当前位置:首页 >> 政史地 >>

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试


第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
一、选择题 1、等差数列的第 p 项是 1990,第 1990 项是 p,那么第 p + q(q ≥ 1991)项( (A)是正数 2、设 S k = (B)是负数 (C)是零 ) (D)符号不能确定 )

1 1 1 + + ? + ,则( k ?1 k ? 2 2k 1 2k ? 2 1 1 – 2k

? 1 2 k ? 2


(A)S k + 1 = S k + (C)S k + 1 = S k +

(B)S k + 1 = S k + (D)S k + 1 = S k –

1 1 + 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 + 2k ? 1 2 k ? 2

3、函数 y = (2 ? x)(6 ? x) ( (A)有最小值没有最大值 (C)有最小值也有最大值

(B)有最大值没有最小值 (D)没有最小值也没有最大值 )

4、a,b∈ R,那么| a + b | = | a | – | b |是 a b ≤ 0 的(

(A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)不充分也不必要条件 5、α ≠

k? ? ( k∈Z ),那么 sec α 与 sin 2 α tan 的符号(指正负号) ( 2 2
(B)总是相异



(A)总是相同

(C)在第一、三象限时,它们同号,在第二、四象限时,它们异号 (D)在第一、三象限时,它们异号,在第二、四象限时,它们同号 6、正四面体内切球的体积是 V,则它的外接球的体积是( (A)8V (B)27V (C)64V ) (D)4V

7、一个平面最多把空间分为两部分,两个平面最多把空间分为四部分,三个平面最多把空间分 为八部分,那么,四个平面最多把空间分成( (A)16 部分 8、设 a = arcsin ( sin (A)a > b > c (B)14 部分 ) (D)20 部分 )

(C)15 部分

1 1 1 ),b = arccos ( – ),c = arcsin ( – ),则( 7 7 7
(B)b > a > c (C)c > a > b )

(D)b > c > a

9、方程 arccot x + arcsin x = π 的实数根的个数是( (A)0 10、在四个数 arctan 等的个数是( (A)0 ) (B)1 (C)2 (B)1 (C)2

(D)3

2 6 1 2 2 3 ,arccos , arcsin ,2 arctan ( 2 + 3 )中,与 arcsin 数值相 2 2 3 3 3

(D)3

二、填空题 11、方程 arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =

? 的解集是 2

。 。

12、与直线 x + 2 y – 3 = 0 关于直线 x = a(a 为常数)对称的直线的方程是

13、若平面内的动点 P 到定点 F( 1,0 )的距离比点 P 到 y 轴的距离多 1,则动点 P 的轨迹方程 是 。 。 。

14、函数 y = 2 – 3 4 x ? x2 ? 3 ( x∈ [ 1,2 ] )的反函数为 y = f ( x ),则 f [ f ( – 1 ) ] = 15、 A, B, C 是三角形的三个内角, 那么 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 4 cos A cos B cos C =

16、坐标平面内有两个圆 x 2 + y 2 = 16 和 x 2 + y 2 – 6 x + 8 y + 24 = 0,这两个圆的内公切线的方 程是 。

17、棱长为 1 的正方体 ABCD – A1B1C1D1 中,P 在线段 AC 内,CP = 1,则直线 AD 和 C1P 所成 的角的弧度值是 。 。 。

18、不等式 1 ? x2 ≥ x + t 的解集是空集,则实数 t 的取值范围(用区间形式)是 19、 数列{ a n }中, 若 a 1 = – 1, a 2 = 2, a n + 1 – a n – a n + 2 = 0, 则数列的前 1990 项的和等于 20、若 x,y > 0,且 x + 2 y = 1,则( x +

1 1 )(y+ )的最小值是 x 4y



答案:一、B、C、C、B、A、B、C、B、A、D;

? + k π 且 k∈ Z };12、x – 2 y – 2 a + 3 = 0;13、y 2 = 2 x – 1;14、1;15、– 1; 4 ? 25 16、3 x – 4 y – 20 = 0;17、 ;18、( – ∞,1 – 2 )∪( 2 + 1,+ ∞ );19、5;20、 。
二、11、{ x | x =

3

8

简解:1、d = – 1;5、sin 2 α tan

6 ? ? = 4 sin 2 cos α;6、AF = a, 2 2 3

A

AO =

6 6 ? a,OF = OG = a;8、b > > a > 0 > c; 2 4 12

O B F 第 6题图 C
B1 A1 B

G E

D

2 6 17、CC1 = CP = 1,C1P = 2 ,PQ = CQ = ,C1Q = ; 2 2
? 1? t ? 2tx ? 1 ? t 2 ? x? , 若 t > 0, 则有 ? 2t 无解, ? 2 ? ?1 ? x ? 0 ??1 ? x ? 1 ?
2

C1 D1

18、 1 ? x2 ≥ x + t ? ?

1? t 则 < – 1, ∴ t 2 – 2 t – 1 > 0, ∴ t < 1 – 2(舍去) 或t>1+ 2; 2t
2

P D

C Q

A 第 17题图

? 1? t2 1? t2 x ? ? 若 t < 0,则有 ? > 1,∴ t 2 – 2 t – 1 > 0,∴ t < 1 – 2 或 t > 1 + 2 (舍 2t 无解,则 2t ??1 ? x ? 1 ?
去) ; 19、– 1,2,3,1,– 2,– 3,– 1,2,3,? 20、2 x y ≤ (

x ? 2y 2 1 1 ) = ,x y ≤ , 2 4 8

1 ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 x 2 y 2 1 ? 1 ? 4 xy ? 4 x 2 y 2 1 ? (1 ? 2 xy)2 1 ? (1 ? 4 ) 25 1 1 (x+ )(y+ )= = = ≥ = 。 1 x 8 4y 4 xy 4 xy 4 xy
2

1

2

第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1991 年 3 月 17 日 上午 8:30—10:00 一、选择题 1、条件“AB ≠ 0 或 C = 0”是直线 A x + B y + C = 0 与两条坐标轴都有交点的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)以上都不对 )

1 2、如果 sin θ + cos θ = ,且 0 < θ < π,则 tan θ 的值是( 5
(A)–



4 3

(B)–

3 4

(C)

4 3

(D)

3 4

3、设集合 P = { x,1 },Q = { y,1,2 },其中 x,y∈ { 1,2,?,9 },且 P ? Q。将满足这些条 件的每一个有序整数对(x,y)看作一个点,这样的点的数目是( (A)9 (B)14 (C)15 ) (D)21

4、圆台上底面积为 1,下底面积为 16,用一个平行于底面的平面截这个圆台,该平面到上底面 的距离是它到下底面距离的 2 倍,则这个截面的面积是( (A)4 5、函数 y = arctan (B)9 (C) ) (D)

5 2

25 4

1 的值域是( ) x ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A)( – , ) (B)( 0, ) (C)( – ,– )∪( 0, ) (D)( – ,– ]∪( 0, ) 2 2 2 2 4 2 2 4 2
2

6、函数 f ( x ) = a sin x + b 的最大值是 1,最小值是– 7,则 b sin 2 x – a cos 2 x 的最大值是( (A)5 或 4 (B)4 或– 5 (C)4 或– 3 ) (D)±lg a (D)5 或– 3



7、若 a 是大于 1 的常数,则 x lg x = a 的全部实根之积是( (A)1 (B)±1 (C)lg 2 a

8、函数 y = f ( x )有反函数,把它的图像绕原点在两坐标轴所在平面内按逆时针方向旋转 90?,新

的图像所表示的函数是( (A)y = – f – 1 ( – x )

) (B)y = – f – 1 ( x ) (C)y = f – 1 ( x ) (D)y = f – 1 ( – x )

9、在半径为 1 的球体外面均匀的包上一层球壳行“外衣” ,若“外衣”的体积与球的体积相等, 则球壳“外衣”的厚度是( (A) 3 3 – 1 ) (C) 3 2 (D) 3 2 – 1 )

(B) 3 3

10、用一个与圆台上、下底面都相交的平面截圆台,所得的截面图形是( (A)等腰梯形 (B)矩形 (C)等腰梯形或等腰三角形

(D)可能是曲边图形 )

11、 曲线 C 1: x 2 – y 2 + 4 y – 3 = 0 与曲线 C 2: y=ax2 (a 是大于 0 的常数) 的交点个数是 ( (A)2 (B)4 (C)6 (D)不确定

12、当 n ≥ 1000 时,f ( n ) = n – 3,当 n < 1000 时,f ( n ) = f [ f ( n + 7 ) ],则 f ( 90 )的值是( (A)997 (B)998 (C)999 (D)1000



13、底面半径为 1 的直圆柱被一个平面所截,截面形状为椭圆,该椭圆的离心率为 面与圆柱底面所成的锐角是( (A) ) (C)arccos ) (B)( – ∞,– 2 ]∪[ 2,+ ∞ ) (D)( – ∞,– 2 ]∪( 2,+ ∞ )

5 ,这个截 3
1 3

? 4

(B)

? 3

2 3

(D)arccos

14、log x y + log y x 的取值范围是( (A)( – ∞,+ ∞ ) (C)( – ∞,– 2 )∪[ 2,+ ∞ )

