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集合与不等式习题



集合与不等式习题 1.设集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ,集合 B 为函数 y ?
2

?

?

1 的定义域,则 A x ?1

B?(



A. ?1, 2 ? 【答案】D 【解析】

B. ?1, 2?

C. ?1, 2 ?

D. ?1, 2?

试题分析:由题意知 A ? x x ? x ? 6 ? 0 ? x ?3 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,因此 A
2

?

? ?

?

?

?

B ? ?1,2? ,故选 D.

考点:1.不等式的解法;2.集合的交集运算

2x+1
2. (2012 年怀化一模)若集合 A={x||2x-1|<3},B={x| 3-x <0},则 A∩B 是

1 A.{x|-1<x<-2或 2<x<3} B.{x|2<x<3} 1 C.{x|-2<x<2} 1 D.{x|-1<x<-2} 解析:|2x-1|<3?-3<2x-1<3?-1<x<2, ∴A={x|-1<x<2}; 2x+1 1 3-x <0?(2x+1)(3-x)<0?(2x+1)(x-3)>0?x<-2或 x>3, 1 ∴B={x|x<-2或 x>3}. 结合数轴:

1 A B { x | 1< x < ∴ ∩ = - -2}. 答案:D
3.设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为{x|-1<x<3},则 ab 的值为(

1

)

A.-6 C.6

B.-5 D.5

1 解析:因 x=-1,3是方程 ax2+bx+1=0 的两根,

b 1 b 2 1 1 ∴-a=-1+3,∴a=3,又-1×3=a, ∴a=-3,b=-2,∴ab=6. 答案:C 4.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4} ( )

解析:由题意知 a=0 时,满足条件.a≠0 时, ?a>0, 2 由? ?Δ=a -4a≤0 得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 答案:D
5.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A A. (?3, 0) 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 集 合 B 可 得 CR B ? {x | x ? ?1或x ? 5} , 由 A 可 得 A ? {x | -3 ? x ? 3} , 即 B. ? ?3, ?1? C. ? ?3, ?1? D. ? ?3,3?

(CR B) ? (



A? (CR B) ? {x | -3 ? x ? ?1} ,故选 C.
考点:集合运算
2 2 2 6.设集合 A ? {x y ? x ? 1}, B ? { y y ? x ? 1}, C ? {( x, y ) y ? x ? 1} ,则下列关系中不正确的是(

)

A. A

C ??

B. B

C ??

C. B ? A

D. A

B?C

【答案】D 【解析】由于 A ? R, B ? {y y ? ?1},? B ? A ,而 C 集合中的元素为点.所以选项 A,B,C 正确. 【考点】1.描述法表示集合的含义.2.集合的运算. 7.设集合 M ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 M A. (0, 4] 【答案】B. 【解析】 试题分析: x ? 3x ? 4 ? 0 ? ? x ? 4?? x ?1? ? 0 ? ?1 ? x ? 4 ,故 M
2

N ?( )

B. [0, 4)

C. [?1, 0)

D. (?1, 0]

N ? [0, 4) ,故选 B.
)

考点:1.一元二次不等式的解法;2. 集合的运算. 2 8.若集合 A={0,1,2,x},B={1,x },A∪B=A,则满足条件的实数 x 有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B
2 2 2

【解析】∵A={0,1,2,x},B={1,x },A∪B=A,∴B? A,∴x =0 或 x =2 或 x =x,解得 x=0 或 2 或-
2

2 或 1.经检验当 x= 2 或- 2 时满足题意,故选 B.
?9.已知集合 A={y|y=(

1 2 )x +1,x∈R},则满足 A∩B=B 的集合 B 可以是( 2

)

