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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:数列的综合问题


数列的综合问题
(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013· 辽宁三校联考] “λ<1”是“数列 an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),n=1,2,?,则 a2 012 等于

( ) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 4 3 1 2 A.2 B.3 C.4 D.5 ? 1 ? 3.[2013· 威海一模] 已知函数 f(x)=x2+2bx 过点(1,2),若数列?f(n)?的前 n 项和为 Sn, ? ? 则 S2 012 的值为( ) 2 012 2 010 2 013 2 012 A. B. C. D. 2 011 2 011 2 012 2 013 4. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升.

能力提升 5.[2013· 湖南六校联考] 已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差 数列,a3>0,则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( ) A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0 D.可正可负 3 5 6.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x),x∈R,且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N*)的前 20 项 2 2 的和为( ) A.305 B.315 C.325 D.335 2? 7.已知向量 a=(an,2),b=? ?an+1,5?,且 a1=1,若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a∥b, 则 Sn=( ) 1 n 1 n 5 1 A. ?1-?5? ? B. ?1-?5? ? 4? ? ? ? 4? ? ? ? 1? ?1?n-1? 5 1 n-1 C. 1- D. ?1-? ? ? 4? ?5? ? 4? ?5? ? 8.[2013· 开封模拟] 已知数列{an}满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前 n 项和 为 Sn,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是( ) A.9 B.10 C.11 D.12 9 . [2013· 信阳二调 ] 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,已知 (a2 - 1)3 + 2 011(a2 - 1) = 2 011π 2 011π sin ,(a2 010-1)3+2 011(a2 010-1)=cos ,则 S2 011 等于( ) 3 6 A.0 B.2 011 C.4 022 D.2 011 3 10.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部《孟子》三日了,每日添增一倍多,问君 每日读多少?”(注: 《孟子》全书共 34 685 字,“一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读

的字数为________. 11. [2013· 南通一模] 各项均为正偶数的数列 a1, a2, a3, a4 中, 前三项依次成公差为 d(d>0) 的等差数列,后三项依次成公比为 q 的等比数列,若 a4-a1=88,则 q 的所有可能的值构成的 集合为________. 12.[2013· 泉州质检] 同学们都有这样的解题经验:在某些数列的求和中,可把其中一项 分裂成两项之差,使得某些项可以相互抵消,从而实现化简求和.如:已知数列{an}的通项为 1 1 1 1 1 1 1- ?+? - ?+? an= , 则将其通项化为 an= - , 故数列{an}的前 n 项和 Sn=? 2 ? ? ?2 3? n n+1 n(n+1) 1 1 1 n +?n-n+1?=1- = .“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列,在斐波那契数 ? ? n+1 n+1 列{an}中,a1=1,a2=1,an+an+1=an+2(n∈N*),若 a2 013=a,那么数列{an}的前 2 011 项的 和是________. 13.已知奇函数 f(x)是定义在 R 上的增函数,数列{xn}是一个公差为 2 的等差数列,满足 f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则 x2013 的值等于________. 14.(10 分)已知等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1), 且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+13 (2)设 bn= ,求数列{bn}的最小值项. n

15.(13 分)[2013· 厦门质检] 某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为 由易到难共 12 关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟 币).该软件提供了三种奖励方案:第一种,每闯过一关奖励 40 慧币;第二种,闯过第一关奖 励 4 慧币,以后每一关比前一关多奖励 4 慧币;第三种,闯过第一关奖励 0.5 慧币,以后每一 关比前一关奖励翻一番(即增加 1 倍),游戏规定:闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (1)设闯过 n(n∈N*,且 n≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为 An,Bn,Cn,试求出 An,Bn,Cn 的表达式; (2)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?

