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一道调研试题的推广引申及背景探究


2 0 1 3 年第 1 1 期  数 学数学  1 - 2 5   一 道 调研 试 题 的推广 引 申及 背景 探 究  2 1 5 0 0 5   江 苏省 苏州 第十 中学  施开明   1 . 试 题 呈现  解:( 1 )由   2   口 , 2   +5 丽 .   =一 0 ,   =   题目  f 常 州市 2 0 1 3 届 高三 数学期末调研  测试题) 如图1 , 在 平 面 直 角坐 标 系 x O y 中,   已知 点 F 1 、F 2分别 是椭 圆 E :   +   =1   5   , 有 0+c :5 ( 0 一c ) , 化简得 2 a: 3 c , 故  椭圆 E 的离心率为  2 ( 2 ) 存 在满足条 件 的常数  ,   =一  .点  ( a>b >0 ) 的左 、右焦 点, 点  、B 分别 是椭  圆 E 的 左 、右 顶 点 , 且 A  + 5 BF 2= 0 ‘ .   ( 1 )求 椭 圆 E 的离 心 率 ;   ( 2 ) 已知 点 D ( 1 , 0 ) 为线段 ( = ) F 2 的中点,   为椭 圆 E上 的动 点 ( 异于点 A ) , 连结 M F l 并  延长 交椭 圆 E 于 点 Ⅳ, 连 结  D、ⅣD 并分  别 延 长 交 椭 圆 E 于 点 P、Q, 连 结 PQ. 设 直  线 M Ⅳ、PQ 的斜率存在且分别 为 l 、  2 , 试  问是否存在常数 , 使得 k 1 +   2 =0恒成立?   若存在 , 求 出 入的值 ; 若不存 在, 说 明理 由.   V  J   D( 1 , 0 ) 为线段 OF 2的中点, C =2 , 从而 a =3 ,   b =   , 左焦点 F I ( 一 2 , 0 ) , 椭 圆 E 的方程 为  X2 +i y 2 = 1 .   设M ( x l ,  1 ) 、N( x 2 ,   2 ) 、 P( x 3 ,   3 ) 、 Q( x 4 ,   y 4 ) , 则直线 M D 的方程为 =   —  +l , 代  入 椭 圆 方 程百 X 2 + 警= l , 整 理 得   5 - X 1   +兰  二   一4: 0 .  Yl   。   、 \   t  F   / — 一 因为 Y l +Y 3 -   X  3=  X  1 一 b  , 所  =  X 1— 0  .   0     一  —   \   — / P   1 — 0   ( \   X 1 — 0   ,   X 1 一   ) /   . 同 理 , 点 Q ( \   5 X x 2   一  ̄ 0 9  — ,   X 2) 0 /   . 由 M 、   F 1 、Ⅳ 三 点 共 线 , 有  Y l   =   P , 从  图1   而x l Y 2 一x 2 Y l =2 ( Y l 一  2 ) . 因此  解题 分析 : 首先 从标准位 置入 手, 看一 看  由这 两 张 L 形 纸 片 还 能 拼 接 哪 些 能折 成 正 方  体 的标 准 图形, 显然图1 6 即图5 , 另 外还 有两  种标准 图形 ( 如图 6 、8 ) , 然后 在这三个标准 图  形 中, 将 其 中的一张 L 形纸 片进行旋转变 换得  到其 他 能折成 正方体 的变 式 图形:图 5 变 换成  图1 7 ,图 8变 换 成

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