A.{0,

1 } 2 1 } 2

B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|0<x< 【答案】C

D.{x|x>0}

【解析】由题意得 A={x|0<x≤

1 },B? A,所以选 C 项. 2

10.设全集 U=R,集合 A=(-∞,-1)∪(1,+∞),B=[-1,+∞),则下列关系正确的是( ) A.B? A B.A? ?UB C.(?UA)∪B=B D.A∩B=? 【答案】C 【解析】借助数轴逐一判断.画出数轴易知 A,B 错误;因为?UA? B,所以(?UA)∪B=B,故 C 正确;又 A∩B =(1,+∞),所以 D 错误,故选 C. 2 2 11.设集合 A={x|x -(a+3)x+3a=0},B={x|x -5x+4=0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8,则实数 a 的取值集合 为( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4} 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得 B ? {1, 4},当 a ? 3 时 A ? {3} 所以 A 之和为 8,当 a ?1 时 A

B ? {1,3, 4} ,所以符合集合 A∪B 中所有元素

B ? {1,3, 4} 符 合 题 意 . 当 a ? 4 时 A B ? {1,3, 4} 符 合 题 意 . 当 a ? 3,1, 4 时

A B ? {1,3, 4, a} .所以 1 ? 3 ? 4 ? a ? 0,? a ? 0 .故选 D.
考点:1.集合的概念.2.集合的运算.

12.已知 M={x|x2+x-6≤0},N={x||2x+1|>3},则 M∩N 等于 A.(-3,-2]∪[1,2] C.[-3,-2)∪(1,2] B.(-3,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,2]

(

)

解析:M={x|(x+3)(x-2)≤0}={x|-3≤x≤2},N={x|x<-2,或 x>1},故 M∩N=[-3, -2)∪(1,2].
答案:C 13.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? A.3 B.6

?? x, y ? x ? A, y ? A, x ? y ? A? ,则 B 中所含元素的个数为()
C.8 D.10

【答案】D 【解析】 考点:元素与集合关系的判断. 分析:由题意,根据集合 B 中的元素属性对 x,y 进行赋值得出 B 中所有元素,即可得出 B 中所含有的元素个 数,得出正确选项 解答:解:由题意,x=5 时,y=1,2,3,4, x=4 时,y=1,2,3, x=3 时,y=1,2, x=2 时,y=1 综上知,B 中的元素个数为 10 个 故选 D 点评:本题考查元素与集合的关系的判断,解题的关键是理解题意,领会集合 B 中元素的属性,用分类列举的 方法得出集合 B 中的元素的个数 14.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 都成立,则 a 的取值 范围是( ) B. 0 ? a ? 2 C. ?

A. ?1 ? a ? 1 【答案】C 【解析】

1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2

试题分析:根据定义可得不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 为 ( x ? a)[1 ? ( x ? a)] ? 1 即 x2 ? x ? a(1 ? a) ? 1 ? 0 ,此 不等式对任意实数 x 都成立, 所以 ? ? 1 ? 4[a(1 ? a) ? 1] ? 0 ? 4a2 ? 4a ? 3 ? 0 ? (2a ? 1)(2a ? 3) ? 0 , 从中 解得 ?

1 3 ? a ? ,故选 C. 2 2

考点:1.新定义;2.一元二次不等式. 15.设全集为实数集 R, M ? x x ? 4 , N ? x 1 ? x ? 3 ,则图中阴影部分表示的集合是(
2

?

?

?

?

)

A. x ?2 ? x ? 1 【答案】C 【解析】

?

?

B. x ?2 ? x ? 2

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. x x ? 2

?

?

2 试题分析:∵ x ? 4 ,∴ x ? 2 或 x ? ?2 ,∴ M ? {x | x ? 2或x ? ?2} ,

∵ N ? {x |1 ? x ? 3} ,由图可知,阴影部分表示的是 {x | x ? N 且x ? M ∴M

N} ,

N ? {x | 2 ? x ? 3} ,∴阴影部分为 {x |1 ? x ? 2} .

考点:一元二次不等式、集合的交集补集运算. 16.若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为{x| x?2

1 1 a?b 或 x? },则 的值为 ( 2 3 a

)

A.

