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【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:9.7 双曲线


第 7 讲 双曲线

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考 纲 展 示 了解双曲线的定义,掌 握双曲线的几何图形 和标准方程,理解它的 简单几何性质.

考 纲 解 读 1.从近几年的高考试题来看,双曲线的定义、 标准方程 及几何性质是高考的热点. 2.题型大多为选择题、 填空题,解答题出现较少,个别省 份也偶有考查,难度为中等偏低.试题主要考查双曲线 的定义及几何性质,着重考查渐近线与离心率问题,考 查基本运算能力及等价转化思想.

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1.双曲线的定义 平面内与定点 F1, 2 的距离的差的绝对值等于常数( F 小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线, 定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离 叫做双曲线的焦距. 在定义中, 到两定点 F1, 2 的距离之差的绝对值等 F 于|F1F2|的动点的轨迹是两条射线( F1F2 或 F2F1 的延长线), 即 大于 |F1F2|的动点的轨迹不存在.

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2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
x2 a2

?

y2 b

a>0, b>0) 2 =1(

y2 a2

?

x2 b

a>0, b>0) 2 =1(

图形

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续表 标准方程 范围 对称性 几 何 性 质 顶点 实、虚轴 离心率 渐近线 中心 对称轴 a, c 的关系 b,
x2 a2

?

y2 b

b>0) 2 =1(a>0,

y2 a2

?

x2 b

b>0) 2 =1(a>0,

x≤-a 或 x≥a A1(-a, A2(a, 0), 0) e=a(e>1)
b y=± x a c

y≤-a 或 y≥a A1(0, A2(0, a), -a)

关于 x 轴、y 轴、原点对称 实轴长|A1A2|=2a, 虚轴长|B1B2|=2b
a y=± x b

原点 x 轴, 轴 y c2=a2+b2(c>a>0, c>b>0)
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3.等轴双曲线: 实轴与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线, 其标 准方程为 x2-y2=± 2( a a>0) .
2 4.与双曲线 2 2 2 ? =1. 2 +k 2 -k 2 5.与双曲线 2 2

?

2

2 =1

的焦点相同的双曲线方程可设为

?

2

2 =1

2 渐近线相同的双曲线方程可设为 2

?

k≠0) . 2 =k(

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2 2 1.双曲线 ? =1 10 2

的焦距为(

) C.3 3 D.4 3
2 2 3.故双曲线 ? =1 10 2

A.3 2 【答案】 D

B.4 2
2 2 2

【解析】 由已知有 c =a +b =12, 所以 c=2 的焦距为 4 3. 2.双曲线 y2-x2=2 的渐近线方程是( A.y=± x B.y=± 2x C.y=± 3x D.y=± 2x 【答案】 A 【解析】
2 由题意知 2 2 ? 2 =1, x. y=±

)

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3.若双曲线方程为 x2-2y2=1, 则它的右焦点坐标为( A. 2 ,0 C.
6 ,0 2
2 2

)

2

B. 2 ,0 D.( 3, 0)
2

5

【答案】 C 【解析】 x -2y =1 化为标准方程为 x 即 a =1, b
2 2

2
1 2

=1,

1 2 2 2 3 =2, =a +b =2.故 c

6 c= 2 .故选 C.

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2 2 4.(2012·山东烟台模拟) 与椭圆 4 +y =1

共焦点且过点 P( 1) 2, 的双曲

线方程是(
2 2 A. -y =1 4 2 2 C. ? =1 3 3

)
2 2 B. -y =1 2 2 2 D.x - =1 2

【答案】 B 【解析】

2 2 所以排除 A, C.又双曲线 2 -y =1

2 2 椭圆 4 +y =1

的焦点为( 3, , ± 0) 因为双曲线与椭圆共焦点, 经过点( 1) 排除 D, 2, , 故选 B.

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2 5.已知 F 是双曲线 4

2 ? =1 的左焦点, 1, , 是双曲线右支上的动 A( 4)P 12

点, 则|PF|+|PA|的最小值为

.

【答案】 9 【解析】 设双曲线的右焦点为 F1, 则由双曲线的定义可知 |PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|, ∴ |PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|. ∴ 当满足|PF1|+|PA|最小时可使|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象( 图 略) 可知当点 A, F1 共线时, P, 满足|PF1|+|PA|最小, 易求得其最小值为 |AF1|=5, 故所求最小值为 9.

