 2, ? n )

由 ri ? ri ( q1 , q 2 , ? q N , t ) 两边对时间求导数可得
d ri ? ? ri ? dt

?

N

k ?1

? ri ? ri ? qk ? ?qk ?t

? 两边再对 q k 求偏导即可得
? ? ri ? ri ? ? ?qk ?qk

M1-25

变换 2.

? ? ri d ? ? ri ? ? ?q ? ? ?q dt ? k ? k

由 ri ? ri ( q1 , q 2 , ? q n , t )

( i ? 1, 2, ? n )

对 q k 求偏导可表示为 ? ri ? ri ? ( q1 , q 2 , ? q N , t ) ? qk ? qk

对时间求微分可得
? 2 ri ? 2 ri d ? ri ? ? ? ri ? ? ? ? ? ri ? ? ? ? ?q ?q q j ? ?t?q ?? ? ? q ?q j ? ? t ? ? q ? dt ?qk ?q j ? k ? j k k j ?1 ? k? j ?1
N N



? N ? ri ? ? ri ? ri ? ? ? ? ? ? ?q q j ? ?t ? ? ?qk ? q k j ?1 j ? ?

?

N

j ?1

? 2 ri ? 2 ri ? qj ? ?qk ?q j ?qk ?t

若 ri 的一二阶偏导数连续,比较上两式可得变换2
M1-26


相关文章:
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础 本章是动力学问题的引深, 将介绍解决刚体和刚体系统动力...这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第 一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。...
分析力学
拉格 朗日方程为基础的分析力学,称为拉格朗日力学。 1834 年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式,将动力学基本原 理归纳为变分形式的哈密顿...
2017年沈阳建筑大学805理论力学考研大纲硕士研究生入学...
2017年沈阳建筑大学805理论力学考研大纲硕士研究生入学考试大纲_研究生入学考试_...7. 分析力学基础:广义坐标与自由度;第二类拉格朗日方程。 四、考试用具说明 ...
第四章 动力学基础
第三章 刚体的平面运动学 第六章 分析力学基础1/2 相关文档推荐 ...轴转动的动量矩定理)方程、达朗贝尔原理(动 静法) 、第一和第二类拉格朗日方程...
2013年初试804《理论力学》科目考试大纲
7、分析力学基础:广义坐标与自由度;第二类拉格朗日方程。 、动力学普遍定 四、考试用具说明考试时需要携带计算器、笔。 五、主要参考书目 1、 《理论力学》 ...
分析力学
拉格朗日方程基础分析力学, 称为拉格朗日力学。 哈密顿(Hamilton) (Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式, 1834 年 哈密顿 (Hamilton)将拉格朗日...
分析力学基础
惠小强《理论力学》讲义——分析力学 分析力学(第六章) 分析力学(第六章)零....《理论力学》讲义——分析力学 分量表达式-拉格朗日方程组: (3) 分量表达式-...
第13章 动力学普遍方程习题解
理论力学经典课件-拉格朗日... 52页 免费 第18章 分析力学基础(动力... 17页...*第 13 章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程 13- 1 图示均质细杆 OA 长...
清华大学
p.非惯性系下的质点动力学基本方程 q.分析力学基础:自由度、广义坐标的概念,动力学普遍方程,拉格朗日 第一、第二类方程,拉格朗日方程的初积分。 r.机械振动基础:...
分析力学
分析力学是从能量的观点出发,应用数学中的分析法来研究系统力学问题的一门科学。...自由度等基本概念,虚功原理,第二类拉格朗日方程,哈密顿正则方程,哈密顿原理,变...
更多相关标签: