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综合除法、余数定理


综合除法、余数定理
内容讲解 一般地,多项式 f(x)除以一次多项式(x-a)?的商式系数和余数有如下规律:商式的最高 次项系数就是 f(x)(按降幂排列后)的第一项系数,把这个数乘以 b 后再加上 f(x)的第二 项系数就得商的次商为次项系数,如此类推最后得余数,这种方法叫做综合除法. 余数定理:多项式 f(x)除以(x-a)所得的余数等于 f(a).如果 f(x)能

被(x-a)? 整除,也就是(x-a)是 f(x)的因式.反之,如果(x-a)是 f(x)的因式,那么 f(x)?能 被(x-a)整除.因此,由余数定理,容易得出: 因式定理:如果 f(a)=0,那么(x-a)是 f(x)的因式,反之,如果(x-a)是 f(x)? 的因式,那么 f(a)=0. 例题剖析 例 1 用综合除法求(3x3+5x2-2)除以(x+3)的商式和余数. 分析:整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法,这里我们主要是熟悉综合除法. 解:把除式变成(x-a)形为 x-(-3). 如右式所示: 所以商式=3x2-4x+12. 余数=-38. 评注:在用综合除法时,①被除式和除式均按降幂排列,其缺项要用“0?”补项.②除式一定要 变成(x-a)的形式.③若 f(x)的除式为 px-q 形(p≠0),?可先变除式为:p(x- )。再 用综合除法求出除以(x- )的商式 Q′(x)和余数 k′,则 f(?x)?÷ (px-q)的商式为 Q(x) = Q′(x),余数 R=R′. 例 2 分解因式 x4+2x3-9x2-2x+8. 分析:原式可能有 x±1,x±2,x±4,x±8 因式,由于 f(1)=0,f(-1)=0,?所以由 因式定理,原多项式含有(x-1)(x+1)这两个因式,然后用综合除法即可求解. 解:∵f(1)=0,f(-1)=0,∴原式中含有(x-1)和(x+1)这两个因式.?由综合除 法得: 原式=(x-1)(x+1)(x-2)(x+4) 评注:(1)如果多项式 f(x)中各项系数的和等于零,那么 f(x)有一次因式(x-1); 若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和,则 f(x)有一次因式(x+1),记住这个结论很有 用. (2)本题用分组分解也较简单,请同学们自己求解. 例 3 已知 x2+x-6 是多项式 2x4+x3-ax2+6x+a+b-1 的因式,求 a,b 的值. 分析:此题如果用以前的方法求解,就显得特别的繁琐,?但用因式定理就比较简单.

解:∵x2+x-6=(x+3)(x-2),又 x2+x-6 是多项式 2x4+x3-ax2+bx+a+b-1 的因式. ∴x+3,x-2 是它的两个因式.由因式定理,得 f(-3)=0,f(2)=0,即 ∴a=16,b=3.

?2x

3

? 3 x ? 2 ? ? ? x ? 2 x ? 3 ? 的積為 2 x ? 7 x ? 1 1 x ? 4 x ? 6 。
2 2

5

4

2

2?3?0? 2 ? )1 ? 2 ? 3 2?3?0? 2 4?6? 0?4 ?6? 9?0?6 2 ? 7 ? 0 ? 11 ? 4 ? 6

∴ 所求積為 2 x 5 ? 7 x 4 ? 1 1 x 2 ? 4 x ? 6 設 a、b ? ? ,若 f(x)=a(x3–x2)+b(x3–x+2)+x2+ax+2 為一次多項式,求 a–b=2。 解析 f(x)=a(x3–x2)+b(x3–x+2)+x2+ax+2 =(a+b)x3+(1–a)x2+(a–b)x+2b+2 為一次多項 式 故?
?a ? b ? 0 ?1 ? a ? 0

且 a≠b

?

