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第三届中国东南地区暨希望联盟数学奥林匹克试题及略解


年第 ! 期

中学数 学研 究

第 三 届 中 国 东南 地 区 暨 希 望 联 盟 数 学

奥林 匹 克试 题 及 略解
第 一 天 《? #
一 设
?

?

%

?

%

? &



(
,

?

)
2

南昌#
.

4 相交 于 点 5 3
供题 #


,

6

,

证 明?

厂行 +

?

不 不 乙

(

。?

月七

?张 鹅 程
,

,

? . ?

,

/ ?0 # +
0
,

10 2

明 存在唯 一 的正 数
(

使 得 / ?0 #
2 2
? 。8

六 求 最 小 的 实数 Β
+ (

,

使 得 对 于 满足
.
,



.

五 亘#8 ? 李 胜 宏供 题 # 俨亘 丢
?

7

的任 意 正 实数
, Χ ?


,

,



,

, 都有 Β ? ” 2 护

? ? ? 二 如 图 所 示 在 △ 月刀 3







,



,

##

2

石 2



#2

(

?

?熊斌 供题 #
2
,



,

七 ?7 # 求不 定 方 程 Β
2 Δ 2
?

Δ
Δ

Δ Ε 2

Β

Ε

+


2
ΔΕ

中 艺 月刀3
,


,

!

。 ,

9
刀9



6


是边
,

# 的正 整 数 解 ?Β
,

,

?

# 的组 数 Α ?# 对

2

〔 沮 上两

点 连接
5

刀6


,

于 给定 的 整 数 Φ ? ( 证 明 ? 不 定 方 程 二 Δ
2

点:



6

分 别 作丑9 的垂 线 垂
;

,

Β

Ε

+ Φ
,

足分别 为

连接

3石
,

?Β # Ε
?

2 Δ 2

Ε

#至 少有 ?Δ 任 Γ
7

( 组 正整数

,


?

解 ?。 ?熊斌供题 #

”、 “

Δ


,

?袁 汉 辉供题 #
Δ


; <


+

三 一
” 、 “

5 ;


,

求证 ? 艺 : < 6
副纸牌 共
” 、“


+

艺 9 5℃
,

八 对于周长 为

#的 圆 称 满 足
,

=

张 其 中 方块



如下 条 件 的 最小 的 正 整 数 八 为 圆 剖 分 数





?

红心

黑 桃 每 种 花 色 的牌 各 ( 8

,

张 标

,

如 果在 圆周 上 有 Η
(
,



个 点:

?

:

Χ




,

,

号依 次是


,

8 1 ?
,

(

,

> ? ? :
, , ,

,

其 中相 同花
” ,



,

对于

,


,

,

Δ



(

中的每 一 个 整 数 Β
,

都 存在 两 个

色 相 邻 标 号 的 两 张牌 称 为 同 花 顺 牌
: 与
,



并且
?

也 算是 顺 牌 ?即 : 可 以 当 成
,

(

使用 # 试

点 人 人 ?( 簇 £ Ι成 Η # 以 人 和 人 为 端 点哟

,

一 条 弧 长 等于 Β

Α

圆周 上 每 相 邻 两 点 间 的 弧 长
(
,

确定 从 这 副牌 中取 出 ( 8 张 牌 使 每 种标 号 的
牌 都 出现 并且 不 含 同花 顺牌 的取 牌 方 法 数
,

顺 次 构成 的 序 列 及 + ? ,

,
(

,



,

,

气 #称 为
(









?

剖分 序列
+



,

例如? 当

Δ

?陶平 生 供 题 #

+ (
?

8 (
+ 1

时 圆剖分 数为
,

,

对任 意 正 整数
,



,

设 ‘ 是方程0


, 2



8 ?(

如 图所 示 图 中

,

的实 数根 求证 ?( #

( Λ £2 Κ #Χ , ‘
?

?

,



(

?

,



Α

所标 数字为 相 邻 两 点之
,

口叹
(8 +

?#

,



?

?李胜 宏 供题 #
&
?

间的弧 长 圆 剖分 序 列 为 Μ 南昌#

?(

,

8

,

,

# 或 %

第 二天 【

,

%

?

&

)
,



(

?

