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2015年高中数学二项式定理专题自测试题


2015 年高中数学二项式定理专题自测试题 【梳理自测】 一、二项式定理及特点 1.(教材改编)若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 2.(1+2x)5 的展开式中,x2 的系数等于( ) A.80 B.40 C.20 D.10 ? 3 1? 3.(教材改编)二项式?x - 2?5 的展开式

中的常数项为( ) x? ? A.10 B.-10 C.-14 D.14 答案:1.B 2.B 3.A ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)二项式定理 n 1 n-1 n-r r n * (a+b)n=C0 b+?+Cr b +?+Cn na +Cna na nb (n∈N )这个公式所表示的定理叫二项式定理,右 n 边的多项式叫(a+b) 的二项展开式. 其中的系数 Cr n(r=0,1,?,n)叫二项式系数. r n-r r n-r r 式中的 Cna b 叫二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,即通项 Tr+1=Cr b. na (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为 n+1. ②各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数的和为 n. ③字母 a 按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零;字母 b 按升幂排列,从第一项 起,次数由零逐项增 1 直到 n. 1 n-1 n ④二项式的系数从 C0 n,Cn,一直到 Cn ,Cn. 二、二项式系数的性质 1? ? 1.若?x- ?n 的展开式中第 3 项的二项式系数是 15,则展开式中所有项系数之和为( ) 2? ? 1 1 A. B. 32 64 1 1 C.- D. 64 128 1?n ? 3 2.若?3x- ? 展开式中各项系数之和为 32,则该展开式中含 x 的项的系数为( ) x? ? A.-5 B.5 C.-405 D.405 答案:1.B 2.C ◆以上题目主要考查了以下内容: r n-r (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即Cn=Cn (r=0,1,?,n) (2)增减性与最大值: n+1 二项式系数 Ck 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的; n,当 k< 2
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n n-1 n+1 当 n 是偶数时,中间一项 C n 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 C n,C n 取得最大值. 2 2 2 1 2 r n n 0 2 4 1 3 5 n-1 (3)各二项式系数和:C0 . n+Cn+Cn+?+Cn+?+Cn=2 ;Cn+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2 【指点迷津】 1.一个防范 n-r r 运用二项式定理一定要牢记通项 Tr+1=Cr b ,注意(a+b)n 与(b+a)n 虽然相同,但具体到它们 na 展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的 (字母) 系数是两个不同的概念,前者只指 Cr n,而后者是字母外的部分,前者只与 n 和 r 有关,恒为正,后者 还与 a,b 有关,可正可负. 2.一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明, 也可根据次数,项数和系数利用排列组合的知识推导二项式 定理.因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续. 3.两种应用 (1)通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等. (2)展开式的应用:①证明与二项式系数有关的等式;②证明不等式;③证明整除问题;④做近 似计算等.
考向一 二项展开式中的特定项或系数

a ? ? x+ ?8 4 ? 例题 1 (1)(2013·高考安徽卷)若? 3 ? 的展开式中,x 的系数为 7,则实数 a=________. x? ? ? 2 2? (2)(2013·高考江西卷)?x - 3?5 展开式中的常数项为( ) x? ? A.80 B.-80 C.40 D.-40 【审题视点】 根据二项展开式的通项公式,令 x 的次数为 4,则为 x4 的项,含 x 的次数为 0, 则为常数项. ? a ? 4 3 5? 3 3 3 4 【典例精讲】 (1)含 x 的项为 C8x ? 3 ? ? =C8a x , ? x? 1 3 ∴C3 8a =7,∴a= . 2 ? 2? 2 5-r 10-2r r 10 (2)设展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr ·?- 3?r=Cr ·(-2)r·x-3r=Cr 5·(x ) 5·x 5·(-2) ·x x ? ? -5r 2 .若第 r+1 项为常数项,则 10-5r=0,得 r=2,即常数项 T3=C2 5(-2) =40. 1 【答案】 (1) (2)C 2 【类题通法】 求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,含字母 的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数 k+1,代回通项 公式即可. 变式训练 1 1.(2014·浙江省温州市调研)( x- )6 的展开式中的常数项是________. 2x
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1 6 1 1 3r ) 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr x)6-r(- )r=(- )rCr , 6( 6x3- 2x 2x 2 2 15 ∴当 r=2 时,Tr+1 是常数项,此时 T3= . 4 15 答案: 4 考向二 二项展开式的系数和问题 10 例题 2 在(2x-3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和. 【审题视点】 分清二项式系数与项的系数,奇数项与偶数项,正确赋值. 【典例精讲】 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*)各项系数和即为 a0+a1+?+ a10,奇数项系数和为 a0+a2+?+a10,偶数项系数和为 a1+a3+a5+?+a9 由于(*)是恒等式,故可用 “赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数的和为 1 10 10 C0 10+C10+?+C10=2 . (2)令 x=y=1,各项系数和为 (2-3)10=(-1)10=1. (3)奇数项的二项式系数和为 2 10 9 C0 10+C10+?+C10=2 , 偶数项的二项式系数和为 3 9 9 C1 10+C10+?+C10=2 . (4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+?+a10=1,① 令 x=1,y=-1(或 x=-1,y=1), 10 得 a0-a1+a2-a3+?+a10=5 ,② 解析:二项式( x- ①+②,得 2(a0+a2+?+a10)=1+510, 1+510 ∴奇数项的系数和为 ; 2 ①-②,得 2(a1+a3+?+a9)=1-510, 1-510 ∴偶数项的系数和为 . 2 【类题通法】 (1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数 之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和, 只需令 x=y=1 即可. (2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), f +f - 奇数项系数之和为 a0+a2+a4+?= , 2 f -f - 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+?= . 2 变式训练
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2.(2014·福建厦门模拟)设(1+x) =a0+a1x+?+anx ,若 a1+a2+?+an=63,则展开式中系 数最大的项是( ) 2 A.15x B.20x3 C.21x3 D.35x3 1 n 解析:选 B.令 x=1,则(1+1)n=C0 n+Cn+?+Cn=64, 3 3 ∴n=6.故(1+x)6 的展开式中最大项为 T4=C3 6x =20x . 考向三 二项式定理的综合应用 例题 3 (1)求证:1+2+2 +?+25n-1(n∈N*) 能被 31 整除; 2 27 (2)求 S=C1 27+C27+?+C27除以 9 的余数; (3)根据下列要求的精确度,求 1.025 的近似值.(精确到 0.01). 【审题视点】 (1)(2)利用二项展开式寻求倍数关系. (3)根据展开式适当取舍. 25n-1 【典例精讲】 (1)证明:∵1+2+22+?+25n-1= 2-1 5n n =2 -1=32 -1 =(31+1)n-1 n 1 n-2 -1 n =C0 +?+Cn n×31 +Cn×31 n ×31+Cn-1 n-1 n-2 -1 =31(C0 +C1 +?+Cn n×31 n×31 n ), n-1 n-2 -1 显然 C0 +C1 +?+Cn n×31 n×31 n 为整数, ∴原式能被 31 整除. 2 27 27 9 (2)S=C1 27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 9 1 8 8 9 =(9-1)9-1=C0 9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 0 8 1 7 8 =9(C9×9 -C9×9 +?+C9)-2. 8 1 7 8 ∵C0 9×9 -C9×9 +?+C9是正整数, ∴S 被 9 除的余数为 7. 2 2 5 5 (3)1.025=(1+0.02)5=1+C1 5×0.02+C5×0.02 +?+C5×0.02 ≈1+5×0.02=1.10. 【类题通法】 (1)利用二项式定理进行近似计算:当 n 不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx. (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的 变形,使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式,要注意变形的技巧. (3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n 的展开式共有 n+1 项,故可以对某些项进行取舍 来放缩,从而达到证明不等式的目的. 变式训练 3.(2012·高考湖北卷)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除,则 a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 2 012 2 012 解析:选 D.51 +a=(52-1) +a 2 012 2 011 011 =C0 -C1 +?+C2 2 012·52 2 012·52 2 012×52× 012 2 012 (-1)2 011+C2 +a 2 012×(-1) 0 2 012 1 2 011 011 2 011 ∵C2 01252 -C2 01252 +?+C2 2 012×52×(-1) 能被 13 整除,且 512 012+a 能被 13 整除. 012 2 012 ∴C2 +a=1+a 也能被 13 整除, 2 012(-1) ∴a 可取值 12.
2