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T 题型一双曲线的定义
例 1 已知圆 C 方程为( 2+y2=4, x-3) 定点 A( 0)求过定点 A -3, , 且和圆 C 外切的动圆圆心 P 的轨迹方程.
因为圆 P 与圆 C 外切, 所以|PC|=|PA|+2, 即 |PC|-|PA|=2, 可用直接法或定义法求轨迹方程. 【解】 ∵ P 与圆 C 外切, 圆 ∴ |PC|=|PA|+2, 即|PC|-|PA|=2. ∵ 0<|PC|-|PA|<|AC|, 由双曲线定义知点 P 的轨迹是以 A, 为焦 ∴ C 点, 为实轴长的双曲线的左支, 2 其中 a=1, c=3, b2=c2-a2=9-1=8. ∴ 故所求轨迹方程为 x
2

2 - =1( x<0) . 8

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在利用双曲线的定义解题时, 要特别注意对定义中“绝对值”的 理解, 以避免解题时出现片面性. 当 P 满足 0<|PF1|-|PF2|<|F1F2|时, P 的轨迹是双曲线的一支; 点 当 0<|PF2|-|PF1|<|F1F2|时, P 的轨迹是双曲线的另一支; 点 当 |PF1|-|PF2|=± 1F2|时, P 的轨迹是两条射线.||PF1|-|PF2||不可能大 |F 点 于|F1F2|.

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2 1.若动圆 M 与圆 C1:x+4) +y2=2 外切, ( 且与圆 C2:x-4) +y2=2 内 ( 2 切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程. 【解】 如图所示, 设动圆 M 的半径为 r, 则由已知得|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2,

∴ 1|-|MC2|=2 2. |MC 又 C1( 0) C2( 0) ∴ 1C2|=8. -4, , 4, , |C ∴ 2<|C1C2|. 2 根据双曲线的定义知, M 的轨迹是以 C1( 0) C2( 0) 点 -4, , 4, 为焦点的 双曲线的右支. ∵ 2, a= c=4, b =c -a =14.∴ M ∴ 点
2 2 2

2 的轨迹方程是 2

2 ? =1( x≥ 14

2) .
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T 题型二双曲线的标准方程
例 2 根据下列条件, 求双曲线方程:
2 2 ( 与双曲线 ? =1 有共同的渐近线, 1) 且过点( 2 3) -3, ; 9 16 2 2 ( 与双曲线 ? =1 有公共焦点, 2) 且过点( 2, . 3 2) 16 4 2 2 设双曲线方程为2 ? 2 =1, 求双曲线方程, 即求

a, 为 b,

此需要关于 a, 的两个方程, b 由题意易得关于 a, 的两个方程. b

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2 2 【解】 方法一: 1) ( 设双曲线的方程为 2 ? 2 =1, 4 = , 3 2 9 2 由题意, (-3)2 (2 3)2 得 解得 a = , =4. b 4 - 2 = 1, 2 2 2 故所求双曲线的方程为 9 ? 4 =1.

( 设双曲线方程为2 ? 2) 又∵ 双曲线过点( 3

2

2

4

2 =1.由题意易求 2

c=2 5.

(3 2) 2, , 2 2) ∴

?

4

2 =1.

又∵ 2+b2=( 5) , a2=12, 2=8. a 2 2∴ b
2 2 故所求双曲线的方程为 ? =1. 12 8

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2 2 方法二: 1) ( 设所求双曲线的方程为 9 ? 16=λ( λ≠0) , 1 将点( 2 3) -3, 代入得 λ=4, 2 2 1 2 2 ∴ 所求双曲线方程为 9 ? 16 = 4, 9 ? 4 =1. 即
4

2 2 ( 设双曲线方程为 2) ? =1, 16- 4+

将点( 2, 代入得 k=4( 3 2) k=-14 舍去) .
2 2 故所求双曲线方程为12 ? 8 =1.

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已知双曲线的渐近线方程, 求双曲线的方程时, 可利用有公共渐
2 2 近线的双曲线方程为2 ? 2 =λ(λ≠0), 结合其他条件求出

λ, 从而得解.

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2.根据下列条件, 求双曲线的标准方程. ( 经过点 1) 夹角为3.
π 15 ,3 4

, 且一条渐近线方程为 4x+3y=0;

( 点 P( 6) 2) 0, 与其两个焦点的连线互相垂直, 与两个顶点连线的

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【解】( 因直线 x= 4 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为 4 ,-5 , 1) 而 3<|-5|, 故双曲线的焦点在 x 轴上,
2 2 设其标准方程为 2 ? 2 =1( a>0, b>0) ,
15 2 2 3 4

15

15

= 1, 2 = 9, 由 解得 2 2 = 16. 4 2 = -3 , 2
2
2

-

2 故所求双曲线的标准方程为 9

2 ? =1. 16

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( 设 F1, 2 为双曲线的两个焦点, 2) F 由题意, 可知 F1, 2 两点在 x F 轴上, ∵ 1⊥PF2, PF 且|OP|=6, ∴ 2c=|F1F2|=2|OP|=12.∴ c=6. π 又点 P 与两顶点连线的夹角为 ,
3 π ∴ a=|OP|·tan6=2

3.