)

?(

,

,

1

,

#

,


?

?

(

和 ? 8( 并各 给 出一 个相 应 的
,
?

五 如 图 在 △ 八刀3 中

圆剖分 序列 ?陶平 生 供题 #

匕:
4
;

+



。 ,

△ 八刀3 的 内切 圆
,

略解
一 解法 一 ? 令


分 别 切 边 八刀 : 3 于 点 9
,



, 一

?

直 线 9 ; 分 别 与直 线 < 4



# 燕山


8

,

中学数 学研 究
由,
+

( (6
,

年第 7 期
,

Ν ?,
为证
&

2

鱼 瑟 气 斋
. # 一 1 Ο Π0 +
Ο


2
,

不 在同 一 个 数列 中! 下 标
,

,

与 ) 视 为 相邻 ? 其选 取 方

?,

.

#一 Χ , .

,

法 数 记 为 人 今确定 几 的表达式 8
?

有唯 一 的正 数解
# “?
0

只要证 !
,
,



? #
,



& ? %
1

(



将一 个 团 盘 分成 编号为 )
, ,

,
,

个 扇形 格 顺 次 并将数 列 :
, ,

,

“ 、

!? 一

?


+

,



,? ( # ? ‘ “
1

、 。

,





, ,? # #。 ” # . !丝 二 长 三竿 卫 二 ? .、 竺 长卫 / 即? ? 冷 #
?

)

?

百?

)



,

9

;

,



、,


? 十





、 、

< =
,

各 染一 种 颇色 对 于任 一 个 选
,


2 3 刃3
2
5



二 告
,

,

#

二 告
、,



,



?



,

即要 证

项方 案 如 果 下 标 为

‘ 的项 取

自某

,

“ ? 刀


,

2 3?

4 3




颇色数 列 则 将第
+

,

£ 号扇 形 格 染 上
,

十 4

5


封 ? 4



该 颇色 于 是 几 就 成为 将 图盘 的 。 个扇 形 格染 四 色
3 ?

由于 ! 2 3

? 43

?!
+

?,

?



厂沪子 ! 了而 ?

2 3 。3

,

使相邻 格不 同色 的 染色 方法 数 易知

?

,

,

, 二

%

,

, ?

)

,

即> 左端 成 立





)

? %


?

3

”一

)

!9 ?


3?


,

为证 ! 丝
2 , 一 2 4


!
,

?3
4

!

2 3 ? 4 3

,



鲁!
(
,



?



?,

.



写 作!


? 呱 )


! !

)?
Χ











)

二 一 ?


+ ! %
?



? 3

,



)

+

? 刀

因此 !

)?

” 一


8 一

一)





?

” 一






%

! !
,



3? ” 一 Χ

Δ

,

2 ?

?

!
+

%!

2 , 一 2 4 ? 。

? 即

……


,

! 一 )? 3


!一 Χ?
,

?
,

%

?

!



3?


Δ



?

?

! 3

2

一 4

? ?


?

此 为 显然 故 > 成 立

,

%

?

!

3?

+

相加 得 ! 一 )? 、


?

! 一 3?
+

?

3

从而

即为 专 考最 替 架 脱
8

于是 几? 3
不 丁 & ?

?

3

?

!



)?



!9 ?
+

? 因此

)3 ?

3 )3



3 这
+

解 法二 Α !

?
,

?

!?

?

#

?

?

,? #

%
?

? ? ?

#

?

Β

)

,

就 是 所 求 的取 牌方 法 数
宁 口 ? 一





舔兴
,

匆 在! (
?



?

由?

,

, ?

Φ ? 上 为 严 格 单调 增 加 的连 续 函 Ε









,

得 Φ.

?

,

. ‘
?

数 而且 Α !( ?

? ?

# ?

,

#
,

! ? 腼Α
? ?

?

? ?

#


( ? Γ !



一 。



? . ?粉 令 ) ?




) 一




,

?

,

?

)


? ?

, !

? Γ ?

)

?


,

?

)



?



?

据 解 法 一 / 式知
,

# ?

0

,

?

3 ? 乙

#



火 & 一一一 二

Β
?

#

5

、飞

,
+

? ? 乙

厂 气


一一 二 厂一

#
?

? 弩 ? ) 因 劫 为
?