难点突破 16.(12 分)[2013· 湘潭三模] 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭 经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、 住宿费及生活费. 每一年度申请总额不超过 6 000 元.某大学 2013 届毕业生凌霄在本科期间共申请了 24 000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年

内(按 36 个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1 500 元,第 13 个月 开始,每月工资比前一个月增加 5%直到 4 000 元.该同学计划前 12 个月每个月还款额为 500 元,第 13 个月开始,每月还款额比前一月多 x 元. (1)若该同学恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (2)当 x=50 时,该同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满足 每月 3 000 元的基本生活费? (参考数据:1.0518=2.406,1.0519=2.526,1.0520=2.653,1.0521=2.786)

【基础热身】 1.A [解析] 若 λ<1,则 an+1-an=(n+1)2-2λ(n+1)-(n2-2λn)=2(n-λ)+1, 由 n∈N*,即 n≥1,得 an+1-an>0,即数列{an}为递增数列; 2n+1 若数列{an}为递增数列,则 an+1-an>0,即 2(n-λ)+1>0,解得 λ< ,由 n∈N*,即 2 3 n≥1,得 λ< ,则 λ<1 不一定成立,故选 A. 2 2.A [解析] 由已知 a1=4,a2=f(a1)=1,a3=f(a2)=5,a4=f(a3)=2,a5=f(2)=4,? 即数列{an}是周期为 4 的数列,而 2 012=503×4,则 a2 012=a4=2,故选 A. 1 3.D [解析] 由函数 f(x)=x2+2bx 过(1,2)点,得 b= , 2 1 1 1 1 ∴ = = - , f(n) n(n+1) n n+1 1 1 1 S2 012= + +?+ f(1) f(2) f(2 012) 1 1 1 1 1 ? 2 012 1- ?+? - ?+?+? - =? ? 2? ?2 3? ?2 012 2 013?=2 013,故选 D. ? ?a1+a2+a3+a4=3, 67 4. [解析] 设该等差数列为{an},公差为 d,则有? 即 66 ?a7+a8+a9=4, ?
?4a1+6d=3, ? 39 7 ? 解得 a1= ,d= , 66 66 ? 3 a + 21 d = 4 , ? 1

39 7 67 所以 a5=a1+4d= +4× = . 66 66 66 【能力提升】 5.A [解析] f(0)=0,a3>0,f(a3)>f(0)=0,又 a1+a5=2a3>0,∴a1>-a5,∴f(a1)> f(-a5)=-f(a5), ∴f(a1)+f(a5)>0,故选 A. 3 6.D [解析] 由已知 f(x+1)-f(x)= , 2 3 则数列{f(n)}是等差数列,公差为 , 2 5 20×19 3 其前 20 项和为 20× + × =335,故选 D. 2 2 2 an+1 1 2 1 7.A [解析] 由向量 a∥b,得 an=2an+1,即 = ,数列{an}是公比为 的等比数列, 5 an 5 5 n 1 ? 1-? ?5? 5? ?1?n? 则 Sn= = 1- 5 ,故选 A. 1 4? ? ? ? 1- 5 an+1 an+1 8.C [解析] ∵log2an+1=log2an+1,∴log2 =1,∴ =2,所以,数列{an}是以 1 an an 1-2n n 为首项,公比为 2 的等比数列,所以 Sn= =2 -1>1 025,∴2n>1 026.又 210<1 026<211, 1-2 ∴n>10,∴nmin=11.故选 C. 2 011π π π 9.B [解析] ∵sin =sin?670π + ?=sin =, 3 3 3? ? 3 3 ∴(a2-1)3+2 011(a2-1)= ,(a2 010-1)3+2 011( , 2 2 2 011π 7 π 7 3 3 334π + π ?=cos π =-cos =- a2 010-1)=- , cos =cos? 6 ? ? 6 6 6 2 2 两式相加,得[(a2-1)3+(a2 010-1)3]+2 011[(a2-1)+(a2 010-1)]=0,