1 6

B. ?

1 6

C.

5 6

D. ?

5 6

【答案】C 【解析】 试题分析:由题可知 ?

1 1 1 1 b 2 a ?b b 5 , 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的根,则 ? ? ? ? ,那么 ? 1? ? . 2 3 2 3 a a a 6

考点:一元二次不等式的解集,根与系数的关系. 二、填空题

17 . 已知不等式 ax2 + bx + c>0 的解集为 {x|2<x<4} ,则不等式 cx2 + bx + a<0 的解集为 ________. 解析:解法一:∵(x-2)(x-4)<0,即-x2+6x-8>0 的解集为{x|2<x<4}, ∴不妨假设 a=-1,b=6,c=-8,则 cx2+bx+a<0 1 1 即为-8x2+6x-1<0,解得{x|x>2或 x<4}.

? ?-b =6, 解法二:由题意得? a c ? ?a=8
a<0, 1 1 { x | x > x < 答案: 2或 4}

? 3 ?-b = , ?? c 4 a 1 ? ?c=8,
c<0,

b a 3 1 1 1 ∴cx2+bx+a<0 可化为 x2+cx+ c>0,即 x2-4x+8>0,解得{x|x>2或 x<4}.

ax-1 1 18.(2012 年衡水一模)已知关于 x 的不等式 x+1 <0 的解集是(-∞,-1)∪(-2,+∞),则 a=________. ax-1 解析: x+1 <0?(ax-1)(x+1)<0, 1 1 根据解集的结构可知,a<0 且a=-2,∴a=-2. 答案:-2
2 ?x +1,x≥0, 19.已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________. ?1,x<0,

解析:作出函数 f(x)的图象如图所示. 由图象可知不等式 f(1-x2)>f(2x)可化为

?1-x ≥0, ?2x≥0, ?1-x2>2x,

2

2 ?1-x >0, 或? ?2x<0.

解得 0≤x<-1+ 2或-1<x<0. ∴-1<x<-1+ 2. 答案:(-1, 2-1)
20.若 ?1, a, ? ? 0, a 2 , a ? b ,则 a 【答案】D 【解析】因为 ?1, a, ? ? 0, a , a ? b ,那么可知 b=0,a=-1,那么可知 a
2
*

? ?

b? a?

?

?

2012

? b 2012 的值为________.

? ?

b? a?

?

?

2012

? b 2012 =1,选 D

21.对于非空实数集 A,记 A ={y|? x∈A,y≥x}.设非空实数集合 M,P,满足 M? P.给出以下结论: * * * * ①P ? M ;②M ∩P≠?;③M∩P =?. 其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号). 【答案】① * 【解析】 对于①, 由 M? P 得知, 集合 M 中的最大元素 m 必不超过集合 P 中的最大元素 p, 依题意有 P ={y|y≥p}, * * * * M ={y|y≥m},又 m≤p,因此有 P ? M ,①正确;对于②,取 M=P={y|y<1},依题意得 M ={y|y≥1},此时 * * * M ∩P=?,因此②不正确;对于③,取 M={0,-1,1},P={y|y≤1},此时 P ={y|y≥1},M∩P ={1}≠?, 因此③不正确.综上所述,其中正确的结论是①. 22 . 已 知 集 合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} , 若 A

B ? R , A B ? {x | 3 ? x ? 4} , 则

a ? b 的值等于
【答案】-7 【解析】

.

试 题 分 析 : 因 为 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ? (??, ?1)

(3, ??), 而 A B ? R , A B ? {x | 3 ? x ? 4} , 所 以

2 ,即 ?1, 4 是方程 x ? ax ? b ? 0 的根,因此 ?1 ? 4 ? ?a, ?1? 4 ? b, a ? b ? ?3 ? 4 ? ?7. B ? { x | ? 1 ? x ? 4}

考点:不等式解集与方程根的关系 23.若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ? 【答案】 ?3 【解析】试题分析:因为等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ?

