当前位置:首页 >> 数学 >>

[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性[配套课件]


第3讲 函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.

1.函数的奇偶性 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=

-f(x)[或 f(-x)+f(x)=0],则称 f(x)为奇函数.奇函数的图象关 于原点对称.

r />f(-x)=f(x) 或 (2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有__________[ y f(-x)-f(x)=0],则称 f(x)为偶函数.偶函数的图象关于______
轴对称.

注意:通常利用图象或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶 性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或 偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).

2.函数的周期性
对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的

每一个 x 值,都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函
周期 . 数,非零常数 T 叫做这个函数的______

1.函数y= 1-x+ x-1是( D )

A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.偶函数 D.非奇非偶函数

2.(2015年广东江门一模)下列函数中,是奇函数的是( D ) A.f(x)=2x C.f(x)=sinx+1 B.f(x)=log2x D.f(x)=sinx+tanx

1 3.函数f(x)= x-x的图象关于( C )
A.y 轴对称 C.坐标原点对称 B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

4.(2013 年广东茂名一模)已知 f(x)是奇函数,当 x>0 时,

? 1? f(x)=log2x,则 f ? ? ? =( ? 2?
A.2 B.1

B) C.-1 D.-2

1 ? 1? ?1? 解析:f ? ? ? =-f ? ? =-log22=1. ? 2? ?2?

考点 1 判断函数的奇偶性 例 1:(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是(
1 A.y=2 - x 2
x

)

B.y=x3sinx D.y=x2+2x

C.y=2cosx+1

1 解析:对于A选项中的函数f(x)=2 - 2x =2x-2-x,函数定
x

义域为R,f(-x)=2-x-2-(-x)=2-x-2x=-f(x),则该函数为奇 函数;对于B选项中的函数g(x)=x3sinx,g(-x)=-x3sin(-x) =x3sinx=g(x),则该函数为偶函数;对于C选项中的函数h(x) =2cosx+1,定义域为R,h(-x)=2cos(-x)+1=2cosx+1= h(x),则该函数为偶函数; 3 对于D选项中的函数φ(x)=x +2 ,φ(1)=3,φ(-1)= , 2
2 x

则φ(-1)≠± φ(1),则该函数为非奇非偶函数.故选A.
答案:A

(2)(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3 ,y=2x,y =x2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是( A.4 个 答案:C (3)(2012 年广东)下列函数为偶函数的是(
A.y=sinx B.y=x3 C.y=ex

) D.1 个

B.3 个

C.2 个

)
D.y=ln x2+1

解析:y=sinx是奇函数,y=x3是奇函数,y=ex为非奇非 偶函数.对于D项,由f(x)=ln x2+1 ,得f(-x)=ln ?-x?2+1 =ln x2+1=f(x),故y=ln x2+1是偶函数.

答案:D

(4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下 列结论恒成立的是( )

A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数

C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数

解析:∵g(x)是 R 上的奇函数,∴|g(x)|是 R 上的偶函数,
从而 f(x)+|g(x)|是偶函数.故选 A. 答案:A

【规律方法】判断函数奇偶性的方法:? ①定义法: 第一步先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对称, 若不对称,则为非奇非偶函数. 第二步直接或间接利用奇偶函数

f ( x) 的定义来判断,即若有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)+f(x)=0, = f (? x)

f ( x) -1) ,则 f(x)为奇函数;若有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)-f(x)=0, =1), f (? x)
则 f(x)为偶函数;

②图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数

奇偶性的判断常用图象法; ③复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复
合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而 定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”; ④抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值, 通过合理、灵活地变形配凑来判断.

【互动探究】

1.若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,
则( B ) A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

C.f(x)与 g(x)均为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

解析:∵f(-x)=3-x+3x=f(x),∴f(x)为偶函数.而 g(-x)
=3-x-3x=-g(x),∴g(x)为奇函数.

考点2

利用奇偶性求函数值

例2:若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________.

解析:方法一:由函数f(x)为偶函数,得f(x)=f(-x)对于任
意的 x 都成立,

即(x+a)(x-4)=(-x+a)· (-x-4),
∴x2+(a-4)x-4a=x2+(4-a)x-4a.∴a-4=4-a.∴a=4.