1 15、0 < α,β,γ < 1,f ( α,β,γ ) = ( α + β + γ ),设 ω = sin f ( α,β,γ ),t = f ( sin α,sin β,sin 3
γ ),x = f ( α,β,γ ),y = f ( arcsin α,arcsin β,arcsin γ ),z = arcsin f ( α,β,γ ),则( )

(A)x > y > z > ω > t (B)y > z > x > ω > t (C)z > y > ω > t > x (D)t > ω > z > y > x 二、填空题 16、关于 x 的不等式 log a x > 1( a > 0,a ≠ 1)的解是 17、如果不等式 x > 。 。

a 的解集是正实数集,那么实数 a 的取值范围是 x


18、arcsin (cos x ) = π – x,则 x =

19、在数列{ a n }中,若 a 1 = 1,a 2 = 2,a n + 2 = a n + a n + 1(n∈N*) ,则数列中与 1991 最接近 的那一项的数值是 。

20、 数列{ a n }是首项为 a, 公差为 d 的等差数列, 按下列加括号的方式分成群: (a 1) , (a 2, a 3) , (a 4,a 5,a 6,a 7) ,?,各群所含的项的数目顺次成公比为 2 的等比数列,试用 a,d,n 表示

第 n 群各元素的和 21、与曲线 x 是
2


2

–y 。

–4mx+4ny=1+4n

2

– 4 m 2 关于点(m,n)对称的曲线的轨迹方程

22、由( – 1,– 1 )向曲线 x 2 + 4 y 2 – 2 x + 16 y + 13 = 0 作切线,切线方程是



23、木球浮在第一种液体中时,球心与液面的距离为 2,液面与球面相交形成一个圆,当这只木 球浮在第二种液体中时,球心与液面的距离为 3,液面与球面相交形成另一个圆。则这两个圆的 面积差的绝对值是 。 。

24、函数 f ( x )具有性质:f ( log 1 x ) = 2 x, 则数列{ f ( n – 1 )}, (n∈N*)的所有项之和是
2

25、f ( x )是奇函数,当 x ≥ 2 时,函数表达式为 f ( x ) = x 2 – 5 x + 4,则 x ≤ – 3 时的函数的表达 式是 。 。

26、函数 y = 3 x – 4 cos ( arcsin x ),( – 1 < x < 1 )的最小值是 27、由函数 y = 2 sin 3 x ( 形的面积是

? 5? ≤x≤ )与函数 y = 2(x∈ R)的图象围成一个封闭图形,这个封闭图 6 6
。 。 。

28、log x 3 < 2 的解集(区间)是

29、方程 arctan ( tan x ) = arctan ( cot x ) 的解集(区间)是

30、设全集 I = { ( x,y ) | x,y∈ R },则集合 A = { ( x,y ) | x cos θ + y sin θ – 1 = 0,x,y,θ∈ R} 的补集是 。

答案:一、C、A、B、B、D、C、A、D、D、D、B、C、C、B、B; 二、16、 ?

?0 ? x ? a (0 ? a ? 1) 5? ;17、a ≤ 0;18、 ;19、1597;20、2 n – 1 a + ( 3 2 n – 3 – 2 n – 2 ) d; 4 (a ? 1) ?x ? a

21、x 2 – y 2 = 1;22、x = – 1 或 5 x – 6 y – 1 = 0;23、5 π;24、4;25、f ( x ) = – x 2 – 5 x – 4; 26、– 5;27、 y∈ R }。 简解:3、 (2,3) ,?, (2,9) , (3,3) ,?, (9,9) ;5、 7、 a = ±4, b = – 3; 8、 y = f ( x ) ????? y = f – 1 ( x )

4? ? ;28、( 0,1 )∪( 4 3 ,+ ∞ );29、x = k π ± ;30、{ ( x,y ) | x 2 + y 2 < 1,x, 3 4

1 1 >0或 2 ≤ – 1; x ?1 x ?1
2

y? x

???? ?–

x轴

y = f –1 ( x )

????? ?

原点

y = f – 1 ( – x );

12、f ( 1000 ) = 997,f 2 ( 1000 ) = f 2 ( 1004 ) = f ( 1001 ) = 998, f 3 ( 1000 ) = f 2 ( 1005 ) = f ( 1002 ) = 999, f 4 ( 1000 ) = f 2 ( 1006 ) = f ( 1003 ) = 1000,f 5 ( 1000 ) = f ( 1000 ),

第 13题图

f ( 90 ) = f 2 ( 90 + 7 ) = f 3 ( 90 + 7 ×2 ) = f 131 ( 90 + 7 ×130 ) = f 131 ( 1000 ) = f 3 ( 1000 ) = 999;13、 b = 1,a =

3 2 ? ,cosθ = ; 18、cos x = sin ( π – x ) = sin x,– < π – x 2 3 2

? ? 3? < , <x< ;19、1597 = a 16; 2 2 2
24、f ( x ) =

y
? 2

2 2 ,a n = f ( n – 1 ) = n ?1 ,S = lim S n = lim x n?? n?? 2 2

2(1 ?

1 ) 2n = 1 1? 2

O

? 6

5? 6

x

4 ? ? ? 4;26、y = 3 sin α – 4 cos α,α = arcsin – ,– < α < ; 29、tan 5 2 2 2
x = cot x;30、θ 变化,而原点到直线的距离是 1。

第 27题图

第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1992 年 3 月 15 日 上午 8:30—10:00 一、选择题

3 ? 1、平面直角坐标系内有点 A ( ,– 1 ),B ( lg 0.1,cos ( – ) ),则线段 AB 的中点在( 2 3
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限



2、 在棱长为 1 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中, E 为 DD1 上一点, F 为 B1C1 上一点, 则四面体 AA1EF 的体积是( (A) ) (B)

1 4

1 6

(C)

1 8

(D)

1 12

3、已知 0 < x < 1,0 < y < 1,x ≠ y,设 a = d 中一定是( )

x2 ? y 2 x? y ,b = ,c = x y,d = xy ,则在 a,b,c, 2 2

(A)a 最大,d 最小 (B)b 最大,c 最小 (C)b 最大,d 最小 (D)d 最大,a 最小 4、若 sin α + sin β = 1,则 cos α + cos β 的最大值是( (A)1 (B) 2 (C) 3 ) (D)2

5、关于 x,y 的方程 x 2 + y 2 + k x + 2 y + k 2 = 0 在平面直角坐标系中的图形是个圆,当这个圆取 最大面积时,圆心的坐标是( (A)( 0,– 1 ) 6、设 α = arccos (A)β < γ < α ) (C)( 1,– 1 ) (D)( – 1,1 ) ) (D)α < β < γ

(B)( – 1,0 )

1991 1991 1 ,β = arccos ,γ = arcsin ,则( 1992 1992 2000
(B)γ < α < β (C)γ < β < α

7、关于 x 的不等式( x 2 – 2 ) log 1 x > 0 的解集是(
5



(A)( – ∞,– 2 )∪( 2 ,+ ∞ ) (B)( 0,1 )∪( 2 ,+ ∞ ) (C)( 1, 2 ) (D)空集 8、三个不同的实数 a,b,c 成等差数列,a,c,b 成等比数列,则 (A)– 2 (B)2 (C)– 4

a 等于( b
(D)4 )



9、关于 x 的方程 2 a sin x = 1 + a 2 有实数解,那么实数 a 的取值范围是(

(A)大于– 1 的实数 (B)大于 1 的实数 (C)大于– 1 且小于 1 的实数 (D)– 1 或 1 10、正方体 ABCD–A1B1C1D1 中,M 为 A1B1 中点,N 为 BB1 中点,则异面直线 AM 与 CN 所成 的角的余弦值等于( (A) ) (B)

1 2

3 3

(C)

2 5

(D)

3 4

二、填空题 11、若

1 1 1 1991 1 + + + ? + = ,则自然数 n = 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) 1992
。 。 。



12、不等式 2 x ? 4 > x + 1 的解集是 13、方程 3 cos x + 4 sin x = 6 的解集是 14、sec

1991? 323? 与 sin 的等比中项是 4 4

15、点 A ( 3,– 2 )关于直线 2 x – y – 1 = 0 的对称点 B 的坐标是 16、棱长为 2 的正四面体内任意点到四面体四个面的距离的和等于

。 。 。

17、从点( 4,3 )向圆( x – 2 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 作切线,则过两个切点的直线方程是

18、函数 f ( x ),g ( x )的定义域为 R,且 f ( x ) ≥ 0 的解集为{ x | 1 ≤ x < 2 },g ( x ) ≥ 0 的解集为 空集,则不等式 f ( x ) g ( x ) > 0 的解集为 。 。 。

19、△ABC 的三条边 a,b,c 成等差数列,则∠B 的最大值是 20、定义在实数上的函数 f ( x ) = x2 ? 3x ? 3 + x2 ? 3x ? 3 的最小值是 答案:一、D、B、B、C、A、C、C、D、D、C; 二、11、1991;12、{ x | – 2 ≤ x < 3 };13、Φ;14、±1;15、( –

