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高中数学课件 点到直线的距离、两条平行直线间的距离


3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

1.探索并掌握点到直线的距离公式.

2.会求两条平行直线间的距离.

1.点到直线的距离公式
(1)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离
| Ax 0 ? By0 ? C |

d=______________. A 2 ? B2
|y0| |x0| (2)点P(x0,y0)到x轴的距离d=_____,到y轴的距离d=_____.

2.两条平行直线间的距离 已知两条平行直线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2),
| C1 ? C2 | A ?B 则l1与l2之间的距离为d=__________.
2 2

1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打
“×”).

(1)直线l1:Ax+By+C1=0到l2:Ax+By+C2=0的距离是|C1-C2|.
( )

(2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形.(
(3)原点到直线Ax+By+C=0的距离公式是
|C| A ?B
2 2

)
)

.(

提示:(1)错误.平行直线间的距离是 | C1 ? C2 | , 而非|C1-C2|,
A 2 ? B2

故这种说法是错误的. (2)错误.当点在直线上,点到直线的距离为0,公式中分子为 0,距离为0,仍然适用,故这种说法是不正确的. (3)正确.把原点(0,0)代入点到直线的距离公式,可知是正确 的. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)√

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线

上).
(1)点P(2,1)到直线x=1的距离为 .

(2)若P(0,a)到直线x+y-1=0的距离为 2 ,则a=
(3)已知l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0,则l1与l2之间的距离

.



.

【解析】(1)点P(2,1)到直线x=1的距离为d=|2-1|=1. 答案:1 (2)因为 d ? | 0 ? a ? 1| ? 2, 所以|a-1|=2,所以a=3或a=-1. 2 2
1 ?1

答案:3或-1 (3)由题意知两直线平行,所以 ? d 答案: 2
| C1 ? C2 | A ?B
2 2

?

|1 ? (?1) | 1 ?1
2 2

? 2.

一、点到直线的距离 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d ?
| Ax 0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

.

探究1:观察点到直线的距离公式,回答下列问题: (1)点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗? 提示:公式中直线方程必须为一般式,如果不是,必须先将

方程化为一般式方程,再利用公式求距离.

(2)点到直线的距离公式对于A=0,B≠0或A≠0,B=0或P点在直

线l上的情况是否还适用?

探究提示:考虑 代入公式能否成 提示:仍然适用. 立. ①当A=0,B≠0时,直线l的方程为By+C=0,
C C | By0 ? C | y ? ? ,d ?| y0 ? |? , 适合公式; 即 B B | B|

②当B=0,A≠0时,直线l的方程为 Ax ? C ? 0, x ? ?
C | Ax 0 ? C | d ?| x 0 ? |? , 适合公式; A |A|

C , A

③当P点在直线l上时,有Ax0+By0+C=0,
d? | Ax 0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

? 0,适合公式.

【拓展延伸】平面上一点到几种特殊直线的距离

(1)点P(x0,y0)到x轴的距离为d=|y0|.
(2)点P(x0,y0)到y轴的距离为d=|x0|. (3)点P(x0,y0)到直线x=a的距离为d=|x0-a|. (4)点P(x0,y0)到直线y=b的距离为d=|y0-b|.

探究2:在推导一般情况下公式的证明过程中,过点P分别作
x,y轴的平行线交直线于R、S点,然后是利用什么知识推导出

公式的?
提示:通过上述方式构造出直角三角形,利用直角三角形面积 相等,斜边与斜边上的高的积等于两直角边的积,进而化简得 到公式.

【探究提升】对点到直线的距离公式的三点说明

(1)公式的适用范围:点到直线的距离公式适用于平面内任意
一点到任意一条直线的距离,无论是该直线的斜率不存在还是

斜率为0均适用于此公式.
(2)公式的构造特点:分子是用点P(x0,y0)的坐标代换直线方

程中的x,y,然后取绝对值.分母是直线方程中的x,y的系数的
平方和的算术平方根.

(3)使用点到直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式.

二、两条平行直线间的距离 两条平行线间的距离公式 d ? | C1 ? C2 | .
A 2 ? B2

探究1:应用平行线间的距离公式前提是什么? 提示:(1)两直线方程必须是一般式.(2)两直线方程x,y的系 数对应相等,否则不能直接用此公式.

探究2:平行线间的距离与点到直线的距离有怎样的关系?

提示:两条平行线间的距离可以转化为其中一条直线上一个
点到另一条直线的距离来求,即转化为点到直线的距离求解.

