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1.3.2 球的体积和表面积(课时训练及答案)


高中数学(人教 A 版,必修二)课时作业

1.3.2

球的体积和表面积

【课时目标】 1.了解球的体积和表面积公式.2.会用球的体积和表面积公式解决实 际问题.3.培养学生的空间想象能力和思维能力.

1.球的表面积 设球的半径为 R, 则球的表面积 S=________, 即球的表面积等于它的

大圆面积的________ 倍. 2.球的体积 设球的半径为 R,则球的体积 V=________.

一、选择题 1.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( ) 6π π A. B. 6 2 2π 3 π C. D. 2 π 2.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的( ) A.2 倍 B.2 2倍 3 C. 2倍 D. 2倍 3.正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A.1∶ 3 B.1∶3 C.1∶3 3 D.1∶9 4.若三个球的表面积之比为 1∶2∶3,则它们的体积之比为( ) A.1∶2∶3 B.1∶ 2∶ 3 C.1∶2 2∶3 3 D.1∶4∶7 5.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,则 这个球的表面积为( ) A.25π B.50π C.125π D.以上都不对 6.一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球半径的 3 倍,圆锥的高与球半径 之比为( ) A.4∶9 B.9∶4 C.4∶27 D.27∶4 二、填空题 7.毛泽东在《送瘟神》中写到:“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的 8 倍,则火星的大圆周长约________万里. 8.将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径 是________. 9.(1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是________; (2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是________. 三、解答题 10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋,请你设

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计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇 淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?

11. 有一个倒圆锥形容器, 它的轴截面是一个正三角形, 在容器内放一个半径为 r 的铁球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.

能力提升 12.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出了四个过球心的平面截球与 三棱锥所得的图形,如图所示,则( )

A.以上四个图形都是正确的 B.只有(2)(4)是正确的 C.只有(4)是错误的 D.只有(1)(2)是正确的 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球 过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

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1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计 算. 2.解决球与其他几何体的切接问题,通常作截面,将球与几何体的各量体现在平面图形 中,再进行相关计算. 3.解答组合体问题要注意知识的横向联系,善于把立体几何问题转化为平面几何问题, 运用方程思想与函数思想解决,融计算、推理、想象于一体.

1. 3. 2
知识梳理 1.4πR2 作业设计 1.A 6π .] 6 4 4 2. πR3 3

球的体积和表面积

答案

[先由面积相等得到棱长 a 和半径 r 的关系 a=

6π r,再由体积公式求得体积比为 3

2.B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 2倍,则体积扩大到原来的 2 2倍.] 3.C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长 a,外接球的直径等于 3a.] 4.C [ 由表面积之比得到半径之比为 r1∶r2∶r3 = 1∶ 2 ∶ 3 ,从而得体积之比为 V1∶V2∶V3=1∶2 2∶3 3.] 5. B [外接球的直径 2R=长方体的体对角线= a2+b2+c2(a、 b、 c 分别是长、 宽、 高). ] 1 4 6.A [设球半径为 r,圆锥的高为 h,则 π(3r)2h= πr3,可得 h∶r=4∶9.] 3 3 7.4 解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的 2 倍,日行 8 万里指地球大圆的 4 2 周长,即 2πR 地球=8,故 R 地球= (万里),所以火星的半径为 万里,其大圆的周长为 4 万里. π π 8.3 cm 4 解析 设球的半径为 r,则 36π= πr3,可得 r=3 cm. 3 9.(1)球 (2)球 解析 设正方体的棱长为 a,球的半径为 r. 4 (1)当 6a2=4πr2 时,V 球= πr3= 3 6 3 3 a >a =V 正方体; π

3 π 2 4 (2)当 a3= πr3 时,S 球=4πr2=6 a <6a2=S 正方体. 3 6 10.解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须

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1 4 1 4 V 圆锥≥V 半球,V 半球= × πr3= × π×43, 2 3 2 3 1 1 2 1 V 圆锥= Sh= πr h= π×42×h. 3 3 3 1 1 4 依题意: π×42×h≥ × π×43,解得 h≥8. 3 2 3 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr 制造的杯子最省材料. 11.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面. h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时,

根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的半径为 3r,则容器内水的体积为 1 4 5 V=V 圆锥-V 球= π· ( 3r)2· 3r- πr3= πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为 h,则水面圆 3 3 3 的半径为 3 1 3 1 3 h,从而容器内水的体积是 V′= π· ( h)2· h= πh3,由 V=V′,得 h= 15r. 3 3 3 9

3 即容器中水的深度为 15r. 12.C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆).] 13.解 设正方体的棱长为 a.如图所示. ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及 a 2 球心作截面,所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4πr2 1=πa . 2

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点, 过球心作正方体的对角面得截面, 2r2= 2a, r2= 2 2 a,所以 S2=4πr2 2=2πa . 2 ③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所以有 2r3= 3a, r3= 3 2 a,所以 S3=4πr2 3=3πa . 2

综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.


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