13 4 2 3 , );16、 ; 5 5 3

17、2x + 2 y – 7 = 0;18、{ x | x < 1 或 x ≥ 2 };19、60?;20、2 3 。 简解:3、b > a > c,b > d > c; 4、1 + ( cos α + cos β ) = ( sin α + sin β ) + ( cos α + cos β ) = 2 + 2 cos (α – β ),∴( cos α + cos β ) 2 = 1 + 2 cos (α – β ) ≤ 3;
2 2 2

D1 A1 F N G A E D B 第 10题图 M B1

C1

C

17、A ( 4,3 ),C ( 2,1 ),k AC = 1,AC⊥MN,k MN = – 1, 设 MN:x + y + b = 0,AC = 2 2 ,CN = 1,CB = 即 C 到 MN 的距离为

2 , 4

7 5 2 | 2 ?1? b | 2 , = ,b = – 或– (舍去) ; 2 2 4 4 2

19、设公差为 d,d ≥ 0,

d 2 (b ? d )2 ? (b ? d )2 ? b2 1 ? 2( b ) 则设 y = cos B = = , d 2 2(b2 ? d 2 ) 2(1 ? ( ) ) b
则( ) =

y M B C O 第 17题图 N

A

d b

2

1 2y ?1 ≥ 0,∴y = cos B ≥ ,∴B ≤ 60?; 2 2y ? 2

x

2 20、f ( x ) = ( x ? ) ? (

3 2

3 2 3 3 ) + ( x ? ) 2 ? ( ) 2 ,即可以看作是 x 轴上的点( – x,0 )到两点 2 2 2

3 3 3 3 A ( ,– ),B ( – , )的距离和。 2 2 2 2

第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1993 年 3 月 21 日 上午 8:30—10:00 一、选择题 1、若 cos x,sin x,1 这三个数成等比数列,则角 x 的终边在( )

(A)第 1 或第 2 象限 (B)第 2 或第 3 象限 (C)第 3 或第 4 象限 (D)第 1 或第 4 象限 2、以 a,b,c 分别表示 2 300,3 200,6 100,那么( (A)c < b < a (B)b < c < a ) (D)a < b < c

(C)c < a < b

3、设平面直角坐标系内的点 P 的坐标 ( x,y ) 使:0,log 2 ( 1 – y ),log 2 ( x + 3 )成等差数列, 则点 P 的轨迹是( )

y

y

y

y

1 ?3

1

1

1

O ( A)

x

?3

O ( B)

x

?3

O ( C)

x

?3

O ( D)


x

4、四棱锥的各侧面与底面所成的二面角的大小都相同,则这个棱锥的底面是( (A)圆内接四边形 (B)圆外切四边形 (C)菱形

(D)正方形

5、函数 y = f ( x ) 的图象与直线 x = 1 的交点的个数是( (A)1 (B)0 或 1 (C)0

) (D)1 或 2

1 1 1 6、当 n 为任意自然数时,S n = + + ? + 2 的值( ) 4n ? 1 3 15 1 1 (A)恒小于 (B)不小于 (C)能够达到 1 2 2
7、若 log a 2 < log b 2 < 0 < log x 2 < log y 2,则( (A)0 < a < b < 1 < x < y (C)1 < a < b < x < y 8、适合 x 1992 > 6 3220 的最小的自然数是( (A)19 (B)20 )

(D)可以超过 1

(B)0 < b < a < 1 < y < x (D)1 < b < a < y < x ) (C)21 (D)22

2 a 的解集是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (A)[ – a, a ] (B)[ – a, a ) (C)[ a,– a ] (D)[ a,– a) 2 2 2 2 2 2 2 2
9、已知 a < 0,则不等式 a2 ? 2 x2 > x + 10、设 θ∈ R 且使 3 sin θ – log 1 x = 1,则 arctan
2

1 的值域是( x



(A) (

16 1 1 ? ? 1 1 , ) (B)[ arctan ,arccos ] (C)[ arccos ,arccos ] (D)[ ,2 ] 12 4 4 3 17 5 5
3? ,则 arcsin [ sin ( – α ) ]可以简化为( 2
(B)α (C)π – α ) (D)α – π )

11、设 π < α < (A)– α

12、实数 x,y 适合方程 x 2 + y 2 – 6 x = 0,则 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 的值域是( (A)[ 5 , 53 ] (B)[ 5,53 ] (C)[ 4,+ ∞ )

(D)[ 5, 53 ] )

13、设集合 M = { y | x – y 2 = 1,x,y∈ R },N = { y | x – y = 1,x,y∈ R },则 M∩N 是(

(A){ ( x,y ) | ( 1,0 ) }(B){ ( x,y ) | ( 2,1 ) }(C){ ( x,y ) | ( 1,0 ),( 2,1 ) }(D)R 14、某球的大圆方程为 x 2 + y 2 + x + y – sin α cos α = 0,其中 α ∈ R,则此球的体积的取值范围是 ( )

(A)( 0,

? ] 6
1 2

(B)( 0,

2? ] 4

(C)( 0,

4? ) 3

(D)( 0,

4? ] 3

15、在曲线 y = x 上有横坐标依次为 1,x,4 的三个点 A,B,C,1< x < 4,当△ ABC 的面积最 大时,x 的值是( )

(A)

3 2

(B)

9 4

(C)2

(D)

5 2

二、填空题: 16、若函数 y = a sin ( b x + c ), (a ≠ 0,b ≠ 0,a,b,c 都是常数) ,则 y 的周期是 17、在已知圆内, 2 弧度的圆心角所对的弦长是 sin 2 ,则该角所对的弧长是 18、若角 x 在区间( 。 。 。

sin 2 x ? cos 2 x ? ,π )上,并且满足方程 = 2,则角 x 的值是 2 1 ? sin 2 x ? 2 cos 2 x
。 。

19、等差数列的 S 10 = 20,S 20 = 60,则 S 30 的值是 20、点 P 在有向线段 AB 的反向延长线上,设

AP = λ,则 λ 的取值范围是 PB

21、对于任意的 a∈ R,曲线系 a x 2 – 2 x y – a x – y – 2 a + 1 = 0 的所有曲线都经过两个定点,这 两个定点的坐标是 。

22、设 α = arctan x,β = arctan y,tan ( α – β ) = 1,则满足上述条件的有序整数对( x,y )的数目 是 。

23、将正方体的中心同八个顶点相连,得到八条连线,以每条连线为棱,得到若干个二面角,每 个二面角的大小是 24、M 是椭圆 。

x2 y2 + = 1(0 < b < a)上短轴端点以外的一点,M 与短轴两端的连线交 x 轴于 P, a2 b2
。 。 数

Q,O 是坐标原点,则| OP ? OQ |的值是

25、设 θ∈ R,则函数 f ( θ ) = sin θ – cos θ + sin θ ? cos θ 的值域是

3 1 3 26、 设数列{ a n }满足: a1= , a n + 1 = a n 2 + (n∈ N*) , 则从单调性来看, 这个数列是 8 8 8
列。 27、将 sin 4 θ +

sin 4 2? sin 4 4? sin 4 8? + + 化简,得到 4 16 64
?
2



28、点 P 的坐标 ( x,y ) 满足条件:arctan x – arctan y = 29、函数 f ( x ) = x2 ? 6x ? 10 + x2 ? 4 的最小值是

,则点 P 的运动轨迹是 。



30、F1,F2 是椭圆的焦点,P 是椭圆上的一点,且? F1PF2 = 90?,则△ F1PF2 的面积是 答案:一、D、C、D、B、B、A、B、B、D、B、D、A、D、D、B; 二、16、



1 2 17 2? ;17、 2 cos ;18、π + ( arcsin – arctan 4 );19、120;20、– 1 < λ < 0; 2 2 17 |b|

1 ? 2? 1 21、( – 1,– 1 ),( 2, );22、4;23、 或 ;24、a 2;25、[ – 2 – ,1 ];26、增; 5 3 2 3
27、sin 2 θ – ( 简解:6、

sin16? 2 ) ;28、x y = – 1(x > 0) ;29、3 2 ;30、b 2。 16

1 1 1 1 1 1 1 1 n [(1– )+( – )+ ? +( – )]= (1– )= ; 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

7、

1 1 1 1 1 1 1 < <0< < ;8、x 3 > 6 5 = 7776;10、– 4 < log 1 x < 2, < x < 16, < < 2; 4 4 lg a lg b lg x lg y x 2

