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数列通项公式及数列求和经典课例


“数列通项公式及数列求和”课例

一、设计理念
首先通过解剖导学案,让学生经历知识网络的自主构建,然后在汇报和例题解法展示活动中进行知识 网络的完善和思想、方法的总结提升,以导学案为载体、立足过程、增强解决数列综合题的能力。

二、教材分析
㈠ 教材的地位和作用
数列是高中数学的一个重要组成部分,数列是函数概念

的继续和延伸,几乎每年高考试卷中都会出现 一道数列综合题,且这一部分内容与函数、几何等内容联系较广。数列的通项公式及前 n 项和公式都可以 看作项数 n 的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的 研究,而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列 ?an ? 的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一, 与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有 关问题,为其提供行之有效的方法。

㈡ 学情分析
学生通过等差、等比数列的学习已具备了解决类似问题的一定能力。本节课通过对数列前 n 项和的求 法的介绍与应用,使学生更进一步掌握数列求和的通法与基本思路。

㈢ 教学目标
1、知识与技能 ⑴ 掌握由数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 表达式求 ?an ? 通项公式的求法; ⑵ 掌握由几种类型递推公式求数列 ?an ? 的通项公式的方法: 累加法、 累乘法、 配凑构造新数列法; ⑶ 掌握两类典型的数列求和方法:错位相减法、裂项相消法。 2、过程与方法 通过各种方法的综合运用,加深对这些方法的理解。

3、情感、态度与价值观
通过对数列通项公式的研究,体会从特殊到一般,又到特殊的认识事物规律,培养学生主动探索,勇 于发现的求知精神。

㈣ 重难点分析
重点:掌握由递推公式求通项、数列求和的方法。 难点:错位相减法、裂项相消法。

三、突破重难点的方法与手段
先通过导学案引导学生自主进行梳理,再进行展示交流。然后进行例题探究与展示,让学生充分经历 学习与探究过程。

四、教法与学法
教法:教师通过导学案引导学生进行自主学习。 学法:学生以导学案作为素材,在自主学习基础上进行汇报、展示,通过同伴互助不断完善知识网络。

五、教学手段与媒体
多媒体和导学案相结合

六、课前准备
教师:导学案、课件 学生:完成导学案上的问题,为小组展示做好准备

七、教学过程设计
教学 环节
活动一:

教学 内容
类型 1、已知数列 ?an ? 前 n 项和表达式,求 ?an ? 通项公式的方

双边 活动
学生代表展 示自主梳理 结果

设计 意图
培养学生自主 归纳总结能 力、自信心和 语言表达能力

法; 类型 2、形如 an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式求法;

网 络 构 建

类型 3、形如 n ?1 ? f (n) 的递推数列通项公式求法; 小 an 组 类型 4、形如 an?1 ? pan ? q 的递推数列通项公式求法; 展 示 活动二: 1、错位相减法: 2、裂项相消法: ⑴ ⑵ 交 流 完 善 教 师 点 评 活动三: 【例 1】已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,求下列条件下数列的通项
1 ? ______ . ; n( n ? d )

a

1 ? _______ . (2n ? 1)(2n ? 1)

教师引导全 班学生对展 示结果进行 完善。 教师对学生 展示和交流 的结果进行 总结、点评 教师引导学 生进行合作 探究和小组 代表展示结 果。

通过同伴互 助,逐步完善 知识网络

对学生展示活 动进行归纳, 指出存在的问 题 培养学生的合 作意识和探究 精神,通过生 生是为碰撞相 互启迪

例 题 研 讨

小 公式 an 。 组 ⑴ S ? 2 ? 5n ? 2 ; ⑵ a ? 2 , a ? a ? 3n ? 2 ; 1 n?1 n n 展 n ?1 an ?1 (n ? 2) ;⑷ a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2 示 ⑶ a1 ? 1, an ?

n

活动四:变式训练 1、已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,求下列条件下数列的通项公式 ⑴ Sn ?

1 ( an ? 1) ; 3

⑵ a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 n ;

⑶ a1 ? 4, an ?1 ? 活动五:

n?2 an ; ⑷ a1 ? 5 ,且 an?1 ? 3an ? 4 . n

【例 2】⑴设 an ? n ? 2n (n ? N*) ,求数列 {an } 前 n 项和 S n 。 ⑵设 bn ? 交 流 补 充 拓 活动六: 【变式训练】 展 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 x ? 1? ? 110 x ? N ? ,则 x ? 延 ⑴若 1 1 1 ? ? ? 伸 1? 2 2 ? 3 x x ?1

4 (n ? N *) ,求数列 ?bn ?前 n 项和 Tn 。 (n ? 1) 2 ? 1
教师引导全 班学生对展 示结果进行 评价、补充 发挥集体智慧

?

