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2010年高考数学复习必备精品:圆锥曲线方程及性质


圆锥曲线方程及性质
一. 【课标要求】
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几 何图形及简单性质; 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质

二. 【命题走向】
本讲内容是圆锥曲线的基础内

容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般 有 2~3 道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质, 从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较 大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标 准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲,预测 2010 年: (1)1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题; (2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三. 【要点精讲】
1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个 定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有

| MF1 | ? | MF2 |? 2a
椭圆的标准方程为: (焦点在 y 轴上) 。 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 c ? a ? b ;
2 2 2

x2 y 2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ?1 ( ( ) 焦点在 x 轴上) 或 (a ? b ? 0) a 2 b2 a2 b2

x2 y 2 y 2 x2 ②在 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置, a b a b x2 y 2 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时 只要看 x 和 y 2 的分母的大小。例如椭圆 m n 表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆
(2)椭圆的性质 ①范围: 由标准方程

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a ,| y |? b , 说明椭圆位于直线 x ? ? a ,y ? ?b a 2 b2

所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x , y ) 在曲线上时,点

( x, ? y ) 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴 对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中
心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭 圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。 同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b ,

| OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c 2 ; c ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 , a 且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越 接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重 合,图形变为圆,方程为 x2 ? y 2 ? a2 。
2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是 双曲线 ( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在 0 ? 2a ?| F 1F 2 | 条件下; | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a 时为 双曲线的一支(含 F2 的一支) ; | PF2 | ? | PF ;② 1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F 1 的一支) 当 2a ?| F 1F 2 | 时 , || PF 1 | ? | PF2 ||? 2a 表 示 两 条 射 线 ; ③ 当 2a ?| F 1F 2 | 时 ,

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点, | F1F2 | 叫做焦距。
椭圆和双曲线比较: 椭 定义 方程
x y ? 2 ?1 2 a b
2 2 2


x y ? 2 ?1 2 b a
2


x2 y 2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
F (?c, 0) F (0, ?c)

F (?c, 0) F (0, ?c) 焦点 注意:如何有方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质
①范围:从标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 a2 b2 x ? ? a 的外侧。即 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。 x2 y2 ②对称性:双曲线 2 ? 2 ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲 a b x2 y2 线的对称轴,原点是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a b x2 y2 ③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 ? 2 ? 1 的方程里,对 a b 称轴是 x , y 轴,所以令 y ? 0 得 x ? ? a ,因此双曲线和 x 轴有两个交点 A (?a,0) A2 (a,0) ,
他们是双曲线

令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。 1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶 点分别是实轴的两个端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴: 线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双

x2 y2 ? ? 1 的顶点。 a2 b2

曲线的渐近线。从图上看,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 a2 b2

⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为 等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a ? b ,则等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上 ⑥注意

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相同,还 16 9 9 16

有焦点所在的坐标轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y 2 ? 2 px

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。
p ,0) ,它的准线方程 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 是x??

p ; 2

(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式: y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的图 形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
l
y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l

F

图形

o F
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0

x

F o

x

l

o

x

焦点坐标 准线方程

(?

范围 对称性 x轴 x轴 (0, 0) (0, 0) 顶点 e ?1 e ?1 离心率 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性 质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3) 注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离。

p , 0) 2 p x? 2 x?0

p (0, ) 2 p y?? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

四. 【典例解析】
题型 1:椭圆的概念及标准方程 例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是 (?4, 0) 、 (4, 0) ,椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于10 ; (2)两个焦点的坐标分别是 (0, ?2) 、 (0, 2) ,并且椭圆经过点 ( ? (3)焦点在 x 轴上, a : b ? 2 :1 , c ? b ; (4)焦点在 y 轴上, a ? b ? 5 ,且过点 (? 2,0) ; (5)焦距为 b , a ? b ? 1 ;
2 2

3 5 , ); 2 2

(6)椭圆经过两点 ( ?