12、y 2 = 6 x – x 2 ≥ 0,0 ≤ x ≤ 6,则 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 = x2 ? 2 x ? 5 为增函数;

y B A O 1 E C D x
β α

y M O Q P x

x 4 第 15题图

第 23题图

第 24题图

14、r = =

1 (1 ? sin 2? ) ≤ 1;15、S △ ABC = S △ ABE + S BCDE – S △ ACD 2

1 1 3 1 1 3 1 (x–1)( x–1)+ x(4–x)– =– [( x)2–3 x+2]=– ( x– )2+ ; 2 2 2 2 2 2 8 x? y 22、 = 1,( x + 1 ) ( y – 1 ) = – 2,( 0,– 1 ),( 1,0 ),( – 2,3 ),( – 3,2 ); 1 ? xy
24、设 M ( m,n ),则 P (
2 2

mb mb ,0 ),Q ( ,0 ), b?n b?n

y
2 1

| OP ? OQ | =

mb = a 2, m 2 b 2 + n 2 a 2 = a 2 b 2; 2 2 b ?n

O
?1

1

2

3

x

25、令 t = sin θ – cos θ,则– 2 ≤ t ≤ 2 , 且f(θ)=–

第 29题图
y

1 2 1 1 t + t + = – ( t – 1 ) 2 + 1; 2 2 2 y y ? = – 1, x?c x?c

P

30、设 P ( x,y ),则 k PF1 ? k PF2 =
2 2 2 2 2 2 2 2

b4 x + y = c ,b x + a y = a b ,y = 2 , c
2 2

F1 O

F2

x

第 30题图

b 1 S = × 2 c × = b 2; 2 c

2

第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试

1994 年 3 月 20 日 上午 8:30—10:00 一、选择题 1、互不相等的三个正数 a,b,c 依次成等比数列,则 lg a,lg b,lg c( (A)成等比数列而不成等差数列 (C)既成等比数列也成等差数列 2、已知 )

(B)成等差数列而不成等比数列 (D)既不成等比数列也不成等差数列 ) (D)b < c < a

? ? < x < ,设 a = 2 1 – sin x,b = 2 cos x,c = 2 tan x,则( 4 2
(B)b < a < c (C)c < a < b )

(A)a < b < c

3、不等式 arccos x < arccos ( 2 x – 1 ) 的一个解是( (A)–

1 2

(B)

1 2

(C)1

(D)– 1

4、如果函数 f ( x )是奇函数,那么 f ( x ) – f ( – x ),f [ f ( x ) ],f 2 ( x ), 个数是( (A)1 ) (B)2 (C)3

f ( x) 中一定是奇函数的

(D)4

5、记 S i = 1 i + 2 i + 3 i + ? + n i, (i = 1,2,3)那么使 S 1,S 2,S 3 成等差数列的自然数 n 的 值( ) (B)有且仅有 1 个 (C)有且仅有 2 个 (D)有无数多个 ) (D)[ 0,

(A)不存在

6、直线 y = k x – 1 与曲线 y = – 1 ? ( x ? 2) 2 有交点,则 k 的取值范围是( (A)[ 0,1 ]

1 (B)[ 0, ] 3

1 (C)[ ,1 ] 3

4 ] 3

7、D,E 分别是正四面体 V – ABC 中棱 AB,AC 的三等分点,AD : DB = AE : EC = 2 : 1,则通 过 D,E 且平行于 VA 的截面是( (A)正方形 ) (C)菱形但不是矩形

(B)矩形但不是菱形

(D)平行四边形但不是矩形也不是菱形 8、直线 x = 6 与半抛物线 y = 6 x 交于 A 点,l 是过此抛物线焦点 F 的直线,以 x 轴为棱,将坐 标平面折成 60?的二面角,此时点 A 在另一个半平面内的射影 B 恰在直线 l 上,则直线 l 的倾斜 角是( )

(A)arctan

2 3

(B)arctan ( –

2 ) 3

(C)π – arctan

2 3

(D)π – arccos

2 3

9、设 α∈ R,且 α ≠ 是( )

k? (k∈ Z) ,则关于 x,y 的方程 x 2 + ( sin 2 α – 1 ) y 2 – 2 x + 1 = 0 表示的曲线 2

(A)圆

(B)椭圆

(C)双曲线

(D)两条直线

10、已知曲线 C:x 2 +

( y ? 3) 2 = 1,曲线 C'与 C 关于直线 y = x 对称,那么 C 与 C'上的动点 P 2
) (B)2 3 (C) 6 – 2 (D)0

与 Q 间的最短距离是( (A)2 2 二、A 组填空题

11、一个平面与直圆柱面的交线是离心率为 角等于 。

1 的椭圆,则该平面与圆柱底面所成的二面角的锐 3

12、已知曲线 C:( y – 2 ) 2 = 1 – x,曲线 C'与 C 关于点 M ( – 1,1 )成中心对称,则 C 与 C'的交 点个数是 13、当 。 。 。 。 。 。 。

? ? ≤ x ≤ 时,函数 y = tan x + cot x 的最大值是 4 3
2

14、在 3, 5

, 2

5

三个数中,最小的是

15、不等式 2 x ? 2 > x – 1 的解集是 16、将圆 x 2 + y 2 – x +3 y –

5 1 ? = 0 绕直线 x = 旋转 弧度,所得旋转体的表面积是 2 2 5
2

17、使关于 x 的方程 sin x = log 1 ( 2 a 3 – 3 ) 有解的实数 a 的取值范围是 18、使

1 1 995 1 + + ? + > 成立的最小的自然数是 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 1994


19、与四面体 ABCD 的四个顶点等距离的平面的个数是

20、△ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列,2 A,2 B,2 C 的正割也成等差数列,则 cos ( 2 B – 2 A )的值等于 三、B 组填空题 21、函数 y = – 2 x2 ? 4 x 的图像是(用语言描述) 22、设 f ( x ) = 。 。 。

( 2) x ? 1 n ,则适合 f ( n ) > 的最小的自然数是 x n ?1 ( 2) ? 1


23、方程 x lg 3 x – 5 lg x = 0.0001 的解集是

24、在平面直角坐标系内,曲线 log x y = log y x 与直线 x – 2 y + 1 = 0 的交点的个数是 25、设函数 f ( x ) = A sin ( ω x + φ )(A > 0,φ > 0) ,则 f ( 0 ) = 0 是 f ( x )为奇函数的

。 条件。

26、 设三角形的三条边的长度分别是 x, y, x 2 ? xy ? y 2 , 则最大边与最小边的夹角 θ = 27、已知 a,b 为不相等的正数,且 b = 列,应是 。



a?3 a?b ,将 3 ,a,b, 四个数按从小到大的顺序排 2 a ?1

28、 在数列{ a n }中, a 1 = 13, a 2 = 56, 对所有自然数 n, 都有 a n + 1 = a n + a n + 2, 则 a 1994 =



29、三棱锥 O – ABC 的锥顶在半径为 6 的球 O 的球心,其余各顶点在球 O 的表面上,三棱锥的 高为 3,则此三棱锥体积 V 的最大值是 。 。

30、球冠与它所在的球的面积之比为 1 : 8,则球冠轴截面的弧所对的中心角等于 答案:一、B、A、B、B、B、A、B、C、D、D; 二、11、arccos

6 4 3 ;12、0;13、 ;14、 2 3 3

5

;15、– 1 ≤ x < 2 + 5 ;16、14 π;

17、 3

7 5 3 ≤ a ≤ 3 ;18、249;19、4;20、1 或– ; 4 4 2

三、21、以( 1,0 )为中心,以( 1 ± 3 ,0 )为焦点的双曲线在 x 轴下边的部分;22、9;

1 1 1 81 3 , ,10,100 };24、0;25、充要;26、60?; 28、56;29、 ;30、arccos 。 100 10 8 4 a?b a?b a?b 27、1 < b < 3 < <a或a< 3< <b<1+ 2或a< < 3 < 1 + 2 < b < 3; 2 2 2
23、{ 简解:2、1 – sin x < cos x < 1 < tan x; 3、由– 1 ≤ 2 x – 1 ≤ 1,且 x > 2 x – 1,得 0 ≤ x < 1; 5、S 1 =
2

y

n(n ? 1) n(n ? 1)(2n ? 1) ,S 2 = , 2 6
2

O 第 6题图

x

S 3=

n (n ? 1) 2 ,n = 1 或 (舍去) ; 3 4
1 ,x∈ [ 1, 3 ]单调递增; x
1 1 1

13、y = x + 14、 2
5

=(2

5

) 2 < ( 2 3 ) 2 < ( 3 2 ) 2 = 3, 2

5

1

1

=(2

5

)2 <(2

2 2

)2 =2

2

< 5

2



? 1 1 995 1 2 995 16、S = 4 π R 2 × 5 × 2 + π R 2 × 2;18、 ( 1 – )> , < ,n > ; 2 2 n ? 1 2 n ? 1 997 4 1994 2?
20、A + C = 2 B = 120?,

1 1 2 + = = – 4,cos 2 A + cos 2 C = – 4 cos 2 A cos 2 C, cos 2A cos 2C cos 2B

2 cos 2 B cos ( A – C ) = – 2 [ cos 4 B + cos 2 ( A – C ) ],– cos ( A – C ) = 1 – 2 cos 2 ( A – C ), 4 cos 2 ( A – C ) – cos ( A – C ) – 3 = 0,cos ( 2 B – 2 A ) = cos ( A – C ) = 1 或 –

3 ; 4

22、f ( n ) = 1 –

2 n > ,( 2 ) n > 2 n + 1;28、a n + 6 = a n; n ( 2) ? 1 n ? 1

1 3 3 2 81 3 81 3 r = ,V = S h ≤ ; 3 4 4 4 1 3 ? 3 ? 1 30、S 球冠 = 2 π R h,S 球 = 4 π R 2,h = R,h ' = R,cos = ,cos α = 2 cos 2 – 1 = 。 4 4 8 2 4 2
29、R = 6,h = 3,r = 3 3 ,S ≤

y A

y y=x

V E

C
F C O x

x
B 第 8题图 l

A

D 第 7题图

B

O 第 10题图

第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1995 年 3 月 19 日 上午 8:30—10:00 一、选择题 1、 “| x | ≤ 1”是“| x + 1 | ≤ 2”的( )