?



?

?

拓展学生的思 维,把学生的 思维进一步推 向深度

⑵ 对正整数 n ,若曲线 y ? x ?1 ? x ? 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交
n

点的纵坐标为 an ,则 ? 通 法 总 结

? an ? ? 的前 n 项和为_______. ? n ? 1?
教师引导学 生总结数列 的通项与求 和的通性通 法 数学知识和思 维的内化

收 获 与 感 悟

知识点,数学方法,数学思想、情感、态度与价值观

教师引导学 生从左栏三 个角度进行 反思

八、作业布置
1、求下列条件下数列 {an } 的通项公式: ⑴ a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1; ⑷ S1 ? 1, Sn?1 ? 3Sn ? 2 ; ⑵ a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1 ; ⑶ a1 ?

2an 2 ; , an ?1 ? 3 an ? 1

⑸ a1 ? 2, a2 ? 4, an?1 ? 3an ? 2an?1 (n ? 2, n ? N*) ;

8 ; ⑻ S1 ? 1, Sn?1 ? 3Sn ? 2 ; 2n 2、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2
* ⑹ a1 ? 6 , an?1 ? 2an ? 3n (n ? N ) ; ⑺ an ? S n ? 3 ?

(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列;;(II)求数列 {an } 的通项公式。

数列通项公式及数列求和”课例

一、课例描述(第一次授课)
【教学目标】 1、掌握由 sn 求通项 an 的求法; 2、掌握由几种类型递推公式求通项 an 的方法:累加法、累乘法、配凑构造新数列法。 3、掌握两种数列求和的方法:错位相减法、裂项相消法。 【教学重点】掌握由递推公式求通项的几种方法、数列求和(错位相减法、裂项相消法) 。 【教学难点】用配凑法来构造新数列(等差或等比数列) ,并由此求出通项 an 。 【学情分析】学生已经系统地进行了第一轮总复习,对数列问题有了一定的分析解决问题的能力,但是本 节课内容多,类型多样化,解决的方法较多,学生不容易把握。 【教学过程】 一、问题引入 已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,求下列条件下数列的通项公式 an 。 ⑴ Sn ? 2 ? 5n ? 2 ; ⑶ a1 ? 1 , an ? ⑵ a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3n ? 2 ; ⑷ a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2

n ?1 an ?1 (n ? 2) ; n

思考:1、以上四个小题分别用什么方法? 2、我们是怎么知道要用这些方法的?能不能把它模型化? 二、方法讲解 ㈠ 求通项 类型 1、已知 S n 求 an ————用公式 an ? ?

?

S1 (n ? 1)

?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

类型 2、形如 an?1 ? an ? f (n) ————叠加法

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ? f (1) ? a1 a 类型 3、形如 n ?1 ? f (n) ————叠乘法 an b b bn 2 bb bn ? n ? n?1 ? ? ? ? 3? 2 ? b1 bn?1 b n? 2 b ? b 2b 1 n 3 ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? f (n ? 3) ? ? f (2) ? f (1) ? b1 类型 4、形如 an?1 ? pan ? q ————配凑构造新数列法 (待定系数法)令 k 满足 an?1 ? k ? p(an ? k ) ,即 an?1 ? pan ? (1 ? p)k , 上式与递推式 an?1 ? pan ? q 作比较,应有 (1 ? p)k ? q 。解出 k 的值即可 ㈡ 求前 n 项和 S n
1、错位相减法: 若数列 ?an ?为等差数列, ?bn ?为等比数列,公比为 q ,则数列 ?anbn ? 的前 n 项和 S n 可通过 Sn ? qSn 而求得。 2、裂项相消法 公式:①

1 1 1 1 ? ( ? ) ;② n( n ? d ) d n n ? d

三、例题精析 例 1、已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,求下列条件下数列的通项公式 an 。 ⑴Sn ? 2 ? 5n ? 2 ; ⑵a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3n ? 2 ;

⑶a1 ? 1 , an ?

n ?1 an ?1 (n ? 2) ; n

⑷ a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2

解: ⑴ 观察此等式, 属于已知 S n 求 an , 用公式 an ? ?