3 5 , ) , ( 3, 5) 。 2 2

解析: (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,故设椭圆的标准方程为 ∵ 2a ? 10 , c ? 4 ,∴ b ? a ? c ? 9 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) , a 2 b2

所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 25 9

y 2 x2 (2)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) , a b
由椭圆的定义知,

3 5 3 5 3 1 2a ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2) 2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,
所以,椭圆的标准方程为 (3)∵ c ?
2 2

y 2 x2 ? ? 1。 10 6

6 ,∴ a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ,①
2 2

又由 a : b ? 2 :1 代入①得 4b ? b ? 6 , ∴ b ? 2 ,∴ a ? 8 ,又∵焦点在 x 轴上,

x2 y 2 ? ? 1。 所以,椭圆的标准方程为 8 2 y 2 x2 (4)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 ∴ 2 ? 1 ,∴ b ? 2 , b 2 2 2 又∵ a ? b ? 5 ,∴ a ? 3 , y 2 x2 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 3 2 (5)∵焦距为 6 ,∴ c ? 3 , 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 9 ,又∵ a ? b ? 1 ,∴ a ? 5 , b ? 4 , x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 或 ? ? 1. 所以,椭圆的标准方程为 25 16 25 16

(6)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( m, n ? 0 ) , m n

5 2 ? 3 2 ? (? 2 ) ( 2 ) ? ?1 ? 由? m 得 m ? 6, n ? 10 , n ?3 5 ? ? ?1 ?m n
所以,椭圆方程为

y 2 x2 ? ? ?1. 10 6

点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间 的关系 例 2. (1) (06 山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短 轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 。 (2) (06 天津理,8)椭圆的中心为点 E (?1 , 0) ,它的一个焦点为 F (?3, 0) ,相应于焦点

F 的准线方程为 x ? ?

7 ,则这个椭圆的方程是( 2



A.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

B.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

C.

D.

?b 2 ? 4 ? ? 2 y2 ?a ? 2b, c ? 2 3 ? ? ?a 2 ?16 ? x ? ?1 为所求; 解析: (1)已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? F ( ? 2 3,0) ? ? (2)椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), 7 ∴ 半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? . 2 2 2 a 5 ( x ? 1) ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y 2 ? 1 ,选 D。 ∴ c 2 5
点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型 2:椭圆的性质 例 3. (1) (06 山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相 应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为( (A) 2 (B) ) (C)

2 2

1 2

(D)

2 4

(2) (2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切, 2 a b

则该双曲线的离心率等于( A. 3 B.2

) C. 5
'

D. 6

【解析】设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y 由题意有

|x ? x0 ? 2 x0 .

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 x0
2

解得: x0 ? 1,? 【答案】C

b b ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a

点评:本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质。 例 4. (1) ( (2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l , 2
) D. 3

线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =( A.

2

B. 2

C. 3

【解析】 过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB , 故 | BM |? 【答案】A

2 2 2 2 ? ? .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? | AF |? 2 .故选 A 3 2 3 3

(2) (2009 浙江理)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该 a 2 b2
1 2
, 则双曲线的离心率是 ( D. 10 )

B ? B C 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C . 若A
A. 2 B. 3 C. 5

【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B , C ,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) 则有 ? a ? b a ? b a ? b a ? b ? ?
BC ? ( 2a 2b 2a 2b ab ? ? ab 2 2 , ? ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC,?4a ? b ,?e ? 5 . 2 2 2 2 a ?b a ?b ? a?b a ?b ?

【答案】C

题型 3:双曲线的方程

P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等 例 5. (1)已知焦点 F 1 (5,0), F 2 (?5,0) ,双曲线上的一点
于 6 ,求双曲线的标准方程; (2)求与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程; 25 5
9 4

(3) 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) , 求双曲线的标准方程。 解 析 :( 1 ) 因 为 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0b ,? 0 ) , a 2 b2 2 2 2 ∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b ? 5 ? 3 ? 16 。
所以所求双曲线的方程为 (2)椭圆

x2 y 2 ? ?1; 9 16

x2 y 2 ? ?1 的 焦 点 为 ( 2 5 , 0) 可 ?, ( 2 5, ,0 ) 以设双曲线的方程为 25 5

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 20 。 2 a b 18 2 又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 2 ? 2 ? 1 。 a b

x2 y2 ? ?1。 20 ? 2 10 2 10 点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量 a, b, c 之间的关系。
综上得, a ? 20 ? 2 10, b ? 2 10 ,所以
2 2

(3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a 2 b2 ∵点 P 1, P 2 在双曲线上,∴点 P 1, P 2 的坐标适合方程①。
? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 a b 9 ? 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) 4 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 1 ?1 ? 2 ? 1 1 ? a 16 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , a b ?1 ?1 ? ? b2 9 ? a 2 ? 16 y 2 x2 ? ? ?1。 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 16 9 ? ?b ? 9
点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a , b 的值;在求解的过
2 2