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 2、设 0 < x <

1 ,α = arcsin x,β = arcsin ( 1 – x ),γ = arcos ( x – 1 ),则( 2
(B)α < γ < β ) (C)– 1 < a < 0 (C)β < γ < α



(A)α < β < γ

(D)β < α < γ

3、若 a 1995 < a 1994 < a 1996,则一定有( (A)a > 1 (B)a < – 1

(D)0 < a < 1 )

4、使三条直线 4 x + y = 4,m x + y = 0,2 x – 3 m y = 4 不能围成三角形的 m 的值最多有( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

5、已知动点 P ( x,y )的坐标使 2 x – y, 3xy ,x + 2 y 成等比数列,则 P 点组成的图形是(



y

y=x

y

y ???x y x y ???x O

y=x

y O x y=x y ???x x

O

x

O

( A)

( B)

( C)

( D)

6、在 arctan (A)1 个

3 ? 3 ,sin ( arcsin ? ),arcsin ( sin ? ),tan ( arctan ? )中,值为 ? 的有( 3 3 3 3 3 ?1
(B)2 个 (C)3 个 (D)4 个



7、等差数列{ a n }的首项 a 1 = – 5,它的前 11 项的平均值为 5,若从中抽去一项,余下的 10 项 的平均值为 4,则抽去的是( (A)a 8 (B)a 9 ) (C)a 10 (D)a 11

8、设 R 中的集合:A = { x | x 2 + a x + b ≤ 0 },B = { x | ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x – 3 ) > 0 },则满足 A∪B = { x | x > – 1 },A∩B = { x | 3 < x ≤ 4 }的实数 a,b 的值是( (A)a = 5,b = ? 4 (B)a = ? 4,b = ? 5 (C)a = ? 5,b = 4 ) (D)a = 4,b = ? 5

9、将直角坐标平面内由三条直线 y = 3,y = – 3 x + 6,y = 3 – 弧度所得到的几何体的体积是( (A)2 π (B)π ) (C)2 )

3 2 x 所围成的三角形,绕 y 轴旋转 2 3

(D)1

10、方程 cos ( π cos x ) = 0 的解集是( (A){ x | x = k π ± ,k∈Z } 6 (C){ x | x = k π ± ,k∈Z } 3 二、A 组填空题

?

(B){ x | x = 2 k π ± ,k∈Z } 6 (D){ x | x = 2 k π ± ,k∈Z } 3

?

?

?

11、若实数 x,y 满足方程 x 2 + y 2 – x + 3 y = 0,则 x 的取值范围是 12、若 f ( x ) = log a ( x + 1 ) + log a ( 3 – x ),( – 1 < x < 3 )的最小值是– 2,则 a =

。 。 。 。

13、已知关于 x 的方程 2 sin x = | a – 1 |有解,则在 a 的取值范围内所有整数的和是 14、平行于直线 3 x + 4 y – 2 = 0,并且与它的距离为 1 个单位的直线的方程是 15、函数 y = | log 2 | x + 1 | | 的递减区间是 。

16、点 P 在圆 C1:x 2 + y 2 – 8 x – 4 y + 11 = 0 上,点 Q 在圆 C2:x 2 + y 2 + 4 x + 2 y – 1 = 0 上,则 | PQ |的最小值是 。 。

1 17、若 3,sin x + cos x, 依次成等比数列,x∈[ 0,2 π ],则 x = 6
18、已知 cos α =

5 ?1 ,则 sin 2 α + sin 6 α + sin 8 α = 2



19、已知关于 x 的方程 x 2 – a x + a 2 – 4 = 0 有两个不等实根,其中有一个是正数,则 a 的取值范 围是 20、过椭圆 。

x2 y 2 3 + = 1 的下焦点,且与圆 x 2 + y 2 – 3 x + y + = 0 相切的直线的斜率 k = 2 3 2



三、B 组填空题 21、函数 y = log 1 ( x +
2

4 )的值域是 x



22、动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,对于每一条棱,点 P 最多经过一 次,则点 P 运动的最大距离是 23、设地球半径为 R,在离地面 面积与地球表面积的比是 。

R 的空中有一卫星,卫星上的照相机可以拍摄到的地球表面的 4


24、如图,在△ABC 中,AB = a,AC = b,△BCD 为等边三角形,则当 四边形 ABDC 的面积 S 得到最大值时,∠BAC = 。

a B

A b C

25、a 是正常数,则以 F1 ( a,a ),F2 ( – a,– a )为焦点,短轴长等于焦距 的椭圆方程是 26、已知 。

D

? 3? ? 3? <α+β< ,– < α – β < ,则在 cos α 与 sin β 中较大的是 2 2 2 2



27、设等差数列{ a n }与{ b n }的前 n 项和分别为 S n 和 T n,并且

Sn n ? 2 = 对于一切 n 都成立, Tn 3n ? 4



a12 = b12



28、方程 arccos | x | = arcsin 2 x 的解是



29、已知△ABC 的两顶点的坐标为 B ( 0,a )和 C ( 0,– a ),直线 AB 与 AC 的斜率之积为定值 m(m∈R) ,则顶点 A 组成的曲线是 30、直角坐标平面上的点集 M = { ( x,y ) | ? 图形的面积 S 是 。 。

? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ,x,y∈R },则 M 对应的 2 2 ? ?( x ? 1)( y ? 1) ? 0

答案:一、A、A、B、D、A、C、D、C、D、C;

1 1 ? 10 1 ? 10 , ];12、 ;13、5;14、3 x + 4 y + 3 = 0 或 3 x + 4 y – 7 = 0; 2 2 2 7? 11? 19? 23? 15、( – ∞,– 2 ] 或( – 1,0 ];16、3 5 – 3 – 6 ;17、 或 或 或 ;18、1; 12 12 12 12
二、11、[

3? 2 6 3? 2 6 或 ; 5 5 25 1 三、21、y ≤ 2;22、9 a;23、 ;24、60?;25、3 x 2 + 3 y 2 – 2 x y – 8 a 2 = 0;26、 ;27、 ; 73 10
19、– 2 < a ≤ 2;20、 28、x = ±

7? 5 ;29、m x 2 – y 2 = – a 2;30、 。 2 5

1 2 简解:2、0 ?< α < 30 ?,30 ? < β < 90 ?,120 ? < γ < 180 ?;3、a < 1 < a 2;4、– 1,– , ,4; 6 3
8、A = { x | 1 ≤ x ≤ 4 };13、– 1 ≤ a ≤ 3;19、x = a ±2,则 a + 2 > 0 且 a – 2 ≤ 0;

9? 6 3 6 ?7 9? 6 3 6?7 , ),Q ( ,– ); 10 10 10 10 OB 2 4 5 1 23、OA = R,OD = = R,h = DE = R,S 1 = 2 π R h,S 2 = 4 π R 2; 4 5 OA 5 3 2 1 3 2 24、此题有疑问,S = b – a b sin ( 60 – 1 ) ≤ b ; 2 4 4
20、F ( 0,– 1 ),P ( 27、

a 3 a Sn a1 ? an n ? 2 a ? 11d1 2a1 ? 22d1 a1 ? a23 25 = = , 1 = , 12 = 1 = = = ; Tn b1 ? bn 3n ? 4 b1 7 b12 b1 ? 11d2 2b1 ? 22d2 b1 ? b23 73

? x ? ?1 ? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 ?x ? 1 30、( x – 1 ) 2 + ( y – 1 ) 2 ≤ 7, ? 或? 或? 或? 或? ; y ? ? 1 y ? 1 ? 1 ? y ? 1 y ? ? 1 y ? 1 ? ? ? ? ?

y
3 2 1
1

y
y

O

1

2

x

?3

?2

?1

1

x

O2

P O Q 第 16题图

O1 x

第 9题图
y

第 15题图

A B
P

y
C

R
C Q x

E r D O

O F

O
第 23题图

x

第 20题图

第 30题图

第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1996 年 3 月 24 日 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1、以下四个函数中,在区间 ( – ∞,0 )上是减函数的是( )
–x

上午

8:00—9:30

(A)f ( x ) = arccos ( – x ) (B)g ( x ) = log 0.5 x (C)q ( x ) = – 2

(D)r ( x ) = – x

1 5

1 1 2、当 ≤ x ≤ 3 时,函数 y = x + 的值域是( 3 x 1 (A)[ 2,3 ] 3
(B)[ 2,+ ∞ )



1 (C)[ 3 ,+ ∞ ) 3

(D)( 0,+ ∞ ) )

3、已知不等式| x – a | + | x – 3 | < 1 的解集是空集,则实数 a 的取值范围是( (A)( 0,1 ) (B)( 1,+ ∞ ) (C)( – ∞,2 ] ) (D)2 π

(D)( – ∞,2 ]∪[ 4,+ ∞ )

4、函数 y = csc x cos 3 x – csc x cos 5 x 的最小正周期是( (A)

? 4

(B)

