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湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


宜昌市葛洲坝中学 2015—2016 学年第二学期 高一年级数学考试试题
考试时间:2016 年 4 月 28 日 ★祝考试顺利★ 本卷满分 150 分

注意事项: 1.答卷前考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校填写在答题卡相应的位置上. 2.选择题作答:每小题选出答案后,将答案序号填在答题卡对应题号下面.答在试题卷、草稿纸上 无效. 3.填空题

和解答题作答:直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效,答在 对应区域外或填错答题区域均无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1 . 已 知 a, b ( )

? ?

均 为 单 位 向 量 , 它 们 的 夹 角 为 60 0 , 那 么

? ? a ? 3b ?

A. 7 B. 10 C. 13 D. 4 2.三角形 ABC 中,A, B,C 的对边分别为 a,b,c,已知下列条件: ①b=3,c=4, B ? 30 ;
? ?

②a=5,b=8, A ? 30 ;
? ?

③c=6,b= 3 3 , B ? 60 ; ④c=9,b=12, C ? 60 其 中满足上述条件的三角形有两解的是: ( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.③④ 3.若 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S8 A.12 B.18 C.22

? S3 ? 10 ,则 S11

=(

)

D.44 )

4.在 ?ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a , b .且 a cos A ? b cos B, 则 ?ABC 的形状为( A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形

5. 三角形 ABC 中 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列, 则 B 等于 ( A.30° B. 60° C.90° D.120° 6.已知等比数列 {an } 中 a ? 2, a ? 1 ,则 a1a2 2 5 A.16(1 ? 4? n ) B.16(1 ? 2 n ) C.



32 (1 ? 4?n ) 3

4

? a2 a3 ? ......? an .an?1 等于(
D. 32 (1 ? 2 ?n )



3

7.已知等差数列{an}中 ,Sn 为其前 n 项和,若 a1 = ? 3 , S5 ? S10 ,则当 Sn 取到最小值时 n 的值 为( A.5 ) B.7 C.8
?

D.7 或 8
?

8. 如图, 在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30 , 沿倾斜角为 15 的
1

斜坡向上走 a 米到 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60 ,求山高 h=(
?



2 a A. 2 3 a C. 2

a B. 2

D. a 1 ? ?2an (0 ? an ? 2 ) 6 9.数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? ,若 a1 ? ,则 a2016= 1 7 ?2an ? 1( ? an ? 1) 2 ? A.
6 7





B.

5 7

C.

3 7

D.

1 7

10.等差数列 ?an ? 和 ?bn ?的前 n 项的和分别为 Sn 和 Tn ,对一切自然数 n 都有 ( A. )

a Sn 2n ,则 5 ? ? b5 Tn 3n ? 1

2 3

B.

9 14

C.

20 31

D.

11 17

11.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 是( )
2? 对称 3

?
2

)的部分图象如图所示,下列说法正确的

(A) f ( x) 的图象关于直线 x ? ? (B) f ( x) 的图象关于点 (?

5? ,0) 对称 12

(C)将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象向左平移

? 个单 2

位得到函数 f ( x) 的图象 ? (D)若方程 f ( x) ? m 在 [? ,0] 上有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 (?2, ? 3] 2 12.将正偶数按下表排成 4 列:

则 2 004 在 ( ) A. 第 25 1 行,第 1 列 B. 第 251 行,第 2 列 C. 第 250 行,第 2 列 D. 第 250 行,第 4 列 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置上.
? 13.三角形 ABC 面积为 3 ,BC=2,C= 60 ,则边 AB 长度等于______.

14.已知 a ? (m ? 3, m ? 3) , b ? (2m ? 1,?m ? 4) ,且 1 ? m ? 5 ,则 a ? b 的范围是_____. 15 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n 2 ? 3n+5 ,则 an = .

