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平面向量、空间向量、立体几何


第1讲 平面向量的概念及其线性运算
【2013年高考会这样考】
1.在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三 角形法则. 2.考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.向量的有关概念

方向的量叫向量;向量的大小 (1)向量:既有大小,又有_____ 模. 叫做向量的___ 0 的向量,其方向是任意的. (2)零向量:长度为___ 1个单位 的向量. (3)单位向量:长度等于__________ 相反 的非零向量,又叫共线向 (4)平行向量:方向相同或_____ 量,规定:0与任一向量共线. 方向 相同的向量. (5)相等向量:长度相等且_____ 方向 相反的向量. (6)相反向量:长度相等且_____
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2.向量的加法与减法 向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

求两个向 加法 量和的运 算

三角形 法则 _______

(1)交换律: b+a . a+b=______ (2)结合律: (a+b)+c= a+(b+c) _____________

平行四边形 法则 ___________

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向量a加上向量b 相反向量 , 的_________ 减法 叫做a与b的差, 即a+(-b)=a -b

a-b=a+(-b)
三角形 法则 _______

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3. 向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向 λa 量的数乘,记作 ____,它的长度与方向规定如下: |λ||a| ; ①|λa|=______ ②当λ>0时,λa与a的方向_______ 相同 ;当λ<0时,λa与a的

相反 ;当λ=0时,λa=0. 方向______________
(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则 ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa+ λb. 4.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,
λa . 使b=______
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【助学· 微博】 一条规律
一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量 起点指向最后一个向量终点的向量. 一个结论

→ 1 → → 在△ABC 中,若 D 为 BC 的中点,则AD= (AB+AC). 2
一个区别 向量的平行与直线的平行不同,向量的平行包括两向量所 在直线平行和重合两种情形.

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考点自测
1.若向量a与b不相等,则a与b一定
A.有不相等的模 C.不可能都是零向量 解析 B.不共线 D.不可能都是单位向量

(

).

因为所有的零向量都是相等的向量,故只有C正

确.
答案 C 2.若m∥n,n∥k,则向量m与向量k A.共线 C.共线且同向 答案 D
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(

).

B.不共线 D.不一定共线

解析 当n=0时,k与m不共线,故选D.

→ → 3. (2012· 全国)△ABC 中, AB 边的高为 CD, 若CB=a, CA → =b,a· b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= ( ). 1 1 2 2 A. a- b B. a- b 3 3 3 3 3 3 4 4 C. a- b D. a- b 5 5 5 5 解析 由题可知|AB|2=22+12=5,因为 AC2=AD· AB,

AC2 4 5 4 4 → 4→ 4 所以 AD= AB = ,∴AD= AB= (a-b)= a- b. 5 5 5 5 5
答案 D

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→ 4. D 是△ABC 的边 AB 上的中点, 则向量CD等于 → 1→ → 1→ A.-BC+ BA B.-BC- BA 2 2 → 1→ → 1→ C.BC- BA D.BC+ BA 2 2 → → → 解析 如图,CD=CB+BD

(

).

→ 1→ → 1→ =CB+ BA=-BC+ BA. 2 2

答案

A

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5.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共

线,则λ=________. 解 析 由 题 意 知 : a + λb = k(2a - b) , 则 有 : ? ?1=2k, ? ? ?λ=-k, 1 1 ∴k= ,λ=- . 2 2 1 答案 - 2

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方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,平面向量的
概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现,有时 解答题的题设条件也以向量的形式给出,命题的出发

点主要是以平面图形为载体,借助平面几何、解析几
何等知识,考查平面向量的线性运算法则及其几何意 义以及两个向量共线的充要条件,或以向量为载体求 参数的值.

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【真题探究】? (2012· 浙江)设a,b是两个非零向量. ( A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa ).

D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
[教你审题] 思路1 根据选项逐个进行排除. 思路2 将模的运算转化为数量积的形式进行分析.

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[一般解法] (排除法)选项A,若b=-a,则等式|a+b|=|a| -|b|成立,显然a⊥b不成立; 选项B,若a⊥b且|a|=|b|,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|= |a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不成立; 选项D,若b=a,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=2|a|≠0,故 |a+b|=|a|-|b|不成立. 综上,A,B,D都不正确,故选C.