∴ 2=c2-a2=24. b

2 2 故所求双曲线的标准方程为12 ? 24=1.

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T 题型三双曲线的几何性质
例 3 求双曲线 9y2-16x2=144 的实轴长、虚轴长、焦点坐 标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
先将所给双曲线方程化为标准方程, 再根据标准方程 求出各有关量. 【解】 双曲线 9y -16x =144 ∵ a=4, b=3, 2=a2+b2=25, c=5. c ∴
2 2

2 2 可化为16 ? 9 =1.

∴ 实轴长 2a=8, 虚轴长 2b=6; 焦点坐标为 F1( -5) F2( 5) 顶点坐标 0, , 0, ; 为( -4) ( 4) 渐近线方程为 y=± x, 0, , 0, ; 离心率 e= = .
4 3 5 4

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要注意正确判定焦点的位置.双曲线与椭圆相比, 双曲线有两个 顶点, 而椭圆有四个顶点.对渐近线方程的求法, 一是利用渐近线方程
2 2 写出; 二是令方程16 ? 9 =0

求解.

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2 3.如图, 1, 2 分别是双曲线 C: 2 F F

?

2

a, 的左、右焦点, B 2 =1( b>0)

是虚轴的端点, 直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P, 两点, Q 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|, C 的离心率是 则 ( )

A. 3 B. 2 【答案】 B

2 3

6

C. 2 D. 3

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【解析】 设双曲线的半焦距为 c, 则|OB|=b, 1|=c. |OF ∴ PQ= , MN=-. k k 直线 PQ 方程为 y= ( x+c) 两条渐近线方程为 y=± x. , 由
= (x + c), 得Q , ; - - = x, = (x + c), - 得 P + , + . = - x, 2 2 c MN 为 y- 2 2=- - 2 2 , - -

由 ∴ 直线

令 y=0 得

3 xM= 2 2.又∵ 2|=|F1F2|=2c, |MF -

2 3 2 ∴ 3c=xM= 2 2, 解之, e = 2 得 -

=

3 , 即 2

6 e= . 2

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T 题型四直线与双曲线的位置关系
例4
2 过双曲线 3 2 ? 6 =1

的右焦点 F2, 倾斜角为 30° 的直

线交双曲线于 A, 两点, 为坐标原点, 1 为左焦点. B O F ( 求|AB|; 1) ( 求△AOB 的面积; 2) ( 求证: 2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. 3) |AF 写出直线方程, 然后与双曲线方程联立组成方程组, 消 去 y 得关于 x 的一元二次方程, 利用弦长公式求|AB|; O 到直线 AB 求 的距离, 代入面积公式得△AOB 的面积; 最后利用双曲线的定义求证 等式成立.

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【解】 ( 由双曲线的方程得 a= 3, 1) b= 6, 从而 c= 2 + 2 =3, 1( 0) F2( 0) F -3, , 3, .
3 直线 AB 的方程为 y= 3 ( . x-3)

设 A( 1, 1) B( 2, 2) x y , x y , = 3 (x-3), 由 得 5x2+6x-27=0. 2 2 - = 1, 3 6 故 x1+x2=-5, 1x2=- 5 . x 从而|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + = 3· 25 + 5 = 5 .
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3

6

27

3 3

2

· (1 + 2 )2 -41 2

4

36

108 16 3

( 直线 AB 的方程变形为 3x-3y-3 3=0. 2) 从而原点 O 到直线 AB 的距离为 d=
|-3 3| ( 3) +(-3) 1
2 2

= .
1 16 3 3 12 3

3 2

故 S△AOB=2|AB|·d=2 × 5 × 2 = 5 .

( 如图, 3) 由双曲线的定义得 |AF2|-|AF1|=2 3, |BF1|-|BF2|=2 3, ∴ 2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|, |AF 即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
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双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解 决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程, 然后把直线 方程和双曲线方程组成方程组, 消元后转化成关于 x( y)的一元二 或 次方程, 利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.设直线与双曲 线交于 A(x1, 1), 2, 2) y B(x y 两点, 直线的斜率为 k, 则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|. 求三角形的面积有直接法和间接法两种, 同时注意选择三角形 的面积公式 △ = 积用的是直接法.另外也可用间接法, △AOB=△2 ? △2 . S
1 ah,△ 2

=

1 absin等 2

, 如本例(2) 问求△AOB 的面

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4.直线 l: y=kx+1 与双曲线 C: 2-y2=1 的右支交于不同的两点 2x A, B. ( 求实数 k 的取值范围; 1) ( 是否存在实数 k, 2) 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的 右焦点 F?若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 说明理由. 【解】( 将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 1) 后, 整理得( 2-2) 2+2kx+2=0.① k x 依题意, 直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点, 2 -2 ≠ 0, = (2)2 -8( 2 -2) > 0, 2 故 - 2 > 0,
-2 2
2

-2

> 0,
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解得 k 的取值范围是-2<k<- 2.