?
,

) ? ?



)



? 蕊



? (

故 ?二)



? ”
,

即 ?二

,

存在 唯 一 的 正 数 二 使得 Α !




?



卫二 ? 俨二谙
,

#

3

?

+

江 ? 月丑 分 别 二 作 Η & △ 八刀< 的 外接 圆 二 延 长 石


。 十 ! “, 因为 、 ‘ “

? 贵


一 )

,

所以

交二 于Ι
,



5 连接
+
+

班 < 5 习 ? 5







+

易 知 艺 且Κ

?
,

、?
十 从 武) 而

匕 Λ 改了 故 尽 二 犬< 于 是 四 边 形 几兀大 是 等腰 梯 形
又 叮 垂 直 平 分 刀? 故
,

六 六
Χ习 ) ?
+ ‘

,



?

5 故 四 边 形 习< Ι 是 平 ?
,
,



行 四 边形

+

叹 气又 六劝 瑞万
Τ

,

设 乃 Μ 与 ; Ν 的交 点 为Ο Π ℃ 与 5 Ι 的交 点为 Θ

周! £? Χ ?




.

! Χ 一


)

二一二又

十 )

?

?



,

‘二 )

匕5 & 一丁


)
&



下一厂万 ?


)

十 )



?

)



则 Ο Θ 分 别是

ΡΧ 9




1









‘加风Ν ? ? 臀 9 卜第 器 一


乙 刀八Ο

1 — Ρ Χ9 < 艺 甲七扭 Ρ 岔 9 艺《 Χ 月Ι Γ
,

六嘴






Ε1 ?
‘ , ,

的 中点 于 是 共
” , ’

,

Β

9 八





1 :‘

, 9 Υ , 万 ? 二 Δ . ?” 丁 9 士 9士 ? Χ ? ) 一

故‘ 不万专万 Β . 一 气 价艺 另 ! £? )? 自 细




)

,
+ ‘

? ? 一

Ι Ε

。 0 = 。 五 丝 又 Ν 六 芳 八 艺 月八 ‘1 1
,

? 二 一
+

0

于 乙? Ι < ‘1 。
,

1
?
,


Δ



,

五 证法 一8

8

:=
,

?

八Μ

,



匕 月= Μ


,

( 6

,

,

+

+ ,

Ι < 所 以匕 月刀Ν 是△ 召八Ν 的 △ 五

?

℃ 艺 刀石
9

刀 ? 匕刀; ? ? 6 乙 月石 ( ℃ 连 Φ △ 月石 Ν
+

,

二 6了 匕 Υ <刀 十 匕 )议 二




△ Ν ??
二二
?


? ,
,



先 一 般 化为 下 述 问 题 8 设
?
,
, ,

? !

3
Ε Γ
,

,

从:

,

!?
,

Γ

,

万<
(



Μ Υ
…Υ


,

8

艺 凡<
、 、



<; 艺了


,
+

! 匕 );



,

?,

;
,

?

!#,

,

#, …
,

,

#

,

?

,

< ?

… ‘? =
,

( 6
0

,

,

乙 醒芜 “ )
八 八。
+

+

。 ,



< Μ
,

? 四

点共 回
)
+

‘+

匕 ,? <
Ν?




!Σ Γ
,

,

Σ
,

… 武 ? 这 四 个 数 列 中选 取
9

9

个 项 且 满足 8


?


)
,

一。 一 7 叭
+

’ +


)

!) ? )



,

每 个 下 标 都 出现 Δ ! 的 下 标 相 邻 的任 两 项

专 ”… Ν ?


1 一





专;<

1 1

? < Υ
+ ’

1

。。

+

一”

< 叭 +’ 于 一 言Υ



,



+

,

?

‘?

论 益
%7

? Υ



年第 ! 期
证法 二 ? 因 为 艺
Ρ

中学数 学研 究

6 4 <

,



令?艺<


2

艺Θ # 又 因 为
,

所 以 以上 不 等式均取 等 号 故 Β
,

二 Δ +

Ε


2

?
Δ




名舀 上

到 Τ

?

Σ

Ρ

,

入 > 一 之二 Υ


( # ‘ 月二

?