即(a2+a2 010-2)[(a2-1)2-(a2-1)(a2 010-1)+(a2 010-1)2+2 011]=0, ∵(a2-1)2-(a2-1)(a2 010-1)+(a2 010-1)2+2 011>0, 2 011(a2+a2 010) ∴a2+a2 010=2,∴S2 011= =2 011,故选 B. 2 10.9 910 [解析] 设第一日读的字数为 a,由“每日添增一倍多”得此数列是以 a 为首 a(1-23) 项, 公比为 2 的等比数列, 可求得三日共读的字数为 =7a=34 685, 解得 a=4 955, 1-2 则 2a=9 910,即该君第二日读的字数为 9 910. ?5 8? 11.?3,7? [解析] 设这四个数分别为 a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中 a1,d 均为正偶 ? ? 4d(22-d) 数,则(a1+2d)2=(a1+d)(a1+88),整理得 a1= >0, 3d-88 (注意体会这里用“a1>0”而不用“a1≥2”的好处,实际是一种估算能力) 88 所以(d-22)(3d-88)<0,即 22<d< , 3 所以 d 的所有可能值为 24,26,28, 5 当 d=24 时,a1=12,q= ; 3 208 当 d=26 时,a1= (舍去); 5 8 当 d=28 时,a1=168,q= , 7 ?5 8? 所以 q 的所有可能值构成的集合为?3,7?. ? ? 12.a-1 [解析] 由已知,有 a1+a2=a3,a2+a3=a4,?,a2 011+a2 012=a2 013,各式相 加,得 a2+a1+a2+a3+?+a2 011=a2 013,故数列{an}的前 2011 项和为 a-1. 13.4 003 [解析] 设 x8=m,则 x9=m+2,x10=m+4,x11=m+6,且 x8+x11=x9+x10, ∴f(m)+f(m+2)+f(m+4)+f(m+6)=0, 且 f(m)<f(m+2)<f(m+4)<f(m+6), ∴f(m)<0,f(m+6)>0. 若 m 与 m+6 关于原点不对称,则 m+2 与 m+4 也关于原点不对称, ∵f(x)是奇函数,即 f(-x)=-f(x), ∴f(m)+f(m+2)+f(m+4)+f(m+6)≠0,矛盾, ∴m 与 m+6 关于原点对称,则 m+2 与 m+4 关于原点对称, 则 m=-3,x8=-3,x2 011=x8+(2 011-8)×2=4 003. 2 14.解:(1)设数列{an}的公差为 d,由 2S2=a2 2+a2,可得 2(a1+a1+d)=(a1+d) +(a1+ d). 又 a1=1,数列{an}各项均为正数,可得 d=1. 数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,∴an=n. n(n+1) 2Sn+13 n(n+1)+13 13 (2)根据(1)得 Sn= ,bn= = =n+ +1. 2 n n n 13 由于函数 f(x)=x+ (x>0)在(0, 13]上单调递减,在[ 13,+∞)上单调递增, x 13 22 88 13 29 87 而 3< 13<4,且 f(3)=3+ = = ,f(4)=4+ = = , 3 3 12 4 4 12 29 33 所以当 n=4 时,bn 取得最小值,且最小值为 +1= . 4 4 33 即数列{bn}的最小值项是 b4= . 4 15.解:(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列,∴An=40n, 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 4,公差为 4 的等差数列,

n(n-1) ∴Bn=4n+ ×4=2n2+2n, 2 第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是 0.5,公比为 2 的等比数列, 1 (1-2n) 2 1 ∴Cn= = (2n-1). 2 1-2 (2)令 An>Bn,即 40n>2n2+2n,解得 n<19, ∵n∈N*,且 n≤12,∴An>Bn 恒成立. 1 令 An>Cn,即 40n> (2n-1),可得 n<10, 2 ∴当 n<10 时,An 最大;当 10≤n≤12 时, Cn>An. 综上,若我是一名闯关者,当能冲过的关数小于 10 时,应选用第一种奖励方案;当能冲 过的关数大于等于 10 时,应选用第三种奖励方案. 【难点突破】 16.解:(1)依题意,从第 13 个月开始,每个月的还款为 an 构成等差数列,其中 a1=500 24×(24-1) +x,公差为 x, 从而,到第 36 个月,凌霄共还款 12×500+24a1+ ·x. 2 24×(24-1) 令 12×500+(500+x)×24+ ·x=24 000,解之得 x=20. 2 即要使在三年全部还清,第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元. (2)设凌霄第 n 个月还清,则应有 (n-12)×(n-12-1) 12×500+(500+50)×(n-12)+ ·50≥24 000, 2 3+ 3 321 整理可得 n2-3n-828≥0,解之得 n≥ >30,取 n=31. 2 即凌霄工作 31 个月就可以还清贷款. 这个月凌霄的还款额为 (30-12)×(30-12-1) 24 000-12×500+(500+50)×(30-12)+ ·50=450 元. 2 19 第 31 个月凌霄的工资为 1 500×1.05 =1 500×2.526=3 789 元. 因此,凌霄的剩余工资为 3 789-450=3 339,能够满足当月的基本生活需求.


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