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2013年广州市一模数学文科试卷含答案(word版)


2013 年广州市一模数学文科试卷

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟

参考公式:线性回归方程

?? ?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式 b y

? ( x1 ? x )( y1 ? y )
i ?1

m
<

br />? ( x1 ? x )
i ?1

m

? ? y ? bx , ,a

2

其中 x ,

y 代表样本的均值。 1 锥形的体积公式 V ? Sh, 其中 S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。 3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 i 是虚数单位,则复数 1-2i 的虚数为 A. 2 B. 1 C. -1 D. -2

2. 设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,5},B={2,4},则 A.

U ? A? B
U ? A ? (CU B)

B.

U ? (CU A) ? B
D.

C.

U ? (CU A) ? (CU B)

3. 直线 3x ? 4 y A. 相离

? 9 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的位置关系是
B. 相切 D. 直线与圆相交但不过圆心

C. 直线与圆相交且过圆心 4. 若函数 A. 4 5. 已知平面向量 a

y ? f ( x) 是函数 y ? 2 x 的反函数,则 f (2) 的值是
B. 2 C. 1 D. 0

? (?2, m), b ? (1, 3 ) ,且 (a ? b) ? b, 则实数 m 的值为
B.

A.

?2 3

2 3

C.

4 3

D.

6 3

6.

?x ? 2 y ? 1 ? 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?y ?1 ? 0 ?
A. -3 B. 0 C. 1 D. 3

7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C.

2 3

D.

1 3

8. 已知函数 像,只要将

f ( x) ? 2 s in 2 x, 为了得到函数 g ( x) ? sin 2 x ? cos2 x 的图

y ? f ( x) 的图像

A. 向右平移

? 个单位长度 4

B. 向左平移

? 个单位长度 4

C. 向右平移

? 8

个单位长度

D. 向左平移

? 8

个单位长度

9. “m<2”是“一元二次不等式 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 10. 设函数

x 2 ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

f ( x) 的定义域为 D。如果 ?x ? D, ?y ? D, 使
3

f ( x) ? f ( y ) ? C(C 为常数)成立,则称函数 f ( x) 2
x


?1? 在 D 上的均值为 C,给出下列四个函数① y ? x ; ② y ? ? ? ?2?


y ? lnx; ④ y ? 2 sin x ? 1, 则满足在其定义域上均值为 1 的函数的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 函数

f ( x) ? 2 ? x ? ln( x - 1) 的定义域是



12. 某工厂的某种型号机器的使用年限

x 和所支出的维修费 y (万元)有下表的统计资料:
3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 万元(结

x y
根据上表可得回归方程 果保留两位小数) 。 13.已知经过同一点的 n(n ? N
*

2 2.2

? ? 1, 23 x ? a ? , 据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年的维修费用约 y

, n ? 3) 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这 n 个平面将空间分成 f (n) 个

部分,则

f (3) ? __________, f (n) ? __________.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,定点 为__________.

3 A(2, ? ) ,点 B 在直线 ? cos? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标 2

15. (几何证明选讲选做题) 如图 2,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线, AC 与⊙O 交于点 D,若 BC

? 3, AD ?

16 ,则 AB 的长为__________. 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

已知函数 期为 8. (1)求函数

?? ? f ( x) ? A sin? ?x ? ? (其中 x ? R, A ? 0,? ? 0 )的最大值为 2,最小正 4? ?
的值.

f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x ) 图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4,O 为坐标原点,求 cos ?POQ

17. (本小题满分 12 分) 沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名,某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获时,该果农随机选取果树 20 株 作 为 样 本 测 量 它 们 每 一 株 的 果 实 产 量 ( 单 位 : kg ), 获 得 的 所 有 数 据 按 照 区 间

(40, 45], (45, 50], (50, 55], (55, 60], 进行分组,得到频率分布直方图如图 4 (45, 50] 上的果树株数是产量在区间 (50, 60] 上的果树株数的 倍. 3
(1)求 a, b 的值;

3 ,已知样本中产量在区间

(2)从样本中产量在区间 (50, 60] 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 (55, 60] 上的果树至少有一株被抽中的概 率.

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60?, AB ? 2 AD,

PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: (3)若

AD ? PB ;

AB ? PD ? 2, 求点 A 到平面 BMD 的距离.

19.(本小题满分 14 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 的前 n 项和. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 (1 ?

? 2, a2 ? 8, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn (n ? 2) ,Tn 是数列 {log 2 an }

1 1 1 1010 )(1 ? ) ? ... ? (1 ? ) ? T2 T3 Tn 2013

的最大正整数 n 的值.

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两个焦点分别为 F 1 (?2,0), F2 (2,0), 点 与抛物线 C2:x
2

A(2,3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L

? 4 y 交于 B、C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 , l2 , 且 l1 与 l 2 交于点 P.
的点 P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个(不必求出点 P 的坐标) ;

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在满足

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知 n ? N ,设函数
*

f n ( x) ? 1 ? x ?
*

x2 x2 x 2 n?1 ? ? ... ? , x ? R. 2 3 2n ? 1

(1)求函数

y ? f 2 ( x) ? kx(k ? R) 的单调区间;

(2)是否存在整数 , 对于任意 n ? N , 关于

t

x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 [t , t ? 1] 上有唯一实数解?若存在,求 t

的值;若不存在,说明理由.

2013 年广州市一模数学文科试卷 参考答案


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