? 2

(C)π

5、点 M ( x 0,y 0 )是圆 x 2 + y 2 = r 2 内圆心以外的一点,则直线 x 0 x + y 0 y = r 2 与该圆的位置关 系是( (A)相切 ) (B)相交 (C)相离 (D)相切或相交 )

6、已知 a,b∈R+,则“x + y > a + b 且 x y > a b”是“x > a 且 y > b”的(

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分也不必要条件 7、函数 f ( x ) = arccos x + (A)( 0,π )

1 arccot x 的值域是( 2 ? (B)( 0, ) 2

) (C)[

? 11? , ] 4 4

(D)[

? 11? , ] 8 8


8、已知圆台的母线长是上、下底面半径长的等差中项,侧面积 S = 8 π,则母线的长是( (A)4 (B)2 2 (C)2 (D) 2

9、集合 M = { ( x,y ) | arctan x + arctan y = π,x,y∈R },N = { ( x,y ) | sec 2 x + csc 2 y = 1,x, y∈R },则 M 与 N 的关系是( (A)M = N ) (C)N ? M (D)以上都不对 )

(B)M ? N

10、圆 x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1 上任意一点 P ( x,y )都满足 x + y + c ≥ 0,则 c 的取值范围是( (A)( – ∞,0 ] (B)[ 2 ,+ ∞ ) (C)[ 2 – 1,+ ∞ )

(D)[ 1 – 2 ,+ ∞ )

二、A 组填空题(每小题 6 分,共 60 分) 11、不等式 x2 ? 5x ? 6 > x – 1 的解集是 。 。 。

12、圆 x 2 + y 2 – 2 a x cos θ – 2 b y sin θ – a 2 sin 2 θ = 0 在 x 轴上截得的弦的长是 13、α 是 sin α + cos α = 2 的最小正根,则 cos α + cos 2 α + ? + cos 8 α 的值等于 14、先将函数 f ( x ) = ln

1 的图像作关于原点的对称变换,然后向右平移 1 个单位,再作关于 1? x


y = x 的对称变换,则此时的图像所对应的函数的解析式是

15、若 cot x =

5 ?1 ? ,则 cos 2 ( x + )的值是 4 2



16、等差数列{ a n }的项数 m 是奇数,并且 a 1 + a 3 + ? + a m = 44,a 2 + a 4 + ? + a m – 1 = 33, 则m= 。

17、如图,直角梯形 A1BA2C 中,A1C = CA2,5 A1B = 4 A1C,M 是 A1B 的中点,N 是 BA2 上的 动点,将△A1CM 沿 MC 折起,将△CNA2 沿 CN 折起,使 A1 和 A2 重合为 A 点,设 AC 和平面 CMN 所成的最大角是 α,则 tan α = 。

A1 M B N

C

18、二次函数 f ( x )的二次项系数是负数,对任何 x∈R,都有 f ( x – 3 ) = f ( 1 – x ),设 M = f ( arcsin ( sin 4 ) ),N = f ( arccos ( cos 4 ) ),则 M 和 N 的大小关系是 19、F1,F2 是椭圆 是 。 。

A2

x2 + y 4

2

= 1 的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,则| PF1 | ? | PF2 |的最小值

20、已知点 A∈{ ( x,y ) | y = 3 x,x > 0 },点 B∈{ ( x,y ) | y = – 3 x,x > 0 },| AB | = l(定 值) ,O 是直角坐标原点,则△OAB 的面积 S 的最大值是 三、B 组填空题(每小题 6 分,共 30 分) 21、数列{ 8 n + 1,n∈N + }的前 m 项中,恰有 10 项的值是平方数,则 m 的值最小是 。 。

22、一个棱锥的全面积和底面积的比是 m,且各侧面与底面所成的角相等,则侧面与底面所成的 角是 。

23、已知 x ≥ 1,则动点 A ( x +

1 1 ,x – )与点 B ( 1,0 )的距离的最小值是 x x




24、在△ABC 中,∠C = 90° ,两条中线 AD,CE 互相垂直,则∠B = 25、关于 x 的方程 ( x 2 ? 4 x ? 3) 2 = p x 有 4 个不同的实数根,则 p 的取值范围是 答案:一、D、A、D、B、C、B、D、C、A、C;



5 2 2 5 二、11、x < ;12、2 | a |;13、0;14、y = e x;15、– ;16、7;17、 ;18、M > N;19、 3 5 5
1;20、

3 2 l ; 12

1 6 ;23、1;24、arccos ;25、( 0,4 – 2 3 )。 m ?1 3 1 简解:7、减函数;8、S = ( c + c ) l;10、cos θ + sin θ + 1 + c ≥ 0; 2 m ?1 16、S = m ( a 1 + d ) = m ( S 1 – S 2 ) = S 1 + S 2; 2
三、21、55;22、arccos 17、当面 ACM⊥ 面 CMN 时,∠ ACM 为最大角;18、M = f ( π – 4 ),N = f ( 2 π – 4 );

y A l O
120?

x

B
20、S =

3 3 3 2 ab≤ (a2+b2+ab)= l ; 4 12 12

第 20题图

第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1997 年 3 月 23 日 一、选择题 1、以下给出的函数解析式及图形中,相符的是( ) 上午 8:00—9:30

y
1

y

y

? ? 2 ?1 1

y=x

y

x =1

1

O 1
? ?? 2

x

O 1 2 ( D)

x

?1

O ( A)

2 3

1

x

O ( B)

x

( C)

(A)y = x

(B)y = 1 ? x2

(C)y = arcsin x ) (B)sin x >

(D)y = log 1 | x – 1 |
2

2、在以下四对不等式中,解集相同的是( (A)x 2 – 3 x + 2 > 0 和 1 ? x > 0 (C)e x < 1 和 arcsin x < 0

1 ? 5? 和 <x< 2 6 6
2

(D)| log 2 x | > 1 和| log 1 x | > 1 ) (D)[ 0,

3、函数 y = sin x cos x + cos x + sin x + 1 的值域是( (A)[ 0,+ ∞ ) (B)( 0,+ ∞ ) (C)[

3 3 – 2, + 2] 2 2

3 + 2] 2


4、在二面角 α – l – β 的两个面 α、β 内,分别有直线 a,b,它们与棱 l 都不垂直,则( (A)当该二面角是直二面角时,可能有 a∥ b,也可能 a⊥ b (B)当该二面角是直二面角时,可能有 a∥ b,但不可能 a⊥ b (C)当该二面角不是直二面角时,可能有 a∥ b,但不可能 a⊥ b (D)当该二面角不是直二面角时,不可能有 a∥ b,但可能 a⊥ b

5、不等式 arcsin ( x – 1 ) < x 的解是( (A)[ 0,1 ] (B)[ 1,2 ]

) (C)[ 0,2 ] ) (D)[ 0,+ ∞ )

6、在以下给出的数列中,是等差数列的为( (A)前 n 项的和 S n = n 2 – n + 2 (C)第 n 项是

(B)第 n 项是 log 2 sin n – 1

?
6

1 n ?1 ? n

(D)由某两个等差数列对应项的乘积构成的数列

7、对边长是 a,b,c(对角依次是 A、B、C) ,且∠ C 是钝角的△ABC 和直线 l:a x + b y + c = 0, 给出下列 4 个命题: (1)l 的倾斜角是钝角; (2)l 不穿过第一象限; (3)l 和单位圆相切; ( 4) l 过定点。其中正确命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4 )

8、圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y – 3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点有( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

9、圆锥曲线 C 的准线是 x = – 3,相应的焦点是 F(1,0) ,如果 C 过定点 M(5,2) ,那么 C 是 ( ) (B)双曲线 (C)抛物线 (D)类型不定

(A)椭圆 10、 设a=f(

sin ? ? cos ? sin 2? ), b = f ( sin ? cos? ), c=f( ), 其中 f ( x ) = log sin θ x, θ∈ ( 0, 2 sin ? ? cos ?
) (B)b ≤ c ≤ a (C)c ≤ b ≤ a (D)a ≤ b ≤ c

? ),那么( 2
(A)a ≤ c ≤ b 二、A 组填空题 11、设 S =

1 1 1 + + ? + ,则 1 与 S 的差是 1996 ? 1997 1? 2 2 ? 3

。 函数(指单调性) 。 。

12、函数 f ( x ) = x lg ( arctan 2 )在区间( 0,+ ∞ )上是

13、在体积相等的正方体、球、等边圆锥这三个几何体中,表面积最大的是

14、过圆 x 2 + y 2 – 4 x + 2 y = 0 的圆心,并且和点 A ( – 1,– 2 )、B ( 5,3 )距离相等的直线 l 的 方程是 。

15、 “希望杯”全国数学邀请赛从 1990 年开始举办,当年参赛人数约 10 万人,到 1996 年参赛人 数已超过 60 万人,如果每年的参赛人数按相同的增长率增加,那么估计 1997 年参赛人数至少 万人。 (保留小数点后 1 位, 6 5 ≈ 1.308, 6 6 ≈ 1.348, 6 7 ≈ 1.383) 16、已知常数 θ∈ ( 0,