方法二:由题意知,f(-1)=f(1),∴(-1+a)(-1-4)=(1
+a)(1-4).∴a=4. 答案:4

【规律方法】已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法:先利用 f?x?±f?-x?=0 得到关于待求参数 的恒等式,再利用恒等式的性质列方程求解.

【互动探究】

?x+1??x+a? -1 2.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=____. x
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),∴a=-1. 3.(2015年广东广州一模)已知幂函数f(x)= x 的值为_______. 16
-m 2-2m +3

(m

∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,则f(2)

考点3

函数奇偶性与周期性的综合应用

例 3:(1)(2014 年安徽)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
? ?x?1-x?,0≤x≤1, 数, 且在[0,2]上的解析式为 f(x)=? ? ?sinπx,1<x≤2,

? 29 ? 则 f? ? ? 4 ?

? 41 ? +f ? ? =________. ? 6?

解析:由题意,得 f(x+4)=f(x),f(-x)=-f(x), 则
?29? ?41? ? 3? ? 7? f? ?+f? ?=f?4×2- ?+f?4×2- ? 4? ? 6? ?4? ?6? ?

? 3? ? 7? ?3? ?7? =f?-4?+f?-6?=-f?4?-f?6? ? ? ? ? ? ? ? ?

3? 3? 7 =-4?1-4?-sin6π ? ? 3 1 5 =-16+2=16.

5 答案:16

(2)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-
? 5? x),则f?-2?=( ? ?

) 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2

1 A.- 2

解析:f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性,得
? 5? ? 5 ? ? 1? ? 1? 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f -2 =f -2+2 =f -2 =-f 2 =-2× × 1-2 =- . 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

答案:A

【规律方法】第(1)小题主要考查函数的奇偶性、周期性
? 29 ? f 及分段函数,蕴含转换与化归思想,其实质就是要将 ? ? + ? 4 ?

29 41 ? 41 ? f ? ? 中的 与 利用奇偶性、周期性转换成[0,2]上的 4 6 ? 6 ?

对应值,然后分别代入解析式即可.? 第(2)小题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值
5 的方法.关键是通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间 2

[0, 1]上进行求值.

【互动探究】

4.(2014 年新课标Ⅱ)已知偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x
3 =2 对称,f(3)=3,则 f(-1)=________. 解析:∵y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,∴f(1)=f(3)= 3.又∵y=f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1)=3.

●易错、易混、易漏●

⊙判断函数奇偶性时没有考虑定义域
例题:给出四个函数: 2-x ; ①y=lg 2+x ②y=lg(2-x)-lg(2+x);

③y=lg[(x+2)(x-2)];
④y=lg(x+2)+lg(x-2).

其中奇函数是__________,偶函数是__________.

正解:①②的定义域相同,均为(-2,2),且均有 f(-x)= -f(x),所以都是奇函数;③的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞), 且有 f(-x)=f(x),所以为偶函数;而④的定义域为(2,+∞),

关于原点不对称,因此该函数为非奇非偶函数.
答案:①② ③

【失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致 错.对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x) 的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性

的必要条件.


相关文章:
【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性]
南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性]_高中教育_教育专区。【南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:...
【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第二章 函数练习 理
南方新课堂2016年高考数学总复习 第二章 函数练习 理_数学_高中教育_教育...平均值函数, 试确定实数 m 的取值范 围. 4 第 3 讲 函数的奇偶性与周期...
2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性
2016高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性_数学_高中教育_教育专区。第3讲 函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体...
【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性]
南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性]_高中教育_教育专区。【南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:...
2016高考数学第一轮复习_函数的奇偶性与周期性
2016高考数学第一轮复习_函数的奇偶性与周期性_数学_高中教育_教育专区。2.3 1.奇、偶函数的概念 函数的奇偶性与周期性 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域...
【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第二章 函数]
南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第二章 函数]_高中教育_教育...1]上的平均值函数, 试确定实数 m 的取值范围. 第3讲 函数的奇偶性与周期性...
2016届 数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值
2016数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组 (建议...
【南方新课堂】2015年高考数学总复习 第二章 函数课时检测
南方新课堂】2015年高考数学总复习 第二章 函数课时检测_数学_高中教育_教育...平均值函数, 试确定实数 m 的取值范 围. 4 第 3 讲 函数的奇偶性与周期...
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第4讲 函数的奇偶性及周期性
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第4讲 函数的奇偶性及周期性_数学_高中教育_教育专区。2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第4讲 函数的...
更多相关标签: