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2015届高考调研文科课时作业35


课时作业(三十五)
1.(2014· 衡水调研)在等比数列{an}中,a2 014=8a2 011,则公比 q 的值为 ( A.2 C.4 答案 解析 A a2 014 依题意得a =q3=8,q=2,选 A.
2 011

)

B.3 D.8

2.在公比为正数的等比数列中,a1+a2=2,a3+a4=8,则 S8 等于( A.21 C.135 答案 解析 =170. a3+a4 方法二:q2= =4,又 q>0,∴q=2. a1+a2 2 a1(1+q)=a1(1+2)=2,∴a1=3. 2 8 ?2 -1? 3· S8= =170. 2-1 D B.42 D.170

)

方法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128

7 77 3.在 14 与8之间插入 n 个数组成等比数列,若各项总和为 8 ,则此数列的 项数( A.4 C.6 答案 B a1-anq 7 77 1 7 ∵ q≠1(14≠ 8 ) ,∴ Sn = ,∴ 8 = . 解得 q =- 2 , 8 = 1-q 1-q 7 14-8q ) B.5 D.7

解析

1 14×(-2)n+2-1,∴n=3.故该数列共 5 项. 4.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6=( )

A.31.5 C.79.5 答案 解析 C

B.160 D.159.5

因为 1+2an=(1+2a1)· 2n-1,则

5· 2n-1-1 1 an= ,an=5· 2n-2-2. 2 1 1 1 a6=5×24-2=5×16-2=80-2=79.5. 5.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 C.8 答案 解析 B 由 anan+1=16n,得 an+1· an+2=16n+1. B.4 D.16 )

an+1· an+2 16n+1 两式相除得, = 16n =16,∴q2=16.∵anan+1=16n,可知公比为正 an· an+1 数,∴q=4. 6.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3· a9=2a2 5,a2=1,则 a1=( 1 A.2 C. 2 答案 解析 B 因为
2 a6 2 2 2 a3· a9=2a5, 则由等比数列的性质有: a3· a9=a6=2a5, 所以a2=2, 5

)

2 B. 2 D.2

a6 a2 1 2 即(a )2=q2=2.因为公比为正数,故 q= 2.又因为 a2=1,所以 a1= q = = 2 . 5 2 7.(2012· 课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 =( ) A.7 C.-5 答案 解析 D ?a4+a7=2, ?a4=4, 设数列 {an} 的公比为 q ,由 ? 得? 或 a6=a4· a7=-8, ?a5· ?a7=-2 B.5 D.-7

a =-8, ? ? 1 ?a4=-2, ? 所以? 3 1 q =-2 ?a7=4, ? ? 所以 a1+a10=-7.

?a1=1, ?a1=-8, ?a1=1, 或? 3 所以? 或? ?q =-2, ?a10=1 ?a10=-8,

3 9 8.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,a3=2,S3=2,则公比 q=( 1 A.2 1 C.1 或-2 答案 解析 C 1 B.-2 1 D.1 或2

)

3 9 当 q=1 时,a1=a2=a3=2,S3=a1+a2+a3=2,符合题意;当 q≠1

3 ? a3=a1q2=2, ? 时,由题可得? a1?1-q3? 9 S = ? ? 3 1-q =2,

1 1 解得 q=-2.故 q=1 或 q=-2.

9.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则 1 数列{a }的前 5 项和为(
n

) 31 B.16或 5 15 D. 8

15 A. 8 和 5 31 C.16 答案 解析 C 由题意可知 q≠1.

∵9(a1+a2+a3)=a1+a2+a3+a4+a5+a6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6,8(a1+a2+a3)=(a1+a2+a3)q3. ∴q=2,an=2n-1. 1 1 1 1 1 1 31 ∴a +a +…+a =20+21+…+24=16.
1 2 5

10.(2012· 北京)已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是( A.a1+a3≥2a2 C.若 a1=a3,则 a1=a2
2 2 B.a2 1+a3≥2a2

)

D.若 a3>a1,则 a4>a2

答案 解析

B 设公比为 q,对于选项 A,当 a1<0,q≠1 时不正确;选项 C,当 q=

2 -1 时不正确;选项 D,当 a1=1,q=-2 时不正确;选项 B 正确,因为 a1 +a2 3

≥2a1a3=2a2 2.选 B. 11.已知等比数列{an}中,a4+a6=10,则 a1a7+2a3a7+a3a9 的值等于( A.10 C.60 答案 解析 故选 D. 1 12.在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2| +…+|an|=________. 答案 解析 -2 1 2n-1-2 D
2 2 2 由题意,得 a1a7+2a3a7+a3a9=a2 4+2a4a6+a6=(a4+a6) =10 =100.