? ),则( tan θ ) 4

x2 ?3 x ?10

> ( cot θ ) x – 8 不等式的解集是



17、 函数 y = log 2 ( x 2 – x +

1 ? )以方程 arcsin x + arccos x = 的解集为定义域, 则 y 的值域是 2 2
。 。



3 18、方程 2 x – 1 + 2 x 2 – = 0 的实根的个数是 5

19、如果 a + b + c = 1,那么 3a ? 1 + 3b ? 1 + 3c ? 1 的最大值是

20、f ( x )是定义域为 R 的偶函数,且 f ( 1 + x ) = f ( 1 – x ),当– 1 ≤ x ≤ 0 时,f ( x ) = – 则 f ( 8.6 ) = 三、B 组填空题 21、球 O 的半径为 1,点 A、B、C 在球面上,A 与 B、A 与 C 的球面距离都是 面距离为 。

1 x, 2

? ,B 与 C 的球 2
。 ,当长半轴

2? ,则球 O 在二面角 B – OA – C 内的部分的体积是 3

;表面积是

22、若椭圆长轴、短轴、焦距的长度之和等于 8,则长半轴的取值范围是 取得最小值时,椭圆的离心率等于 。 ,最小值是

23、x,y 是实数,且若 x 2 + y 2 ≤ 1,则 x + y + x y 的最大值是 24、lg cos x sin x 与 lg sin x cos x(2 k π < x < 2 k π +

。 。

? ,k∈Z)的大小关系是 2

25、动直线 l 垂直于 x 轴,且与双曲线 x 2 – 2 y 2 = 4 交于 A,B 两点,P 是上 l 满足| PA | × | PB | = 1 的点,那么 P 点的轨迹方程是 答案:一、D、D、D、B、C、B、B、C、A、D; 二、11、 。

1 74 ;12、单调递增;13、等边圆锥;14、x = 2;15、80.8;16、x ≤ – 2 或 5 ≤ x < ; 1997 13 5 ];18、2;19、3 2 ;20、0.3; 2

17、[ – 2,log 2 三、21、

2? ? 1 2 , ;22、[ 4 ( 2 – 1 ),2 ), ;23、 + 2 ,– 1; 9 2 3 2 ? ? 24、当 2 k π < x < 2 k π + 时,lg cos x sin x > lg sin x cos x,当 x = 2 k π + 时, 4 4
lg cos x sin x = lg sin x cos x,当 2 k π +

? ? < x < 2 k π + 时,lg cos x sin x < lg sin x cos x; 4 2
1 1 3 (a+1)2≤ ( 2+1)2= + 2; 2 2 2

25、x 2 – 2 y 2 = 2(x > 2 或 x < – 2)或 x 2 – 2 y 2 = 6。 简解:3、设 a = cos x + sin x,则 y =

25、设 P ( x,y ),则 A ( x,

x2 ? 4 x2 ? 4 ),B ( x,– ),故| x 2 – 2 y 2 – 4 | = 2; 2 2

第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1998 年 3 月 22 日 上午 8:00—9:30

一、选择题(每小题 6 分)

x y + = 1 的倾斜角是( ) 3 2 2 2 2 2 (A)arctan (B)arctan ( – ) (C)π + arctan (D)π + arctan ( – ) 3 3 3 3 1 2、函数 y = arccos ( – x 2 )的值域是( ) 2 ? ? ? ? ? ? (A)[ – , ] (B)[ – , ] (C)[ ,π ] (D)[ ,π ] 2 2 6 3 6 3 x x x x 3、以 T1,T2,T3 分别表示函数 tan ,| cos x |,sin ( sin + cos )的最小正周期,那么( ) 3 3 3 2
1、直线 (A)T1 < T2 < T3 (B)T3 < T2 < T1 ) (C)T2 < T1 < T3 (D)T2 < T3 < T1

4、不等式| 3x ? 2 – 3 | > 1 的解集是( (A)[

2 ,2 )∪ ( 6,+ ∞ ) (B)( – ∞,2 )∪ ( 6,+ ∞ ) (C)( 6,+ ∞ ) (D)( – ∞,2 ) 3
2

5、已知函数⑴y = arcsin ( 2 x ),⑵y = sin ( π x ) + cos ( π x ),⑶y = log 2 x + log 1 ( 1 + x ),其中, 在区间[

1 ,1 ]上单调的函数是( 2
(B)⑵ ⑶

) (C)⑴ ⑵ ) (D)10 (D)⑴ ⑶

(A)⑴ ⑵ ⑶

6、使不等式 3 + 8 > 1 + a 成立的正整数 a 的最大值是( (A)13 (B)12 (C)11

7、有以下几个数列:⑴a n = 3n ?1 ,⑵S n = n ( 2 – 3 n ),⑶a n + a n +1 = 2 a n + 2,⑷a n =
n

1 ,⑸a n

a n+2 = a2 n ?1 ,⑹ a n =

1 log 2 6 n,其中是等差数列的有( n
(B)⑵ ⑷ (C)⑶ ⑸

) (D)⑵ ⑹ )

(A)⑴ ⑶

8、在平面直角坐标系内,方程 x 2 + y 2 + x | x | + y | y | – 2 = 0 表示的曲线是(

y

y

y

y

x

x (B)

x (C) (D)

x

(A)

9、P 是椭圆上任意一点,F1,F2 是椭圆的焦点,离心率 e = (A)60° (B)90°

1 ,则∠ F1PF2 的最大值是( 2
(D)135°



(C)120°

10、若 0 < a,b,c < 1,并且 a + b + c = 2,则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是( (A)[

) (D)(

4 ,+ ∞ ) 3

(B)[

4 ,2 ] 3

(C)[

4 ,2 ) 3

4 ,2 ) 3

二、A 组填空题(每小题 6 分) 11、不等式 log sin x 2 x > log sin x x 2 在区间( 0,2 π )上的解是 12、当 。 。 。

3? < α < 2 π 时,arccos ( sin α )的值等于 2

13、若圆锥的侧面积为 m,全面积为 n,则圆锥的高与母线的夹角 θ 的大小等于 14、在 2 1998 的约数中,大于 1949 的所有约数的和等于 。 。

15、实数 x,y 适合条件 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2,则函数 2 x 2 + 3 x y + 2 y 2 的值域是 16、函数 sin 3 x sin 3 x 的最大值是 。

17、若实数 x,y 适合方程 x 2 + y 2 – 2 x – 4 y + 1 = 0, 那么代数式

y 的取值范围是 x?2



18、实数 x,y 适合方程 4 x 2 – 2 x y 2 + 2 x y – y 3 = 0,则点( x,y )在平面直角坐标系内的轨迹 是 。

19、直线 y = k x 交曲线 y = ? x2 ? 4x ? 3 于点 P、Q 两点,O 是坐标原点,P 在 O、Q 之间,若| OP | = 2 | PQ |,那么 k = 20、正方体与其外接球的体积之比是 三、B 组填空题(每小题 6 分) 21、数列{ a n }中,前 n 项的和 S n = n 2 + 1,则 a n = 22、双曲线 x y = 1 的焦点坐标是 ,准线方程是 。 。 。 。

23、无穷等比数列{ a n }的首项为 1,公比大于 0,则 lim

n ???

Sn ? 2 的值等于 Sn



24、当 m∈ N,若方程 m x 2 + 2 ( 2 m – 1 ) x + 4 m – 7 = 0 至少有一个整数根,则 m = 25、设 α,β 分别是方程 log 2 x + x – 3 = 0 和 2 x + x – 3 = 0 的根,则 α + β = log 2 α + 2 β = 。

。 ,

答案:一、D、D、C、A、B、B、D、A、A、C; 二、11、( 2,π );12、 [ 0,

5? n?m 1 1 – α;13、arccos ;14、2 1999 – 2 11;15、[ ,7 ];16、 ;17、 2 m 2 4

12 7 ];18、( 2 x + y ) ( 2 x – y 2 );19、 ;20、2∶ 3 π; 5 5

?1 (q ? 1) ( n ? 1) ?2 三、21、 ? ;22、( – 2 ,– 2 ),( 2 , 2 ),x + y ± 2 = 0;23、 ? 2 ; ? q (q ? 1) ? 2n ? 1 ( n ? 2)

24、1 或 5;25、3,3。 简解:10、a 2 < a;15、令 x = t cos θ,y = t sin θ,则 1 ≤ t 2 ≤ 2,原式= 2 t 2 + 3 t 2 sin θ cos θ = t 2 ( 2 +

3 1 7 1 sin 2 θ )∈ [ t 2, t 2 ];16、原式= sin 4 x ( 3 – sin 2 x ) = × 2 sin 2 x × 2 sin 2 x ( 3 – sin 2 x ); 2 2 2 4

17、可以看作是圆 C 上动点与定点 A ( – 2,0 )的连线的斜率的取值范围,从图中可知,k AM = 0, 设∠ CAM = α,则∠ MAN = 2 α,tan α =

2 12 12 12 ,tan 2 α = ,k AN = ,故 0 ≤ k ≤ ; 3 5 5 5

19、| OP | | OQ | = | OA | | OB | = 3,| PQ | 2 =

| 2k | 1 2 14 ,| PQ | = ,d = = ; 2 2 4 k 2 ?1

y N
2

y

C
O

Q P A 第 19题图 d r B x

A

O

M

x

第 17题图
24、x = – 2 + =

2p?3 ,当| p | > 3 时,p 2 > | 2 p + 3 |,只有 p = 3 或 p = ±1。 2 p

1 ? 3m ? 1 1 ? 3m ? 1 ,设 p = ∈ Z,则 m ( p 2 m – 2 p – 3 ) = 0,m = 0(舍)或 m m m

第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1999 年 3 月 21 日 一、选择题(每题 6 分,共 60 分) 上午 8:00 — 9:30