Σ


坦丝二 匕选 + ,

下不 Τ 之几力 卞


(

,

,



?

,
?

?




所以
同理
+


2
,

ΖΒ
,

,

Δ

,


Ε

,

不妨设 二
( #?
,

+

(

,

则 Δ Ε
Ε

2

Ε

+


乙 七少
,
?

?( 2
(

Δ

Ε

# 于是 ?Δ
,



Ε


,

( #+ 8
,

,

所 以 [Δ


, ,

(
1

,

Ε

<



9

4 6


6 3 四 点 共 国 因 此匕 刀
,

+

匕 丑9 7 + !
?

卜 Ζ(
Β

8∴

故[
+

Δ

,

卜[
,

1
,

∴ [Β
?

Δ

,

卜 [(
2

∴ 这
,

匕 3鉴刀 + !
。Δ


,

所以
Υ

<
,




3



5



6 四 点 共 圆 又 匕 只刃
?

样的 解有 8 Ζ ?
十 Δ

组 所 以 不 定方 程

Δ Β
Ε

Ε Δ





Ε

+

Υ

, Ω
? 、



‘几 厂 上凡

?




。,

。 。。


?

‘几丈

又硬


+

, Ω

, Ρ 、 , 。 , 。。 。 ( 之几 一 下不 气 月 十 艺‘ Τ > + >Ω



# 共有 % 组 正 整数解 Ε
Δ

,






? #将 Β
Β

2

ΔΕ

2

,

Ε

+

Φ? Β


2

Δ 2

#化为 Ν Δ
Φ
Ε
?





— Σ3 6 万 召 + 及二 面Δ 匕 5 以 Ξ ?
,

一?

,





六 解 法一 ? 当 下 证 不 等式





一?



?

+

3 青刀 ? ?
。+


(

? ?

?



#Π Ν
,

Ε

一 一
,

+ ?是 一 Β #〕




ΦΒ

2
2

Β

?



二 一



鲁时 有 Β #
,

%
2

?

Φ
+

Β
,
,

2

(

,

Ε




, ? Τ



Β

Χ 十



Β

满足 上

>



Ε

% ?,

8 2

.8 (

2

。8

##

?

, Χ 2


,
,



#

2

(


且Β

上, 乙

””
,

Τ

百 」网
,

Φ

]Λ 优 Λ

Δ

Λ 7
2

对于 满 足
立 因 为对 于
。,
?

,

2

.

2

无 为 偶 数时



+

的任 意 正 实 数

.

,




,

Δ
,

,

Ε

∴+ [7
,

,

Φ



( ΦΧ
,



7 Φ

2

都成

χ



?


∴ 其中?
,

一 (




, Λ 0 Λ (


& (0 寸 8 娜” ?




%
?









?



%0


8



?

⊥ 0 # “ 一 ?


,








_0




生?
,



,

8
>

,




,



,

?





(& 0

‘“ ?



(= 0 ?
‘“

2

1⊥ 多 一 “
,


Δ

正 整 数解
Φ
2


Δ
,

出 了不 定 方 程 的 8 、 组 冬给 甲 ? ? 八 卜 ?
,


”,

““

为奇数 时 [Β
,

,

Ε

卜 [7
,

,

Φ



?
,

Υ

2

( ΦΧ
,



7 Φ

2
,
,

(
,

80 骨?



(# %α

?? 0
8

2

1

##

2

Φ “



7 “ ∴

,

、山
%


,




,
,



其中 Χ + ( ‘


,
‘“




,




,

α

, 十

所以

%,

#

,

, % 。 》

2




2

‘,



音 _ 音 =。 音 = 一 音把 上 面 三 个 不 等式 相
, 一
,



,

。Λ 二 Λ ,

?



( # 组 正 整 数解 Β
一Ρ




” 中有 两 个 为
,

从 , 一 山二。 比 Φ 一( 圣 … 生不 喇 给囚 出 了不 定 方 程 的“ ? Φ 8 “ 协 ?
“ ‘

Ρ 了

曰 可



Α

? 一一?
Φ ‘
?


,








?













Ρ 丫

Φ “





2 ( 竺戈 三 2

Φ

?



? 、

二竺

、 Φ 2 ( ,‘ 泛 # 才

,

2

Φ “

一 竺女 止

Φ

2

(



?