? ?

5 1? ? x ? ? ,则 a ? ________. 3 3?

? ?

5 1 5 1? ? x ? ? ,所以 ? , 为方程 ax ? 2 ? 3 的根, 3 3 3 3?

? 5 ??3a?2 ?3 ? ? a ? ?3 ,故填 ?3 . 即? 1 ? a?2 ?3 ? ?3
考点:绝对值不等式 绝对值方程

三、解答题 24.解下列不等式:

(1)19x-3x2≥6; (2)-3x2-2x+8≥0; (3)12x2-ax>a2(a∈R). 解:(1)解法一:原不等式可化为 3x2-19x+6≤0, 1 方程 3x -19x+6=0 的解为 x1=3,x2=6.
2

?1 ? ? 函数 y=3x2-19x+6 的图象开口向上且与 x 轴有两个交点? ?3,0?和(6,0). 1 所以原不等式的解集为{x|3≤x≤6}. 解法二:原不等式可化为 3x2-19x+6≤0 ? 1? ? ?(3x-1)(x-6)≤0?? ?x-3?(x-6)≤0. 1 ∴原不等式的解集为{x|3≤x≤6}. (2)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 4 ∵Δ=100>0,∴方程 3x2+2x-8=0 的两根为-2,3,结合二次函数 y=3x2+2x-8 的图象 4 可知原不等式的解集为{x|-2≤x≤3}. (3)由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0 ? a?? a? ?? ? ?? ?x+4??x-x?>0,
? ? ? ? a a ? a a ? ? ? x < x > - 或 x ①a>0 时,-4<3,解集为? 4 3 ? ? ? ?;

②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? ? ? a ? a ? a a ? ? ? x < x > 或 - x ③a<0 时,-4>3,解集为? 3 4 ? ? ?. ?

25. (2013 年洛阳二中月考)若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}.

(1)解不等式 2x2+(2-a)x-a>0; (2)b 为何值时,ax2+bx+3≥0 的解集为 R.

解:(1)由根与系数的关系解得 a=3.

?3 ? ? 所以不等式变为 2x2-x-3>0,解集为(-∞,-1)∪? ?2,+∞?. (2)由题意知,3x2+bx+3≥0 的解集为 R, Δ=b2-4×3×3≤0,解得 b 的取值范围是[-6,6].

26. 设 A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0} , C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} .①

A ? B = A ? B ,求 a 的值;② ?
2 2 2

A ? B ,且 A ? C = ? ,求 a 的值;③ A ? B = A ? C ? ? ,求 a 的值;

解答:解:(1)∵B={x|x -5x+6=0}={ 2,3 },A∩B=A∪B,∴A=B. ∴2 和 3 是方程 x -ax+a -19=0 的两个根,∴2+3=a,∴a=5. (2)∵??(A∩B)且 A∩C=?,∴A 与 B 有公共元素而与 C 无公共元素,∴3∈A ∴9-3a+a -19=0,解得 a=-2,或 a=5. 当 a=-2 时,A={3,-5}满足题意;当 a=5 时,A={2,3}此时 A∩C={2}不满足题意,∴a=-2 (3)A∩B=A∩C≠?,∴2∈A,∴4-2a+a -19=0 解得 a=-3,a=5. 当 a=-3 时,A={2,-5}满足题意;当 a=5 时,A={2,3}不满足题意,故 a=-3. 故答案为:5,-2,-3.
2 2

27.若 B={x|x -3x+2<0},请问是否存在实数 a,使 A={x|x -(a+a )x+a <0}满足:A∩B=A?若存在,请 求出 a 相应的取值范围;若不存在,请说明你的理由.
分析:对于不等式 x -(a+a )x+a <0,用因式分解的方法来解(x-a) (x-a )<0 好.对于条件 A∩B=A,理解为 A 是 B 的子集. 解答:解:∵B={x|1<x<2},若存在实数 a,使 A∩B=A, 则 A={x|(x-a) (x-a )<0}. (1)若 a=a ,即 a=0 或 a=1 时, 此时 A={x|(x-a) <0}=?,满足 A∩B=A,∴a=0 或 a=1; (2)若 a >a,即 a>1 或 a<0(舍)时,A={x|a<x<a },要
2 2 2 2 2 2 2 3 2