n

n

多次应用二项展开式通项公式搭配不全
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?1 ? 典型例题 (2012·高考安徽卷)(x2+2)? 2-1?5 的展开式的常数项是( ) ?x ? A.-3 B.-2 C.2 D.3 【正解】 利用二项展开式的通项求解. ?1 ? 二项式? 2-1?5 展开式的通项为: ?x ? 1 ? ?5-r 2r-10 Tr+1=Cr ·(-1)r=Cr ·(-1)r. 5? 2? 5·x x ? ? 当 2r-10=-2,即 r=4 时,有 -2 4 4 4 x2·C4 5x ·(-1) =C5×(-1) =5; 0 5 当 2r-10=0,即 r=5 时,有 2·C5 5x ·(-1) =-2. ∴展开式中的常数项为 5-2=3,故选 D. 【答案】 D ?1 ? 【易错点】 (x2+2)与? 2-1?5 的各因式的积为常数项,不只是 2 与(-1)的积,还有 x2 与 x-2 ?x ? 的积也为常数. 【警示】 求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时,一般要根据这几个二项式的结构特 征进行分类搭配,分类时要抓住一个二项式逐项分类,分析其它二项式应满足的条件,然后再求解结 果. 真题体验 1 ?n ? ? (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( 1.(2013·高考重庆卷)使?3x+ ) x x? ? A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 B.根据二项展开式的通项公式求解. ? 1 ?r 5 5 n-r n-r ? ? =Cr Tr+1=Cr xn- r,当 Tr+1 是常数项时,n- r=0,当 r=2,n=5 时成立. n(3x) n3 2 2 ?x x? 2m 2.(2013·高考全国新课标卷)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x +y)2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析: 选 B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值, 再利用组合数公式求解. (x+y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 Cm , 2m m+1 ∴a=Cm . 同理, b = C . 2m 2m+1 m+1 ∵13a=7b,∴13·Cm 2m=7·C2m+1. m ! m+ ! ∴13· =7· .∴m=6. m!m! m+ !m! 3.(2013·高考四川卷)二项式(x+y)5 的展开式中,含 x2y3 的项的系数是________.(用数字作 答) 解析:利用二项展开式的通项求解. (x+y)5 展开式的通项是 5-r r Tr+1=Cr y, 5x 2 3 2 3 令 r=3 得 T4=C3 5x y =10x y ,
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∴二项式(x+y) 展开式中含 x y 项的系数是 10. 答案:10 1 ? ? x- ?5 ? 4.(2013·高考浙江卷)设二项式? 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A=________. x? ? 解析:写出二项展开式的通项 Tr+1,令通项中 x 的指数为零,求出 r,即可求出 A. ? 1 ? 5r 5 5r r 5-r?- r r r 5 Tr+1=C5( x) ? 3 ? = C ,令 - =0,得 r=3,所以 A=-C3 5(-1) x - 5=-10. ? 2 6 2 6 x? ? 答案:-10

5

2

3

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