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第十一讲 指数、指数函数和对数、对数函数A


河北安国中学

数学高考第一轮复习导学案

第十一讲 指数、指数函数和对数、对数函数
回归课本:1.指数的性质:am·n=am a
r r
+n

,am÷ n=am n,(am)n=anm(a>0,m,n∈Q),(ab)r a



=a b

(a>0,b>0,r∈Q). 2.对数的性质:零和负数没有对数;1 的对数是零;logaa=1(a>0,a≠1). M 3.对数的运算性质:a>0,且 a≠1,M>0,N>0;loga(MN)=logaM+logaN;loga N 1 n =logaM-logaN;logaNm=mlogaN;loga N= logaN. n logaN 4.对数的换底公式:若 a>0,且 a≠1,b>0 且 b≠1,N>0,则 logbN= . logab

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(6)y=logax 与 y=log x 关于 X 轴对称 (7)Y 轴是渐近线,即图象向上或向下无限接近 y 轴 (8)a>1 时,a 越大,x=1 右侧图象越接近 X 轴 (9)图象与直线 y=1 的交点(a,1)的横坐标,即为对数函数的底,a 越大交点越向右. (10)y=logax 与 y=ax 互为反函数

考点陪练:
1 1 3 1.若 a=log2sin ,3b= ,?3?c=log3c,则 ? ? 3 A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c -1 3 2.若 x∈(e ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则 A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a ( ( ) )

A.a>c>b 4.若函数

B.a>b>c

C.c>a>b

D.b>c>a ( )

在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是 1 ? 1 1 B.?2,1? C.?2,+∞? D.?-∞,2? ? ? ? ? ? ?lg|x|,x<0, ? 5.设函数 f(x)=? x 若 f(x0)>0,则 x0 的取值范围是 ? ?2 -1,x≥0, A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,+∞) 1 A.?0,2? ? ?

(

)

类型一

指数式、对数式的求值或化简

解题准备:指数、对数的运算法则要熟记,还要注意对数式与指数式的互化.

【典例 1】

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(2)已知 a、b 是方程 x2-6x+4=0 的两根,且 a>b>0,求

a- b 的值; a+ b

[点评] 带条件的求值问题,常有两种思考方法: (1)将已知的条件变形得到所需要的值或关系式; (2)将待求的式子化成可用已知条件表示的式子. + 探究:(1)、已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m n 的值. 1 32 4 (2)、求 lg - lg 8+lg 245的值. 2 49 3 分析:在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的 形式,使幂的底数最简,然后运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指 数与对数的互化.

点评: 本题容易出现失误的主要原因有两个方面, 一是基础知识不熟练或理解不透, 如指数式与对数式的互化,指数与对数的性质及运算法则等;二是运算失误,尤其是有 关系数与符号问题等.
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类型二

指数函数的图象和性质

解题准备:1.在讨论指数函数的性质或利用其性质解决问题时,应特别注意函数 y= ax(a>0 且 a≠1)的底数的取值是 a>1 还是 0<a<1,其单调性的确定涉及分类讨论的思想. 2.函数的奇偶性与单调性是高考考查的热点问题,常以指数函数为载体考查,函数 的性质与恒成立问题、求参数的范围也是常考内容,难度不大,在解答过程中注意等价 转化思想的应用. a - 【典例 2】 已知 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0 且 a≠1). a -1 (1)、判断 f(x)的奇偶性; (2)、讨论 f(x)的单调性; (3)、当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

[点评] 本题为含参问题,需按 a>1 或 0<a<1 两种情况进行分类讨论求解函数的单 调性.同时,无论研究函数的任何性质,都应该优先确定函数的定义域.

类型三

对数函数的图象和性质?

解题准备: “数”是数学的特征,它精确、量化,最有说服力;而“形”则形象、直 观,能降低人的思维难度,简化解题过程,把它们的优点集中在一起就是最佳组合. 利用对数函数的图象性质,可解决与对数函数有关的比较大小、方程解的个数、研 究单调性、求值域或最值问题. 以对数函数的复合函数为载体,来综合考查函数的定义域、值域及其有关性质一直 是高考考查的重点内容. x+b 【典例 3】 已知函数 f(x)=loga (a>0,b>0 且 a≠1). x-b (1)、求 f(x)的定义域; (2)、讨论 f(x)的奇偶性; (3)、判断 f(x)的单调性并证明;

快速解题:
技法:已知函数 y=f(x)的图象与函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象关于直线 y=x 对称,记 1 g(x)=f(x) [f?x?+f?2?-1] .若 y=g(x)在区间 ?2,2? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ? ? ( ) ?1 ? ? 1? A.[2,+∞) B.(0,1)∪(1,2) C.? ,1? D.?0, ? ?2 ? ? 2? 第 4 页 共 4 页


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