2

2

2

3

使 A∩B=A,则
2

?1≤a≤

,∴1<a≤
2



(3)若 a <a,即 0<a<1 时,A={x|a <x<a},

要使 A∩B=A,则 综上所述,当 1≤a≤

?1≤a≤2,∴a∈?. 或 a=0 时满足 A∩B=A,
2 2 3

即存在实数 a,使 A={x|x -(a+a )x+a <0}且 A∩B=A 成立. 点评:解含有参数的不等式(x-a) (x-a )<0 是本题的一个难点,应采用对 a 进行分类讨论的方法,本题体现了 分类讨论的思想方法.
2

28.已知集合 A ? {x | x ? 2x ? 3≤0}, B ? {x | x ? 2mx ? m ? 9≤0}, m ? R .
2 2 2

(1)若 m = 3,求 A B. ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

【答案】 (1) 【解析】

A B ? ?0,3?

; (2)实数 m 的取值范围为

?0, 2? .
B;

试题分析: (1)先解出集合 A、B,再把 m = 3 代入,即可求 A

(2)若 A ? B ,写出满足条件的式子,解出实数 m 的取值范围. (1)

A?x | ?1 ? x ? 3? B?x | m ? 3 ? x ? m ? 3? B ? ?x | 0 ? x ? 6?? A B ? [0,3]

4分 7分

当 m=3 时

(2)

?m ? 3 ? ?1 A ? B?? ?0 ? m ? 2 ?m ? 3 ? 3

14 分

考点:集合之间的关系、集合的运算.

29.已知集合 A= x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? ? x
2

?

?

? ?

x x ? 2 ? ?, C ? x ax ? x ? b ? 0 , 1? x 1? x ?

?

?

且 (A

B) C ? ?,( A B) C ? R ,求 a, b 的值。

【答案】 ?

?b=0 ?9a-3=0

【解析】本试题主要考查了集合的交集,并集的运算综合运用。 利用已知条件先求解 A,B,C 集合,然后利用集合的运算表示出 a,b 的值。

x x x |? ? ? 0 ? B ? {x | 0 ? x ? 1} 1? x 1? x 1? x ? A ? B ? {x | 0 ? x ? 3} (A ? B) ? C ? ?, (A ? B) ? C ? R A ? {x |1 ? x ? 3}B :| ? C ? CR (A ? B) ? {x | x ? 0或x>3}={x | ax 2 ? x+b>0} ? 0和3是方程ax 2 ? x+b ? 0的两根,则 ?b=0 ? ?9a-3=0
解:

x x x |? ? ? 0 ? B ? {x | 0 ? x ? 1} 1? x 1? x 1? x ? A ? B ? {x | 0 ? x ? 3} (A ? B) ? C ? ?, (A ? B) ? C ? R A ? {x |1 ? x ? 3}B :| ? C ? CR (A ? B) ? {x | x ? 0或x>3}={x | ax 2 ? x+b>0} ? 0和3是方程ax 2 ? x+b ? 0的两根,则 ?b=0 ? ?9a-3=0

* 30 . 集 合 U ? x x ? 10, 且x ? N , A

?

?

U ,B

U , 且 A ? B ? ?4,5? ,



,求集合 A 和 B . 【答案】 A ? ? 1,2,3,4,5?, B ? ?4,5,9,10? 【解析】用 Venn 图表示集合可使逆向运算化难为易.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?. 集合 U 转化为 U ? ?
∵ A ? B ? ?4,5? ,将 4,5 填入 A ? B 中; ∵ 不是 A ? B 中;∵ ,将 1,2,3 填入 A 中但 ,将 6,

7,8 填入 U 中但不是 A ? B 中,∴剩下的 9,10 必在 B 中但不是 A ? B 中.