2

16.如图:互不相同的点 A1 , A2 ,? ? ? An 和 B1 , B2 ,? ? ?Bn 分别在角 O 的两边上,所有 An Bn 互相平行, 且 所 有 梯 形 An Bn Bn?1 An?1 的 面 积 相 等 , 设

OAn ? an , 若a1 ? 1, a2 ? 2, 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为
an ? ______________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , a5 ? 6 ,其前 n 项的和为 S n . (I)求数列 ?an ? 的通项公式 an 及前 n 项和 S n ; (II)设 bn ? 2 n ,求数列 ?bn ?的前 n 项的和为 T n .
a

18(本小题满分 10 分)已知向量 m ? (cos x,?1), (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期;

1 n ? ( 3 sin x,? ) ,设函数 f ( x) ? (m ? n).m 2

(Ⅱ) 已知 a,b,c 分别为三角形 ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a =1, c ? 3 ,且 f (A) 恰是 函数 f ( x ) 在 [0,

?
2

] 上的最大值,求 A,b 和三角形 ABC 的面积.

19.(本小题满分 12 分) 如图, 甲船以每小时15 2 海里的速度向正北方航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的南偏西 75°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 40 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的南偏西 45°方向的 B2 处,此时两船相距 10 海里,问乙船每小时航行多少 海里?

20. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且

1 a cos C ? c ? b . 2
(I)求 A 的大小; (II)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围.
3

21. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,满足 an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 0 . (Ⅰ)求证:数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; an

(Ⅱ)令 bn ?

an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使得 2Tn (2n ? 1) ? m(n 2 ? 3) 对所有 n ? N ? 2n ? 1

都成立的实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 14 分) 已 知 函 数

y ? f ( x)( x ? R)
*

满 足 f (2 x ) ? 2 x?1 ? 1 , 定 义 数 列 {an } ,

a1 ? 1



an?1 ? f (an ) ? 1( n ? N

),数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , b1

* ? 1 ,且 Sn?1 ? Sn ? 1(n ? N ) .

(1) 求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)令 cn

?

bn * ( n ? N ),求 ? cn ?的前 n 项和为 Tn ; an

(3)数列 {an } 中是否存在三项 am , an , ak ( m ? n ? k , m, n, k ? N * )使 am , an , ak 成等差数列, 若存在,求出 m, n, k 的值,若不存在,请说明理由。

4

宜昌市葛洲坝中学 2015—2016 学年第二学期 高一年级数学期中考试试题参考答案 参考答案 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 B 11 D 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.2 14. (5,14) ; 15. an ? ?

?8(n ? 1) ; 2n+2( n ? 2) ?

16. an ? 3n ? 2 ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分, 17 解: (1)依题意有 d ?

a5 ? a 2 6 ? 3 ? ? 1 , a1 ? a2 ? d ? 3 ? 1 ? 2 5?2 3

an ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ...............3 分
S n ? 2n ? n(n ? 1) 1 ? 1 ? (n 2 ? 3n) ...............5 分 2 2
an

(2)由(1)有 bn ? 2

? 2 n?1 ? 0 , b1 ? 2 2 ? 4 ,

bn ?1 ? 2 (常数) bn

所以 ?bn ?是以 4 为首项,2 为公比的等比数列 ...............8 分 故 Tn ?

4(1 ? 2 n ) ? 2 n?2 ? 4 1? 2

...............10 分

18: (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? cos2 x ? 3 sin x cos x ?

3 1 ? cos 2 x 3 3 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2
…………2 分

?

1 3 ?? ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 6? ?
2? ?? . 2

因为 ? ? 2 ,所以最小正周期 T ? (2)由(1)知 f ( x) ? sin? 2 x ? 由正弦函 数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

……………………4 分

? ?

??

? ? 7? ? ?? . ? ? 2 ,当 x ? ?0, ? 时, ? 2 x ? ? 6 6 6 6? ? 2?
?
2
时, f ( x) 取得最大值 3 ,又 A 为锐角 ……………………6 分

?
6

?

?
6

?

?
2

,A?

?
6

.

2 2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 1 ? b ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos

?
6

,所以 b ? 1 或

b?2
经检验均符合题意. ……………………8 分

5

从而当 b ? 1 时,△ ABC 的面积 S ?

1 ? 3 ; ……………………9 分 ? 3 ? 1 ? sin ? 2 6 4
……………………10 分

当 b ? 2 时, S ?

1 ? 3 . ? 3 ? 2 ? sin ? 2 6 2

19.解:由已知得

A1B1 ? 20, A1 A2 ? 10 2, A2 B2 ? 10,

?A1 A2 B2 ? 45o ,
在△

A1 A2 B2 中,由余弦定理得:
2 ? 100 A B ? 10 ,……………………… 4 分 2 , 1 2

A1B2 2 ? (10 2)2 ? 102 ? 2 ?10 2 ?10 ?


