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2013届高考理科数学第一轮复习测试题35


A 级 基础达标演练

(时间:40 分钟 满分:60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 湖北八校第二次联考)在△ABC 中,C=60° ,AB= 3,BC = 2,那么 A 等于( ).

A.135° B.105° C.45° D.75° BC AB 2 3 2 解析 由正弦定理知sin A=sin C,即sin A=sin 60° ,所以 sin A= 2 , 又由题知,BC<AB,∴A=45° . 答案 C 2.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c) =ab,则角 C 的大小为( ).

A.60° B.90° C.120° D.150° 解析 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab, ∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C, 1 ∴cos C=-2,∴C=120° . 答案 C 3.在△ABC 中,已知 sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 ).

a2+c2-b2 解析 由正弦定理、余弦定理得 a· 2ac =c,∴b2+c2=a2,∴A

=90° . 答案 A 4.(2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于( 1 1 A.-2 B.2 C.-1 D.1 解析 根据正弦定理,由 acos A=bsin B,得 sin Acos A=sin2B,∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 答案 D 5.若满足条件 C=60° ,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( ). C.( 3,2) D.(1,2) ).

A.(1, 2) B.( 2, 3)

AB BC 解析 由正弦定理得:sin C=sin A,∴a=2sin A. ∵C=60° ,∴0° <A<120° . 又∵△ABC 有两个,∴asin 60° < 3<a,即 3<a<2. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 福建)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于________.

3 解析 在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C= 2 ,∴sin 1 AD C=2;在△ADC 中,由正弦定理得,sin C= 2 1 × sin 45° 2= 2. AC , ∴ AD = sin∠ADC

答案

2

2π 7.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= 3 ,则 a=________. 2π 解析 ∵c2=a2+b2-2abcos C,∴( 3)2=a2+1-2acos 3 , ∴a2+a-2=0.解得:a=1,或 a=-2(舍). 答案 1 8.(2011· 新课标全国)在△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ ABC 的面积为________. 解析 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 49=a2+25-2×5×acos 120° . 整理得 a2+5a-24=0,解得 a=3 或 a=-8(舍). 1 1 15 3 ∴S△ABC=2acsin B=2×3×5sin 120° = 4 . 答案 15 3 4

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)(2011· 陕西)叙述并证明余弦定理. 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这 两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或:在△ABC 中,a,b,c 为 A, B,C 的对边,有 a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2= a2+b2-2abcos C, 法一 如图(1),

图(1) →· → a2=BC BC

→ -AB → )· → -AB →) =(AC (AC → 2-2AC →· → +AB →2 =AC AB → 2-2|AC → |· → |cos A+AB →2 =AC |AB =b2-2bccos A+c2,即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C. 法二

图(2) 已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所 在直线为 x 轴建立直角坐标系,如图(2)则 C(bcos A,bsin A),B(c,0), ∴a2=|BC|2=(bcos A-c)2+(bsin A)2 =b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A =b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C. 10.(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,asin A+ csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解 (1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 2 故 cos B= 2 ,又 0° <B<180° ,因此 B=45° . (2)sin A=sin(30° +45° )=sin 30° cos 45° +cos 30° sin 45° = 2+ 6 4 .故

2+ 6 sin A a=b· = =1+ 3, sin B 2 sin C sin 60° c=b· = 2· = 6. sin B sin 45°

B级

综合创新备选

(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2011· 四川)在△ABC 中,sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( ).

π? π? ? ?π ? ? ?π ? A.?0,6? B.?6,π? C.?0,3? D.?3,π? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析 由已知及正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,而由余弦定理可知 a2= b2+c2-2bccos A,于是可得 b2+c2-2bccos A≤b2+c2-bc,可得 cos π? ? 1 A≥2,注意到在△ABC 中,0<A<π,故 A∈?0,3?.
? ?

答案 C 2.(2011· 重庆)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+ b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( 4 2 A.3 B.8-4 3 C.1 D.3 解析 选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(★)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值________. 解析 (数形结合法)因为 AB=2(定长), 可以令 AB 所在的直线为 x 轴,
??a+b?2-c2=4 ? 4 依题意得? 2 2 2 ,两式相减得 ab=3, ? =ab ?a +b -c =2abcos 60°

).

其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 C(x,y), 由 AC= 2BC, 得 ?x+1?2+y2= 2 ?x-1?2+y2,化简得(x-3)2+y2=8,

即 C 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1 所以 S△ABC=2· |AB|· |yC|=|yC|≤2 2,故答案为 2 2. 答案 2 2 【点评】 有效地借助图象、表格等能使解题化难为易、一目了然, 且不易出错.

4.(2012· 汕头质检)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b a tan C tan C b,c,若a+b=6cos C,则tan A+tan B的值是________. 解析 法一 1 取 a=b=1,则 cos C=3,由余弦定理得 c2=a2+b2-

4 2 3 2abcos C=3,∴c= 3 ,在如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 tan 2 2 tan C tan C A=tan B= 2,又 sin C= 3 ,tan C=2 2,∴tan A+tan B=4. a2+b2 a2+b2-c2 b a 法二 由a+b=6cos C,得 ab =6· 2ab ,
?cos A cos B? 3 tan C tan C 即 a2+b2=2c2,∴ tan A+tan B=tan C? sin A + sin B ?= ? ?

sin2C 2 c2 cos Csin Asin B=a2+b2-c2=4. 答案 4 三、解答题(共 22 分)

5.(10 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已 知 a2-c2=2b,且 sin Acos C=3cos Asin C,求 b. 解 由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccos A, 又 a2-c2=2b(b≠0),∴b=2ccos A+2① 又 sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, ∴sin(A+C)=4cos Asin C,即 sin B=4cos Asin C. b 由正弦定理得 sin B=c sin C,∴b=4ccos A② 由①②解得 b=4. 6.(12 分)(2011· 山东)在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, cos A-2cos C 2c-a c.已知 = b . cos B sin C (1)求sin A的值; 1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. a b c 解 (1)由正弦定理,设sin A=sin B=sin C=k, 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π, sin C 所以 sin C=2sin A,因此sin A=2.

sin C (2)由sin A=2 得 c=2a. 1 由余弦定理及 cos B=4得 1 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×4=4a2. 所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a=1,因此 b=2.


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