?

S1 (n ? 1)

?S n ? S n?1 (n ? 2) 3 2 n ⑵ 属于 an?1 ? an ? f (n) ,用累加法。解得 an ? n ? 。 2 2 1 ⑶ 属于 an?1 ? an ? f (n) ,用累乘法。解得 a n ? 。 n ⑷ 属于 an?1 ? pan ? q ,配凑构造等比数列法。解得 an ? 2 ? 3n?1 ?1

, 注意分类讨论。 解得 an ? 8 ? 5n?1 。

【经验总结】观察递推公式,分清类型,注意细节。 例 2、⑴ 设 an ? n ? 2n (n ? N*) ,求数列 {an } 前 n 项和 S n 。

4 (n ? N *) ,求数列 ?bn ?前 n 项和 Tn 。 (n ? 1) 2 ? 1 解:⑴∵S n ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n , ①
⑵ 设 bn ?

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? n ? 2n?1 ,
由① -② 得, ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 n n?1



2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2 ? Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 (n ? N *) 。 4 1 1 ? 2( ? ) ⑵ ? bn ? n(n ? 2) n n?2 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? (1 ? ) ? 2 ? ( ? ) ? ? ? 2( ? ) 3 2 4 n n?2 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ? ? ) 2 n ?1 n ? 2 2(2n ? 3) ? 3? (n ? N *) (n ? 1)(n ? 2) ?
【经验总结】观察通项,分清类型,采用适当方法,注意易错点。 四、强化训练 1、已知数列 {an } 前 n 项和为 S n ,求下列条件下数列的通项公式 an

1 ( an ? 1) ; ⑵ a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 n ; 3 n?2 an ; ⑶ a1 ? 4, an ?1 ? ⑷ a1 ? 5 ,且 an?1 ? 3an ? 4 . n 1 n n 2 答案:⑴a n ? (? ) ;⑵a n ? 2 ?1;⑶ a n ? 2n ? 2n ;⑷ an ? 3n ? 2 2 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 x ? 1) ? 110( x ? N *),则x ? 2、 (1)若 ;(答案:10) 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 x( x ? 1)
⑴ Sn ?

(2)对正整数 n, 若曲线y ? xn (1 ? x)在x ? 2处的切线与 y轴交点的纵坐标为 an ,

? a ? 则数列? n ?的前n项和为 ? n ? 1?

.

(答案: 2

n ?1

?2 )

五、高考链接 1、(2010 年新课标全国卷 17) 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 ? 2 2n?1 , ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 令 bn ? nan ,求数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n 。 2、(2010 年山东卷 18) 已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 。 {an } 的前 n 项和为 S n 。 (I)求 an 及 S n ; (II)令 bn ? 六、达标检测 1、求下列条件下数列 {an } 的通项公式 ⑴ a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1; ⑶ a1 ? ⑵ a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1 ; ⑷ S1 ? 1, Sn?1 ? 3Sn ? 2

1 (n ? N *) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

2an 2 , an ?1 ? 3 an ? 1

⑸ a1 ? 2, a2 ? 4, an?1 ? 3an ? 2an?1 (n ? 2, n ? N*) ⑹ a1 ? 6 , an?1 ? 2an ? 3n (n ? N * ) ; ⑻ S1 ? 1, Sn?1 ? 3Sn ? 2 2、(2009 年全国 2 卷,理科,19 题) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I) 设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II) 求数列 {an } 的通项公式。 七、课堂小结 ㈠ 求通项 类型 1、已知 S n 求 an ————用公式 an ? ? ⑺ an ? S n ? 3 ?

8 ; 2n

?

S1 (n ? 1)

?S n ? S n?1 (n ? 2)

类型 2、形如 an?1 ? an ? f (n) ————叠加法

an ?1 ? f (n) ————叠乘法 an 类型 4、形如 an?1 ? pan ? q ————配凑构造新数列法
类型 3、形如 ㈡ 求前 n 项和 S n 1、错位相减法: 若数列 ?an ?为等差数列, ?bn ?为等比数列,公比为 q ,则数列 ?anbn ? 的前 n 项和 S n 可通过 Sn ? qSn 而求得。 2、裂项相消法 公式:①

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ;② ? ( ? ) n( n ? d ) d n n ? d (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1


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