1 1 1 1 1、arcsin + arccos + arctan ( – ) + arccot ( – ) =( 3 3 3 3
(A)0 (B)π (C)2 π

) (D)– π

2、若无穷等比数列{ a n }的公比 q = – (A)? 1 (B)1

1 a ? a2 ? ,则 lim 1 n ??? 2 a2 ? a4 ? 4 3

? an =( ? a2 n
4 15



(C)–

(D)

3、某等差数列共 2 n + 1 项,其中奇数项的和为 95,偶数项的和为 90,则第 n + 1 项是( (A)7 (B)5 (C)4 (D)2



1 1 1 1 4、若点 M( a, )和点 N( b, )都在直线 l:x + y = 1 上,则点 P( c, )和点 Q( ,b )( b c a c
(A)都在 l 上 (C)点 P 在 l 上,点 Q 不在 l 上 (B)都不在 l 上 (D)点 Q 在 l 上,点 P 不在 l 上



5、不等式 log 1 ( x ? 1 – x ) < 2 的解集是(
2



(A)[ ? 1,

5 ) 4

(B)( ? 1,

5 ) 4

(C)(

1? 5 1? 5 , ) 2 2


(D)[ ? 1,

1? 5 ) 2

6、双曲线 y =

k ( k > 0 )的离心率用 e = f ( k )来表示,则 f ( k )( x

(A)在( 0,+ ∞ )上是增函数

(B)在( 0,+ ∞ )上是减函数 (D)是常数

(C)在( 0,1 )上是增函数,在( 1,+ ∞ )上是减函数

7、当 a,b 均为有理数时,称点 P ( a,b )为有理点,又设 A ( 1998 ,0 ),B ( 0, 2000 ),则 直线 AB 上有理点的个数是( (A)0 (B)1 ) (C)2 ) (C)6 (D)7 (D)无穷多个

8、方程 lg | x | = sin x 的根的个数是( (A)4 (B)5

9、 河中的船在甲、 乙两地往返一次的平均速度是 V, 它在静水中的速度是 u, 河水的速度是 v( u > v > 0 ),则( (A)V = u ) (B)V > u (C)V < u (D)V 与 u 的大小关系不确定 )

10、若函数 f ( x ) = x 3 – 3 x 2 + 6 x – 6,且 f ( a ) = 1,f ( b ) = ? 5,则 a + b =( (A)? 2 (B)0 (C)1 (D)2

二、A 组填空题(每题 6 分,共 60 分) 11、F1,F2 是椭圆 是

x2 y 2 + = 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且∠ F1PF2 = 60?,则△F1PF2 的面积 12 3


12、已知函数 y = 9 – x 2 + x – 1 – 18 ? 3 – x 2 + x – 1 的图像与直线 y = m 的交点在平面直角坐标系的 右半平面内,则 m 的取值范围是 。 。

13、已知函数 y = log 1 [ a x 2 + 2 x + ( a – 1 ) ]的值域是[ 0,+ ∞ ),则参数 a 的值是
2

14、设圆 C 经过点 M ( ? 2,0 )和 N ( 9,0 ),直线 l 过坐标原点,圆 C 和 l 的交弦为 PQ,当 l 绕坐标原点旋转时,弦 PQ 长度的最小值是 。

15、 已知等比数列{ a n = a 1 q n – 1, q∈ N, n∈ N }中, 对某个 n > 6 有 a 1 + a n = 1094, a 2 a n–1= 则 a 3 + a n–2 = 。

2187 , 4

16、M 是圆 x 2 + y 2 – 6 x + 8 y = 0 上的动点,O 是原点,N 是射线 OM 上的点,若| OM | | ON | = 150,则 N 点的轨迹方程是 。

17、在正四棱锥 O – ABCD 中,∠ AOB = 30° ,面 OAB 和面 OBC 所成的二面角的大小是 θ,且 cos θ = a b – c,其中 a,b,c∈ N,且 b 不被任何质数平方整除,则 a + b + c = 18、过点 P ( 1,1 )且与坐标轴围成面积为 2 的三角形的直线的条数是 。 。

19、某渔场的最大养殖量是 100 吨鱼,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量应当比 100 吨少,以 留出适当的空闲量,已知鱼群的年增长量与实际养殖量和空闲率的乘积成正比,比例系数为 则鱼群年增长量的最大值等于 。

3 , 2

20、设 x 1,x 2 是方程 x 2 + x + 1 = 0 的根,则和式 于 。

x1 x x x + ( 1 ) 2 + ( 1 ) 3 + ? + ( 1 ) 1998 的值等 x2 x2 x2 x2

三、B 组填空题(每题 6 分,共 30 分) 21、已知实数 x,y 满足方程( x + 2 ) 2 + y 2 = 1,则 是 。

y ?1 的最小值是 x?2

,2 x – y 的最大值

22、函数 f ( x ) = cos ( 2 arccos x ) + 4 arcsin ( sin 23、若函数 f ( x ) = ( log 2 则 f ( x )的最小值是

x )的定义域是 2

,值域是



x x ) ( log 2 )的定义域是不等式 2 ( log 1 x ) 2 + 7 log 1 x + 3 ≤ 0 的解集, 2 4 2 2
,最大值是 。

24、由以下条件分别给出数列{ a n }:⑴ { 2 a n }是等比数列;⑵ 前 n 项和 S n = n 2 + 1;⑶ a n > 0, a k=

2 ( a 1 + a 2 + ? + a k – 1 ),k ≥ 2。以上能使{ a n }是等差数列的是 k ?1



25、已知平面直角坐标系内的点 A ( 2,2 )和 B ( 4, – 1 ),又点 P 在椭圆 则△PAB 的面积的最小值是 ,这时 P 点的坐标是

( x ? 2)2 ( y ? 1) 2 + = 1 上, 4 9


答案:一、B、A、B、A、A、D、A、C、C、D;

53 3 – 6 4 3 ,– );13、1 – 2 ;14、6 2 ;15、126;16、3 x – 4 y – 75 = 9 9 75 0;17、25;18、3;19、 ;20、0; 2
二、11、 3 ;12、[ 三、21、0, 5 – 4;22、[ – 1,1 ],[ –

3 1 97 27 ,3 ];23、– ,2;24、⑴ ;25、7 – ,( – 2, 2 4 2 97

8 + 1 )。 97
简解:13、由题设可知,f ( x ) = a x 2 + 2 x + ( a – 1 )在定义域内有最大值为 1,故 a < 0,且函数 可化为 f ( x ) = a ( x +

1 2 1 ) + 1 形式,所以有 1 – = a – 1,a = 1 – 2 ; a a

y M C N
20、x 1 = x 2 2;
1

A O
2 x

第 21题图


相关文章:
历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题
第十一届“希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试 2000 年 3 月 19 日 上午 8:30—10:00 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1、直线 l1,l2 分别过...
高二历届“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题2
第一届希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试 1990 年 3 月 18 日 上午 8:30—10:00 一、选择题 1、等差数列的第 p 项是 1990,第 1990 项是 p,那么...
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析
历届“希望杯全国数学邀请赛高二数学精选 100 题详析题 1 已知 0 ? a ? ...? a ?b b?c a ?c C、4 D、5 ( ) (第十一届高二第一试第 7 题)...
第一届小学希望杯全国数学邀请赛第1试
第一届小学希望杯全国数学邀请赛第1试_学科竞赛_小学教育_教育专区。希望杯第一试第一届小学"希望杯"全国数学邀请赛 四年级 第1试以下每题 4 分,共 100 分 1...
“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试及答案201333
希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试及答案201333_学科竞赛_小学教育_教育专区。高中数学竞赛试卷“希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试 2000 年 3 月 19 日...
第17届希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试
第17届希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 17 届“希望杯"全国数学邀请赛(高二) 第一试一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)...
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
第一届希望杯全国数学邀请赛(高一)第一试_学科竞赛_高中教育_教育专区。第一届希望杯全国数学邀请赛(高一)第一试和答案第...
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二第1试试题与答案模拟
第二十一届希望杯全国数学邀请赛高二第1试试题与答案模拟_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷今日推荐 160份文档 四季养生 中医养生与保健 中医养...
历届(1-18届)希望杯数学邀请赛高二试题第一试(含答案WORD)(全国通用
第一届希望杯全国数学邀请赛(高二)第一试 1990 年 3 月 18 日 上午 8:30—10:00 一、选择题 1、等差数列的第 p 项是 1990,第 1990 项是 p,那么...
更多相关标签:
希望杯全国数学邀请赛 | 希望杯数学邀请赛 | 2017希望杯数学邀请赛 | 希望杯数学邀请赛试题 | 2016希望杯数学邀请赛 | 希望杯数学邀请赛官网 | 27届希望杯数学邀请赛 | 2015希望杯数学邀请赛 |