【探究提升】两条平行线间距离公式的两点说明 (1)公式的结构特征:分子是直线方程中常数项差的绝对值, 分母是x,y的系数的平方和的算术平方根. (2)利用公式时要注意对直线方程进行转化,转化为可以利用 公式的形式.

类型 一

点到直线的距离

尝试完成下列题目,体会点到直线距离公式的应用,并归 纳点到直线的距离的求解方法. 1.(2013·兰州高一检测)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,2) 到直线4x+3y+5=0的距离为 .
5

2.求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是 3 10 的直
线l的方程.

【解题指南】1.直接应用点到直线的距离公式
d? | Ax 0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

即可.

2.先根据垂直直线系设出l的方程,然后利用点到直线的距离 公式求出相应的参数即可.

【解析】1.由点到直线的距离公式可得 d ? | 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 | ? 19 .
19 答案: 5

42 ? 32

5

2.设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,则由点
到直线的距离公式知: ? | 3 ? (?1) ? 0 ? m | ? | m ? 3 | ? 3 10. d 2 2
3 ? (?1) 10 5

所以|m-3|=6,即m-3=〒6,
得m=9或m=-3, 故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.

【互动探究】若将题2中条件“垂直于直线x+3y-5=0”换为
“平行于直线x+3y-5=0”,其他条件不变,结论又如何呢?

【解析】设直线的方程为x+3y+C=0(C≠-5),则由点到直线的
距离公式知 d ? | ?1 ? 3 ? 0 ? C | ? | C ? 1| ? 3 10 , 2 2
1 ?3 10 5

故|C-1|=6.所以C=7或C=-5(舍去).故所求直线方程为 x+3y+7=0.

【技法点拨】点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式方程,直 接应用点到直线的距离公式求解即可. (2)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距 离公式列方程求解参数即可.

【拓展延伸】利用点到直线的距离公式求解最值问题 在求解一些代数式的最值时,我们往往将代数问题转化为几何 问题,利用数形结合的思想,得到一些意外的效果. 例如:设x+2y=1,求x2+y2的最小值. 解:x2+y2可看作直线x+2y=1上的点P(x,y)与原点的距离的平 方,则最小距离是原点到直线x+2y=1的垂线段的长度.由点到 直线的距离公式知所求最小距离为 d ?
1 12 ? 22 ? 1 所以x2+y2 , 5

的最小值为 ( 1 )2 ? 1 .
5 5

类型 二

两条平行直线间的距离

通过解答下列与两条平行直线间的距离有关的题目,体 会并总结解答两条平行直线间的距离问题的两种思路. 1.(2013·潍坊高一检测)直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平 行,则它们之间的距离为(
A.4 B. 2 13 13

)
C. 5 13 26 D. 7 10 20

2.与直线x-y+1=0的距离为 2 的直线l的方程是______.

【解题指南】1.先利用两直线平行的条件求出m的值,然后再
利用两平行直线之间的距离公式即可求出它们之间的距离. 2.可先设出直线l的方程,然后利用两平行线间的距离公式求 解.

【解析】1.选D.因为直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行,所 以3m=6,即m=2. 直线6x+2y+1=0可化为3x+y+ 1 =0.
2

1 1 | ?3 ? | 3 因此它们之间的距离为 d ? 2 ? 2 ? 7 10 . 20 10 32 ? 12

2.设直线l的方程为x-y+C=0,由题意得 | C ? 1| ? 2.
2

所以|C-1|=2,所以C=3或C=-1.

答案:x-y+3=0或x-y-1=0

【技法点拨】平行直线间距离问题的两种思路 (1)转化为点到直线的距离. (2)当两条直线的方程均为一般式方程,且x,y系数对应相等 时,可直接应用公式 d ? | C1 ? C2 | 求解.
A2 ? B2

【变式训练】两平行直线l1,l2分别过A(1,0)与B(0,5)点,若l1 与l2之间的距离为5,求这两直线的方程. 【解析】设l1:y=k(x-1)即kx-y-k=0,则点B到l1的距离为
|5?k | k2 ?1 ? 5,所以k=0或k=
5 , 12 5 x+5, 12

所以l1的方程为y=0或5x-12y-5=0,l2的方程为y=5或y= 所以两直线方程为l1:y=0,l2:y=5或l1:5x-12y-5=0, l2:5x-12y+60=0.

类型 三

距离公式的综合应用

试着解答下列题目,总结有关距离最值问题的求解方法.

1.已知点A(0,2),B(2,0),若点C在函数y=x2的图象上,则使得
△ABC的面积为2的点C的个数为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

2.两条相互平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并各自绕 着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d,求: (1)d的取值范围. (2)当d取最大值时,两条直线的方程.