,

另一个为


2



( #? 8Φ
1

(#
Ε



,

的 情 况 给 出 了 不 定 方 程 的 8 组 正 整 数解 而 Β


,

Φ

亦为 不 定方 程 的正 整数 解
故不 定 方程

?

加 得 刀 ?, 8
,

8 2 石

‘8

##

?

, Χ 2



2



#

2

(

?

?
?

2

Ε Δ
,



二Ε

+

Φ? Β





( 组 正 整数 解

所以 ,

,

的 最 小值 为

? %

八 由于



Φ

个 点 中 每 两个 点间
,
?

解 法二 ? 当 。 ? ,

下 证 不 等式 % ?, 8

一告
2

时 有 二 、%
,

?

可 得 一 段 优 弧 和 一 段 劣 弧 故 至 多可

得 Φ ?Φ

,

一 一

# 个 弧 长值 7
( ##

,

.8

2

。8

##

?, Χ 2
,

2



#2
?

(

当 Φ ?Φ

时 则 Φ#
, ,

=

Α
?

对于 满足 ,
因 为?,

2

.

2

十 Θ 二

(
2


的任 意 正 实 数 ,
乙## )
2
,

.



都成 立
8

而 当 Φ ?Φ

( #妻 8

时 则 Φ#
+

石#
。8

?,

所以
2
。8

, 8 2
Θ Χ,

》, Χ石2

,

另一 方面 在 Φ
?
(

=
,

时 可 以 给出剖分 图如右 所 以
,

,

一 只
二 Δ +
十 Δ 2

# 至少有 Ε
7

,



,

8 同理 石
,

〕吞
8 占



,

。8

#

2

+

=

,

Μ
%

(



( ?

,

8 (
,

=#

?

于 是 ?, 8
2

2

2 。8
。8

#妻 , Χ 占2
##
2
, 8

占。 2
8 2 吞


。Χ ,

2


2


2


2
, Χ

对于

Δ +
(

( 8

,

在Φ

+

时 类 似 可 给出 以 下 剖分 图
(‘ ’

,


2

,

…8
2
,

?, 8


2
2

.8 2

2 2

。8 2

, Χ.

占。

ΨΧ,


ΨΧ



+

?,

.

# ?, Χ

2



2

#+

2

.Χ 2

次今 考 砚 公
所 以 ?8(
, ,

= ’

所 以 ?,
2
ΨΧ 。

Χ 2


2

2




#2

Κ+
, Χ

?, Χ 2
2




2



# 2 ?,
, Χ 2

2
2

占 (8

+
,
,

,

Μ8( +
, ,

?(
,

,

,

% 1
, , ,

,

(
,

,

=

# ?(
,

,

,

= 1
, ,

,

#蕊 ?

, Χ

2


8 占

#2 #
?

8?

吞 2

#+

!?



# ?(
,
?

,

8

,

% & (

# ?(

8

,

= ( 1 # 或 ?( % 8
,
,

,

#镇 盯 ?, 8
,

2

2

‘8

1 (1 #等
,

所 以 Β 的 最 小值 为
七 ?( #Β

,

%

?

Δ

,



#

,

由Β
2
Δ 2

Δ

#
Ε


,

,

ΔΕ

#

ΧΔ

,

Β

Ε

#

ΧΕ

得Β
?

Δ

2 ΔΕ 2

Ε Β

妻 ?Β

#

=

?


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数学奥林匹克研究所共同发起成立了中国奥数教学联盟,...年全国高中数学联赛的高三学生; ② 希望提高自身竞赛...国家集训队测试,东南地区数学奥林匹克提供多道试题。...
中学生先进事迹
他曾获得鹰潭市第四届“十佳少年”及鹰潭市 首届“十佳中学生”称号,并均在...他还获得第三届中国东南地区暨希望 联盟数学奥林匹克竞赛二等奖、全国中学生英语...
2016鄂州职业大学单招语文模拟试题及答案
2016鄂州职业大学单招语文模拟试题及答案_语文_高中...挑衅奥林匹克精神的恶劣 行径,完全不符合奥林匹克...带东南 下的冷空气滞留在长江流域及其以南地区,造成...
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