?a ? 1 ? ?b ? ? 1

則 a–b=1–(–1)=2 多項式的係數和: f (x)= anxn+an?1xn?1+…+a1x+a0 ,則 各項係數之和=f (1),常數項=f(0),奇次項係數之和=
f (1) ? f ( ? 1) 2
5 3 1999

,偶數項的係數之和=

f (1) ? f ( ? 1) 2



【範例】 :多項式 f(x)=(x ?2x +x+1) 展開式中,試求下列各小題: (1)各項係數和 (2)常數項 (3)奇數項係數和 (4)偶數項係數和 Ans:(1) f(1) = ( 1 -2 + 1+ 1)
199

= 1,

(2) f(0) = 1
f (1) ? f ( ? 1) 2

199

= 1, 0, (4) 偶 數 項 的 係 數 之 和

(3) 奇 次 項 係 數 之 和 = =
f (1) ? f ( ? 1) 2
4 3

=

=1
2 17 8 5 3

【範例】 :設 f(x)=x ?2x +3x ?5x+1,g(x)=x +5x ?7x +x ?4x+1,則 (1)f (x)?g (x)的所有項的係數和= 。(2)f(x)+2g(x)的偶次項係數和= Ans:(1)6 (2)17
19 18 17 19 18



【範例】 :設 f (x)=x +2x +3x +…+19x+20,g (x)=20x +19x +…+2x+1,求 f(x)?g(x)的展開式中 x18 項的係數為 。 Ans:2660 Ans : x 項的係數為 1×2 +2×3 + 3×4 + … + 19×20 =
18

?
n ?1

19

n ( n ? 1)

= ?
n ?1

19

n

2

+?
n ?1

19

n

= 2660

?
i ?1

n

i ?

n ( n ? 1) 2

?i
i ?1

n

2

?

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6

餘式定理、因式定理 除法原理:f (x)= g (x)?q(x) + r(x),deg r(x)<deg g(x) 或 r(x) = 0

餘式定理:多項式 f(x)除以 x?a 的餘式等於 f (a)。 有關 f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。 b 餘式定理推廣:多項式 f (x)除以 ax+b 的餘式等於 f (? )。 a f (a)的雙重意義:(1)多項函數 f(x)在 x=a 的函數值。 (2) 多項式 f (x)除以 x?a 的 餘式。 範例:二次式 ax2+bx?4 以 x+1 除之,得餘式 3,以 x?1 除之,得餘式 1,若以 x?2 除之,所得的餘式為 。 2 解:f(x) = ax +bx?4,f(-1) =3 且 f(1) =1 由此解得 a 與 b,再求 f(2)=18 即為所得。

範例:試求 11 5 ?4?11 4 ?72?11 3 ?56?11 2 +15?11+7 之值為 解: f(x) = x 5 -4x 4 -72x 3 -56x 2 +15x +7
利用綜合除法求 f(11) = 51



範例: f ( x )=2 x 4 +3 x 3 +5 x 2 ?6,求 2 x ?1 除 f ( x ?3)的餘式。 解:可令 g ( x )= f ( x ?3),再利用餘式定理。

g ( )= f (
2

1

1 2

?3) = f(-

5 2

)=

113 。 2

Ans:

113 2

因式定理:設 f(x)為一多項式,則 x?? 為 f(x) 的因式 ? f(?)=0 。 證明:因為 f(x) = (x??) Q(x) 推廣:ax?b 為 f(x)的因式 ? f(

b )=0 a

範例:因式定理的應用: 5 4 3 2 (1)試問下列何者為 f(x)= 4x +8x +7x ?22x ?2x+5 的因式? (a)x?1 (b)x+2 (c)2x?1 (d)x?2 4 3 2 (2)設 f(x)=x ?2x +4x +ax+3 之一因式為 x?3,求 a 之值。

1

-2

4

a

3

3

解:(1)利用綜合除法可知(x-1) 及(2x -1)為 f(x) 的因式。

(2) 利用綜合除法, 3a+ 66 = 0,故 a = -22

1

3 1

3 7

21 a+21

3a+63 3a+66

範例:設 f ( x )=4 x 4 ?11 x 3 +14 x 2 ?10 x +3,則下列何者為 f ( x )之因式? (A) x +1 (B)4 x +3 (C)4 x ?3 (D)3 x ?2 (E) x ?1 Ans:(C)(E) 範例:若 f ( x )= x 3 ?5 x 2 + mx + n 有因式 x 2 + x ?6,則 m + n =? 解:x 2 + x–6 = (x-2)(x+3) 利用綜合除法 我們有 n+2m-12 = 0 及 n-3m-72=0,可解得 n =36,m=-12 故 n+m = 24 Ans:24


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