【解题指南】1.先根据点C在函数y=x2的图象上设出点C的坐 标(t,t2),进而求点C到直线AB的距离,即为△ABC在边AB上的 高,然后再根据△ABC的面积公式列出t的方程.方程解的个数 即为C点的个数.

2.结合图形可知分别过A,B两点的两条平行直线之间的距离应
不大于AB,而当距离最大时,所在直线恰好与直线AB垂直,从而

可求出直线方程.

【解析】1.选A.设点C(t,t2),直线AB的方程是x+y-2=0,

|AB|=2 2 .△ABC的面积为2,则这个三角形AB边上的高h满足
方程 1 ? 2 2h ? 2, 即h= 2 .由点到直线的距离公式,得
2

| t ? t 2 ? 2 | 即|t2+t-2|=2,即t2+t-2=2或t2+t-2=-2,这 2? , 2

两个方程各有两个不相等的实数根,故这样的点C共有4个.

2.(1)如图,显然有0<d≤AB.而 AB ? (6 ? 3) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 3 10,

故所求d的变化范围是(0, 3 10].

(2)由图知,当d取最大值时,两直线均垂直于AB,而
k AB ? 2 ? (?1) 1 所以所求直线的斜率为-3. ? , 6 ? (?3) 3

故所求的直线方程为 y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0.

【技法点拨】求有关距离最值问题的两种方法
(1)利用解析几何知识构造一个函数,然后利用函数求最值.

(2)利用几何性质求最值:①两点之间线段最短,直角三角形
斜边大于直角边,三角形的两边之和大于第三边,两边之差

小于第三边等;②寻找定长线段.

【变式训练】已知△ABC中,A(1,1),B(m, m )(1<m<4),

C(4,2),求m为何值时,△ABC的面积S最大.

【解析】因为A(1,1),C(4,2), 所以|AC|= (4 ? 1)2 ? (2 ? 1) 2 ? 10. 又直线AC的方程为x-3y+2=0. 根据点到直线的距离公式,得点B(m, m )到直线AC的距离为
| m?3 m ? 2| , 10 所以 S ? 1 | AC |?d ? 1 | m ? 3 m ? 2 |? 1 | ( m ? 3 ) 2 ? 1 | . 2 2 2 2 4 d?

因为1<m<4, 所以1< m <2,所以 ? 1 < m ? 3 < 1 ,
2 2 2

所以 0 ? ( m ? 3 ) 2<1 ,
2 4

所以 S ? 1 1 ? ( m ? 3 ) 2] [ .
2 4 2

所以当 m ? 3 ? 0,即m= 9 时,S最大,
2 4

故当m= 9 时,△ABC的面积最大.
4

1.点(2,0)到直线y=x-1的距离为(
A. 2 4 B. 2 3 C. 3 2 2

)
D. 2 2

【解析】选D.直线方程化为一般式:x-y-1=0, 由点到直线的距离公式知 d ? | 2 ? 0 ? 1| ? 1 ? 2 . 2 2
1 ? (?1) 2 2

2.两平行线y=kx+b1与y=kx+b2之间的距离是(
A.b1 ? b 2 C. | b1 ? b 2 | B. | b1 ? b 2 | 1? k2 D.b 2 ? b1

)

【解析】选B.两平行线的一般式方程为:y-kx-b1=0及y-kx-

b2=0.
故 d ? | ?b1 ? (?b2 ) | ? | b1 ? b2 | .
1? k2 1? k2

3.点P在直线x+y-4=0上,O为原点,则|OP|的最小值是______.

【解析】|OP|的最小值即为原点O到直线x+y-4=0的距离
d? |0?0?4| ? 2 2. 2

答案:2 2

4.若点A(a,0)到直线x+y-1=0的距离为2,则a=________.
【解析】由点到直线的距离公式得 2 ? | a ? 1| ,
2

所以|a-1|=2 2 ,所以a-1=〒2 2 . 所以a=1〒2 2 . 答案:1〒2 2

5.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等, 则m的值为________. 【解析】因为两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离

相等,
所以
| 3m ? 2 ? 3 | m ?1
2

?

| ?m ? 4 ? 3 | m ?1
2

,

解得m= 1 或m=-6.
2

答案:1 或-6
2

6.求过点P(-1,2),且与原点的距离等于 2 的直线方程.
2

【解析】当直线斜率不存在时,方程为x=-1,不合题意;
当直线斜率存在时,设方程为:y-2=k(x+1),
| 即:kx-y+k+2=0,由题意: k ? 2 | ? 2 , 2 k ?1 2

解得:k=-1或k=-7,故所求的直线方程为:x+y-1=0或

7x+y+5=0.


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