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2015年苏锡常镇高三数学三模试卷及答案


2015 年苏锡常镇高三数学(三模)试卷 数学 I
一、填空题(5×14=70 分) 1.已知集合 A={-1,1,3},B={2,2a-1},A∩B={1},则实数 a 的值是____________. 2.设 1+2i=2i(a+bi)(其中 i 为虚数单位,a,b∈R),则 a+b 的值是____________. 3.某工厂生产某种产品 5000 件,它们来自甲、乙、丙 3 条不同的生产线.为检查这批产品的质量,决定 采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的件数之比为 1∶2∶2,则乙生产线生 产了____________件产品. Read x 4.根据如图所示的伪代码,若输入的 x 值为-1,则输出的 y 值为__________. If x>0 Then 5.从 3 名男生和 1 名女生中随机选取两人,则两人恰好是 1 名男生和 1 名女 y←x+1 生的概率为____________. Else x2 y2 y←1-x 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 2- 2=1(a,b>0)的离心率为 2, a b End If 一个焦点到一条渐近线的距离为 1,则该双曲线的方程为____________. Print y 7.在平面直角坐标系 xOy 中,设向量 a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2), (第 4 题) 若(a-2b)⊥c,则实数 k 的值为____________. a 8.设常数 a>0,若函数 f(x)=x+ (x>1)的最小值为 3,则 a 的值为____________. x-1 π π 9.在平面直角坐标系 xOy 中,若函数 y=3sin(2x+ )的图象向左平移 φ(0<φ< )个单位后,所得函数图象 4 2 关于原点成中心对称,则 φ 的值为____________. 10.已知等差数列{an}满足:a1=-8,a2=-6.若将 a1,a4,a5 都加上同一个数 m,所得的三个数依此成 等比数列,则实数 m 的值为____________. 11.已知圆锥的底面半径和高相等,侧面积为 4 2π,过圆锥的两条母线作截面,截面为等边三角形,则 圆锥底面中心到截面的距离为____________. x2 y2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A 为椭圆 + =1 上的动点,MN 为圆(x-1)2+y2=1 的一条直径, 9 5 →→ 则AM· AN 的最大值为____________. 13.若函数 f(x)=|x3-4x|+ax-2 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围为____________. a+2 14.设 a,b∈R,a≠0,在平面直角坐标系 xOy 中,若两条曲线 y= ,y=ax+2b+1 在区间[3,4]上 x 至少有一个公共点,则 a2+b2 的最小值为____________. 二、解答题(14×3?16×3=90 分) π 15.已知函数 f(x)=sin(x+ )+cosx,x∈R, 6 (1)求函数 f(x)的最大值,并写出当 f(x)取得最大值时 x 的取值集合; π π 3 3 (2)若 α∈(0, ),f(α+ )= ,求 f(2α)的值. 2 6 5

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16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AB=2,AD= 2, PD⊥平面 ABCD,E,F 分别为 CD,PB 的中点.求证: (1)CF∥平面 PAE; (2)AE⊥平面 PBD.

P

F D A E (第 16 题) B C

17.如图,甲船从 A 处以每小时 30 海里的速度沿正北方向航行,乙船在 B 处沿 固定方向匀速航行,B 在 A 北偏西 105?方向用与 B 相距 10 2海里处.当甲 船航行 20 分钟到达 C 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120?方向的 D 处,此 时两船相距 10 海里. (1)求乙船每小时航行多少海里? 8 3 (2)在 C 的北偏西 30?方向且与 C 相距 海里处有一个暗礁 E,周围 2海里 3 范围内为航行危险区域.问:甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?若有危 险,则从有危险开始,经过多少小时后能脱离危险?若无危险,请说明理由.
B 北 E C

D E A (第 17 题)

x2 y2 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的顶点都在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上,对角线 AC 与 a b BD 分别过椭圆的左焦点 F1(-1,0)和右焦点 F2(1,0),且 AC⊥BD,椭圆的一条准线方程为 x=4. (1)求椭圆的方程; y B A (2)求四边形 ABCD 面积的取值范围. F1 O F2 D (第 18 题) x

C

ex 19.设函数 f(x)= x 的导数为 f'(x)(e 为自然对数的底数). e (1)求函数 f(x)的极大值; (2)解方程 f(f(x))=x; (3)若存在实数 x1,x2(x1≠x2)使得 f(x1)=f(x2),求证:f'( x1+x2 )<0. 2

20.已知 λ,μ 为常数,且为正整数,λ≠1,无穷数列{an}的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,对任意的 正整数 n,Sn=λan-μ.记数列{an}中任意两不同项的和构成的集合为 A. (1)证明:无穷数列{an}为等比数列,并求 λ 的值; (2)若 2015∈A,求 μ 的值; - (3)对任意的 n∈N*,记集合 Bn={x|3μ· 2n 1<x<3μ· 2n,x∈A}中元素的个数为 bn,求数列{bn}的通项 公式.

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数学 II(附加题)

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