程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚 例 6.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,则 双曲线的标准方程是____________________. 解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚 轴长之比为 5 : 4 ,即 c : b ? 5 : 4 ,解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是

x2 y 2 ? ?1; 9 16

点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双 曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷 题型 4:双曲线的性质 例 7. (1) (2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 6 的是 2 A.

x2 y 2 ? ?1 2 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 C. x ? y ? 1

4

6

D. x ? y ? 1
4 10

2

2

【解析】由 e ? 【答案】B

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B. a 2 a 2 a 2 2

(2) (2009 江西卷文)设 F 1 和 F2 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 , a 2 b2

P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

【解析】由 tan 【答案】B

?
6

?

c c 3 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. ? a 2b 3

(3) (2009 天津卷文)设双曲线 双曲线的渐近线方程为( ) A. y ? ? 2 x B . y ? ?2 x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则 a2 b2

C.y ??

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

【解析】由已知得到 b ? 1, c ? 3, a ? 线方程为 y ? ?

c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐近

b 2 x?? x a 2

【答案】C 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理 能力。

例 8. (1)(2009 湖北卷理)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 2 2 4 b
)

y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是(
A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1? ?
2? ? 2 ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

? ?

? ? ?

【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A. 【答案】A

(2) (2009 四川卷文、理)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其 2 b2
)

一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =( A. -12 B. -2 C. 0 D. 4

【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x 2 ? y 2 ? 2 ,于是 两焦点坐标分别是(- 2 , 0 )和( 2 , 0 ) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) . 不妨去 P( 3,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1) , PF2 ? (2 ? 3,?1) .
∴ PF )(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0 1 · PF 2 = (?2 ? 3,?1 【答案】C

x2 y 2 (3) (2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率 a b

为 B.

3 的 直 线 交 C 于 A、B 两 点 , 若 A F ? 4 F B, 则 C 的 离 心 率 为
7 5
C.

(

A.

6 5

5 8

D.

9 5

【解析】 设双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , b2

BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为
60???BAD ? 60?,| AD |?
由双曲线的第二定义有

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角

1 | AB | , 2

1 1 1 | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 1 5 6 又 AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? . e 2 5
【答案】A 题型 5:抛物线方程 例 9. (1))焦点到准线的距离是 2; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0, ? 2),求它的标准方程 解析: (1)y =4x,y = ? 4x,x =4y,x = ? 4y;
2 2 2 2

方程是 x = ? 8y。 点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此只要 给出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给 定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的 标准方程就会有多解。 题型 6:抛物线的性质
2

例 10 . (1)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 ( ) A. ?2
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
D. 4

B. 2

C. ?4 ) (C) y ? ?2

(2)抛物线 y ? 8x 的准线方程是( (A) x ? ?2 (B)

x ? ?4
2

(D) y ? ?4 ) D. (- 4,0)

(3) (2009 湖南卷文)抛物线 y ? ?8x 的焦点坐标是( A. (2,0) B. (- 2,0) C. (4,0)

解析: (1)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 (2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为 (2,0),则 6 2

p ? 4 ,故选 D;
(2)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A; (3) 【解析】由 y 2 ? ?8x ,易知焦点坐标是 (?

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B. 2

【答案】B 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例 11. (1) (全国卷 I) 抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 ( ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

(2)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 。 2 (3)对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ] C.[0,2] D.(0,2)

能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是
2

. (要求填写合适条件的序号)

解析: (1)设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m2),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为

| 4m ? 3m2 ? 8 | 2 4 ,当 m= 时,取得最小值为 ,选 A; 3 3 5
(2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B

y 解析:设点 Q 的坐标为( 0 ,y0) , 4
由 |PQ|≥|a|,得 y02+(

2

y0 -a)2≥a2. 4

2

整理,得:y02(y02+16-8a)≥0, ∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0.

y y 即 a≤2+ 0 恒成立.而 2+ 0 的最小值为 2. 8 8
∴a≤2.选 B。 点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

2

2

五. 【思维总结】
在复习过程中抓住以下几点: (1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》 . 并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大多

数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键; (2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物 线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心 率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算; (3)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) ,F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦 半径公式分别为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2


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