1,2,3,4,5?, B ? ?4,5,9,10?. 由图观察得 A ? ?
2 31.设集合 P ? {x x ? x ? 6 ? 0} , Q ? {x 2a ? x ? a ? 3}.

(1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 P ? Q ? ?x | 0 ? x ? 3?,求实数 a 的值. 【答案】 (1) (?1,0) ? (3,??) ; (2) ?? ?,?5? ? ? ,?? ? ; (3) a ? 0 . 【解析】 试题分析:解题思路: (1)利用 P ? Q ? P ? Q ? P 解得; (2)利用 P, Q 无公共部分解得; (3) ?? 2,3? ? ?2a, a ? 3? ? ?0,3? 得 2a ? 0 .规律总结:涉及集合的子集、交集、并集等问题,要注意利用数 形结合思想借用数轴解得.注意点:在分类讨论时注意 Q ? ? 的情形. 试题解析: (1)由题意知: P ? {x ?2 ? x ? 3} , ①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 . ②当 Q ? ? 时,得 ?2 ? 2a ? a ? 3 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 0 .

?3 ?2

? ?

P ? Q ? P ,? Q ? P .

综上, a ? (?1, 0) ? (3, ??) . (2)①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ; ②当 Q ? ? 时,得 ?

?2a ? a ? 3, 3 ,解得 a ? ?5或 ? a ? 3 . 2 ?a ? 3 ? ?2或2a ? 3
3 2

综上, a ? ( ??, ?5] ? [ , ?? ) . 由 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3} ,则 a ? 0 . 考点:1.集合的运算;2.数形结合思想;3.分类讨论思想.

2 32.设不等式 x ? 5x ? 4 的解集为 A .

(1)求集合 A ; (2)设关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 的解集为 M ,若 M ? A ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)A={x|1 ≤ x ≤ 4} (2) a 的取值范围为 [1,4] . 【解析】 试题分析: (1)求 出 不 等 式 x 2 ≤ 5x-4 的 解 集 确 定 出 集 合 A , (2)若 B ? A , 求 实 数 m 的 取 值 范 围 进 要 注 意 B 是 空 集 的 情 况 , 故 此 题 分 为 两 类 求 , 是 空 集 时 , 不是空集时,比较两个集合的端点即可. 试题解析: (1)原 不 等 式 即 为 x 2 -5x+4= ( x-1 ) ( x-4 ) ≤ 0 , 所 以 1 ≤ x ≤ 4, 所 以 不 等 式 的 解 集 A={x|1 ≤ x ≤ 4}. (2)原不等式等价于 ( x ? a)(x ? 2) ? 0 若 a ? 2 ,则 M ? [a,2] ,要 M ? A ,只需 1 ? a ? 2 若 a ? 2 ,则 M ? [2, a] ,要 M ? A ,只需 2 ? a ? 4 若 a ? 2 ,则 M ? {2} ,符合 M ? A 综上所述, a 的取值范围为 [1,4] . 考点:一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 ; 集 合 中 的 参 数 取 值 问 题 ; 集 合 包 含 关 系 的 判 断 .

33.已知集合 A ? {x | x ? 2x ? 8 ? 0}, B ? {x | x ? (2m ? 3) x ? m ? 3m ? 0, m ? R}
2 2 2

(1)若 A

B ? [2, 4] ,求实数 m 的值;

(2)设全集为 R,若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围。

【答案】(1)5;(2) m ? 7 或 m ? ?2 . 【解析】 试题分析: (1)根据所给的两个集合的不等式,写出两个集合对应的最简形式,根据两个集合的交集,看出两 个集合的端点之间的关系,求出结果. (2)根据所求的集合 B,写出集合 B 的补集,根据集合 A 是 B 的补集的 子集,求出两个集合的端点之间的关系,求出 m 的值. 试题解析: (1)

?m ? 3 ? 2 A ? [?2, 4], B ? [m ? 3, m], A B ? [2, 4] ,? ? ?m ? 5 ?m ? 4
A ? CR B ?m ? ?2或m ? 3 ? 4,?m ? 7或m ? ?2

(2) CR B ? {x | x ? m ? 3或x ? m} 考点:集合之间的关系.