)

B.20 D.100

设等比数列{an}的公比为 q,则 a4=a1q3,代入数据解得 q3=-8,所

1 以 q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|= ×2n-1,所以|a1|+ |a2|+|a3| 2 1 1 1 +…+|an|=2(1+2+22+…+2n-1)=2(2n-1)=2n-1-2. 1 13. (2013· 江苏)在正项等比数列{an}中, a5=2, a6+a7=3.则满足 a1+a2+… +an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________. 答案 12 1 ? ?a1· q4=2, 设等比数列的首项为 a1,公比为 q>0,由? 得 a1 5 6 ? q +a1· q =3, ?a1·

解析

1 =32,q=2. ?n-1??n-10? 由 a1+a2+…+an>a1a2…an,得 2n-1>2 . 2 检验知 n=12 时,212-1>211;n=13 时,213-1<218,故满足 a1+a2+…+ an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值是 12.

1 14.(2014· 江南十校联考)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=4,则 Sn=a1+ a2+…+an(n∈N*)的取值范围是________. 答案 解析 4≤Sn<8 因为{an}是等比数列,所以可设 an=a1qn-1. a =4, ? ? 1 解得? 1 q=2. ? ? 1 1 1 = 8 - 8×( 2 )n. 因为 0<( 2 )n≤ 2 ,所以

a q=2, ? ? 1 1 因为 a2=2,a5=4,所以? 4 1 a q =4, ? ? 1

所以 Sn = a1 + a2 + … + an =

1 4[1-?2?n] 1 1-2

4≤Sn<8. 15. (2011· 大纲全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30, 求 an 和 Sn. 答案 当 a1=3,q=2 时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)

当 a1=2,q=3 时,an=2×3n-1,Sn=3n-1 解析 设{an}的公比为 q,由题设得

?a1q=6, ?a1=3, ?a1=2, ? ? ? 解得 或 2 ?6a1+a1q =30, ?q=2 ?q=3. 当 a1=3,q=2 时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1); 当 a1=2,q=3 时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. 16.已知{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和,a1,a7,a4 成等差数列,求证: 2S3,S6,S12-S6 成等比数列. 答案 证明 略 1 由已知得 2a1q6=a1+a1q3,即 2q6-q3-1=0,得 q3=1 或 q3=-2.

S6 S12-S6 1 S6 当 q3=1 即 q=1,{an}为常数列,2S = S 命题成立.当 q3=-2时,2S
3 6

3

1-q6 1 = 3 = . 2?1-q ? 4 S12-S6 1-q12 1 = 6 -1= .∴命题成立. S6 4 1-q

17.(2013· 陕西)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

答案

?na1, n (1)Sn=?a1?1-q ? ? 1-q ,

q=1, q≠1 (2)略

解析

(1)设{an}的前 n 项和为 Sn,

当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn. a1?1-qn? ∴Sn= . 1-q

?na1, n ∴Sn=?a1?1-q ? ? 1-q ,

q=1, q≠1.

(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k-1 a2 · a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 1q +2a1q =a1q

∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0,∴q2-2q+1=0. ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 18.(2013· 湖北)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列, 且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的 集合;若不存在,说明理由. 答案 (1)an=3(-2)n-1

(2)存在 解析

{n|n=2k+1,k∈N,k≥5} (1) 设 数 列 {an} 的 公 比 为 q , 则 a1≠0 , q≠0. 由 题 意 , 得

2 3 2 ?S2-S4=S3-S2, ?-a1q -a1q =a1q , ? 即? 2 ?a2+a3+a4=-18, ?a1q?1+q+q ?=-18,

?a1=3, 解得? ?q=-2. 故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n-1. (2)由(1)有 Sn= 3[1-?-2?n] =1-(-2)n. 1-?-2?

若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k ∈N,k≥5}.



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