A2 B2 ? A1B2 , 得 ?A2 A1B2 ? 45o , ?B2 A1B1 ? 180? ? 75? ? 45? ? 60? ,…………… 6 分
B1 B2 2 ? 400 ? 100 ? 2 ? 20 ?10 ? 1 ? 300 2 ,

ABB 又在△ 1 1 2 中,由余弦定理得:

? B1B2 ? 10 3, …………………………………………………………………………… 10 分
v?
则乙船的速度

10 3 ? 60 ? 15 3 40 (海里)

答:乙船每小时航行 15 3 海里。 …………………………………………………… 12 分 20 解: (1)由正弦定理得: sin A cos C ?

1 ? sin C ? cos A sin C 2
又? 0 ? A ? ?

1 sin C ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 ? sin C ? 0 ? cos A ? 2

3 a sin B a sin C (2)由正弦定理得:? b ? ? 2sin B , c ? ? 2sin C , sin A sin A 2? 2? 又由(1)知: B ? C ? ?C ? ?B 3 3 2? ? ? b ? c ? 2sin B ? 2sin C ? 2sin B ? sin( ? B) ? 2 3 sin( B ? ) 3 6 ? ? ? 5? ? ? ? 2? ? ? B ? ? 0, ?A? ? ?B ? ?? , ? 3 6 ?6 6 ? ? 3 ? ? ?1 ? ..............12 分 ? b ? c ? 3, 2 3 ? ? sin( B ? ) ? ? ,1? ? 6 ?2 ?

?A?

?

.............6 分

?

6

21 解: (Ⅰ) ,两 边同除以 an ? an ?1 得
d ?2?

1 1 1 1 ? ? 2(n ? 2) ,即数列 { } 是等差数列,首项 ? 1 ,公差 an an ?1 an a1

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? ; an 2n ? 1 an 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ?1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

由题意 2Tn (2n ? 1) ? m(n2 ? 3) 即 m ?

2n 2 对于所有 n ? N ? 都成立, ? n2 ? 3 n ? 3 n

设 cn ?

2 3 n? n

即 m ? (cn )max ? 函数 y ? x ?

3 在 (0, 3] 上是减函数,在 [ 3, ??) 上是增函数,故数列 x

{cn } 从第二项起递减,而 c1 ?

1 4 4 , c2 ? ? 满足题意的实数 m 的取值范围为 m ? . 2 7 7

a ? 2an , 又 a1 ? 1, .22 解: (1)由题意知: f ( x) ? 2 x ? 1 , n?1

?an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,故 an ? 2n?1 ,………………………………

* b1 ? 1 , Sn?1 ? Sn ? 1(n ? N ) 可得:

2分

{ Sn }

是等差数列,

Sn ? n, Sn ? n2 , bn ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1(n ? 2)

当 n ? 1 时,

b1 ? 1 满足上式,

?bn ? 2n ?1, …………………………………………………………………………… 4 分
cn ? 2n ? 1 2 n ?1 ,………………………………………………………………………… 5 分

(2)

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn
Tn ? 1 ? 3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 ……①

1 1 1 3 5 7 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n 2 2 2 2 2 ……② 两边同乘公比 2 得, 2

2 2 2 2 2 2n ? 1 ? 1? ?1 ? ? Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? n 2? 2 2 2 2 2 2 ……………………… 8 分 ① ? ②得 ?
Tn ? 6 ? 2n ? 3 2n ?1 ………………………… …………………………………… 10 分
7

化简得:

(3)假设存在 则

am , an , ak ? m ? n ? k , m, n, k ? N * ?

使

am , an , ak 成等差数列,

2an ? am ? ak , 2 ? 2n?1 ? 2m?1 ? 2k ?1 ,……………………………………………11 分
m ?1

两边同除 2

,得 2

n ?1? m

? 1 ? 2k ? m ,

? 2n?1?m 为偶数,而 1 ? 2k ?m 为奇数,……………………………………………… 13 分
因左边为偶数,右边为奇数,矛盾. ∴假设不成立,故不存在任三项能构成等差数列.……………………………14 分

8


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