34. 已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3}, B ? {x | x2 ? 2 x ? 8 ? 0}, 若 C ? ( A CR B) , C ? {x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0}, 求实数 a 的取值范围. 【答案】 ? 【解析】 试 题 分 析 : 解 一 元 二 次 不 等 式 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 , 可 得 x ? 2 或 x ? ?4 , 故 B ? { x | x? 2 或 x ? ?4} ,

2 2 ?a? . 3 3

A CR B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,解一元二次不等式 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,可得当 a ? 0 时, c ? ? 显然符合要求,
当 a ? 0 时,c ? {x | a ? x ? 3a} ,当 a ? 0 时,C ? {x | 3a ? x ? a} ,后两种情况均可根据 C ? ( A CR B) 建 立关于 a 的不等式组,从而求得 a 的取值范围..

x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? x ? 2 或 x ? ?4 ,∴ B ? {x | x ? 2 或 x ? ?4} ,∴ A CR B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,
2 2 又∵ x ? 4ax ? 3a ? 0 可化为 ( x ? a)( x ? 3a) ? 0 ,

当 a ? 0 时, c ? ? 符合要求, 当 a ? 0 时, c ? {x | a ? x ? 3a} ,由 C ? ( A

?a ? ?2 2 CR B) ? ? ?0?a? , 3 ?3a ? 2 ?3a ? ?2 2 CR B) ? ? ?? ? a ? 0, 3 ?a ? 2

当 a ? 0 时, C ? {x | 3a ? x ? a} ,由 C ? ( A 综上, a 的取值范围: ?

2 2 ?a? . 3 3

考点:1.集合的关系;2.集合的运算;3.一元二次不等式.

2 2 35.设全集是实数集 R , A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? a ? 0 .

?

?

?

?

(1)当 a ? ?4 时,求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 (CU A) ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

【答案】 (1) A ? B ? ?x |1 ? x ? 2? , A ? B ? ?x | ?2 ? x ? 2? ; (2) [?1,??) . 【解析】 试题分析:本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式求解的综合运用 .(1) 因为全集是实数集 R ,

A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ,B ? x x 2 ? a ? 0 ,得到 A ? ?x |1 ? x ? 2? ,当 a ? ?4 时,B ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,
故 A ? B ? ?x |1 ? x ? 2? , A ? B ? ?x | ?2 ? x ? 2? ;(2)由于 (CR A) 进而利用数轴得到 a 的取值范围.
2 2 (1)因为 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ? ? x |1 ? x ? 2? , B ? x | x ? 4 ? 0 ? ? x | ?2 ? x ? 2? 2 分

?

?

B ? B ,得到集合的关系: B ? CU A ,

?

?

?

?

? A ? B ? ?x |1 ? x ? 2? , A ? B ? ?x | ?2 ? x ? 2?
(2)因为 Cu A ?

6分

?x | x ? 2或x ? 1? ,当 (C

U

A) ? B ? B 时, B ? CU A
8分

①当 B ? ? ,即 a ? 0 ,满足 B ? Cu A ; ②当 B ? ? 即 a

? 0 时, B ? x | ? ?a ? x ? ?a

?

?

要使 B ? Cu A ,需 ?a ? 1 ,解得 ?1 ? a ? 0 综上可得, a 的取值范围为 [?1,??) 考点:1.集合的运算;2.二次不等式.

10 分 12 分.


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