( 设 A, 两点的坐标分别为( 1, 1) ( 2, 2) 2) B x y ,x y , 1 + 2 = 则由①式得 1 ·2 =
2 2- 2
2 2

-2

, ② .

假设存在实数 k, 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右 焦点 F( 0) c, .则由 FA⊥FB 得( 1-c) x2-c) 1y2=0, x ( +y 即 ( 1-c) x2-c) kx1+1) kx2+1) x ( +( ( =0. 整理得( 2+1) 1x2+( ( 1+x2) 2+1=0.③ k x k-c) x +c
6 2 6+ 6 6- 6 解得 k=- 5 或 k= 5 ?( - 2) 舍去) -2, ( , 6+ 6 可知存在 k=使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 5

把②式及 c= 代入③式, 化简得 5k2+2 6k-6=0,



右焦点.

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解题策略
分类讨论处理圆锥曲线问题
2 2 例判断方程 + =1 9- -3

表示的曲线.

【解】 可分情况讨论解之. ( 当 9-k=k-3, k=6 时, 1) 即 原方程变为 x2+y2=3, 表示圆心在原点, 半径为 3的圆, 如图所示.

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( 当 9-k>k-3>0, 3<k<6 时, 2) 即 方程表示中心在原点, 焦点在 x 轴 上的椭圆, 如图所示.

( 当 k-3>9-k>0, 6<k<9 时, 3) 即 方程表示中心在原点, 焦点在 y 轴 上的椭圆, 如图所示.

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( 当 k-3<0<9-k, k<3 时, 4) 即 方程表示中心在原点, 焦点在 x 轴上 的双曲线, 如图所示.

( 当 9-k<0<k-3, k>9 时, 5) 即 方程表示中心在原点, 焦点在 y 轴上 的双曲线, 如图所示.

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解决该类问题一定不能思维定势, 不能因为题目中方程 的连接符是“+”而误认为是椭圆, 要从题目特点出发, 考虑分母的符 号, 分类讨论.

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2 1.已知双曲线 2

2 ? =1

的一条渐近线为 y= 2x, 则实数 a 的值为 C. 3 D.4
, 所以 a=4. 2

(

) B.2

A. 2 【答案】 D

【解析】 由题意, 2 = 得

2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 【答案】 C 【解析】
2 双曲线方程可变形为 4

2 ? =1, 所以 a2=4, a=2, 2a=4. 8

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3.下列双曲线中, 离心率为 的是(
2 2 A. -y =1 2 2 2 C. 4 ? 5 =1 2 B.x - =1 2 2 2 D. 5 ? 4 =1
2

3 2

)

【答案】 C
3 【解析】 选项 A, a= 2, b=1, c= + = 3, 所以 e= = 2 选项 B, a=1, b= 2, c= 2 + 2 = 3, 所以 e= = 3; 选项 3 2 + 2 =3, C, a=2, b= 5, c= 所以 e= = 2; 选项 3 5 2 + 2 =3, D, a= 5, b=2, c= 所以 e= = . 5

2

2

=

6 ; 2

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2 4.已知双曲线2

2 2 ? 2 =1( a>0, b>0) 和椭圆16 + 9 =1

2

有相同的焦点, 且

双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍, 则双曲线的方程 为 【答案】
2 4 2 ? 3 =1

.

【解析】 由题意知 a2+b2=16-9, a2+b2=7, 即 ① 又
2 +
2

7 2 + =2× , 即 2 4
2 2

2

= , ②
2 ? 3 =1.

7 4

由①②得 a =4, b

2 =3.∴ 双曲线方程为 4

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2 2 5.(2012·天津卷, 11)已知双曲线 C1: 2 ? 2 =1( a>0, b>0) 与双曲线 2 2 C2: ? =1 有相同的渐近线, C1 的右焦点为 F( 5, , 且 0)则 4 16

a=

, b=

.


【答案】 1 2 【解析】 ∵ 1 与 C2 的渐近线相同, =2. C ∴ 又 C1 的右焦点为 F( 5, , 0) ∴ 5, a2+b2=5. c= 即 ∴ 2=1, 2=4.∴ a b a=1, b=2.

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