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[优美解法] (数量积法)把等式|a+b|=|a|-|b|两边平方,得 (a+b)2=(|a|-|b|)2, 即2a· b=-2|a|· |b|,而a· b=|a||b|cos〈a,b〉,

所以cos〈a,b〉=-1.又因为〈a,b〉∈[0,π],
所以〈a,b〉=π,即a,b为方向相反的共线向量.故C 正确.

[答案] C
[反思] 在高考结束后,了解到部分学生做错的主要原因 是:题中的条件“|a+b|=|a|-|b|”在处理过程中误认为“|a +b|=|a-b|”,从而得到“a⊥b”这个错误的结论.
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第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算

【2014年高考会这样考】 1.考查应用向量的坐标运算求向量的模. 2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算. 3.考查应用向量的垂直与共线条件,求解参数.

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考点梳理
1.平面向量基本定理
不共线向量 . 前提:e1,e2是同一个平面内的两个___________

有且只有一对 实数 条件:对于这一平面内的任一向量a,_____________ λ1e1+λ2e2 . λ ,λ 满足a=____________
1 2

结论:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底.

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2.平面向量的坐标表示 (1)向量的夹角
①定义:已知两个非零向量 a 和 b, → → 如右图, 作OA=a, OB=b, 则∠AOB =θ(0° ≤θ≤180° )叫做 a 与 b 的夹角.

共线同向 . ②当θ=0°时,a与b_________ 共线反向 . 当θ=180°时,a与b_________ 互相垂直 . 当θ=90°时,a与b_________ (2)平面向量的正交分解 互相垂直 的向 向量正交分解是把一个向量分解为两个_________ 量.
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(3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底,对于平面内的任一向量a,有且只 有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,a可由x,y唯一确 定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a= (x,y) .其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的 ________ 坐标.

(4)规定
相等 ,坐标_____ 相等 的向量是相等的向 ①相等的向量坐标_____ 量; ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具 体位置无关,只与其相对位置有关系.
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3.平面向量运算的坐标表示 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

(x1+x2,y1+y2) , (x1-x2,y1-y2) a+b=__________________ a-b=__________________ , 2 λx1,λy1) x2 + y λa=( ______________ ,|a|=___________. 1 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点, 则终点坐标即为向量的坐标. → (x2-x1,y2-y1) , ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=__________________
2 2 → ? x 2-x1? +?y2-y1? |AB|=____________________ 4.平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0, x1y2-x2y1=0 . a∥b?_______________
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【助学· 微博】

两点提醒
(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它 们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有 大小的信息.
(2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表 x1 y1 示成 = , 因为 x2, y2 有可能等于 0, 应表示为 x1y2-x2y1 x2 y2 =0.

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三个结论
(1)若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0. → → → (2)已知OA=λOB+μOC(λ,μ 为常数),则 A,B,C 三
点共线的充要条件是 λ+μ=1.

(3)平面向量的基底中一定不含零向量.

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考点自测
→ → → 1. (2012· 广东)若向量BA=(2,3), CA=(4,7), 则BC=( ).

A.(-2,-4)

B.(2,4)

C.(6,10)
解析

D.(-6,-10) → → → → → 由于BA=(2,3), CA=(4,7), 那么BC=BA+AC=

(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

答案

A

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2.(2013· 湘潭调研)已知向量a=(4,x),b=(-4,4),若

a∥b,则x的值为
A.0 解析 B.4 C.-4

(
D.±4

).

若a∥b,则有4×4+4x=0,解得x=-4.

答案

C

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3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), → → 且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为 ( ). ? ? 7? 1? A.?2,2? B.?2,-2? ? ? ? ? C.(3,2) D.(1,3)
解析 → → 设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3), x=2, ? ? ∴? 7 y = . ? 2 ?

? ?4=2x, → → 又 BC = 2 AD ,∴ ? ? ?3=2?y-2?,

故选

A.

答案

A
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4.(2012· 重庆)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=

(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=
A. 5 B. 10 C.2 5

(
D.10

).

解析

? ?2x-4=0, 由题意可知,? ? ?-4-2y=0,

? ?x=2, 解得? ? ?y=-2,



a+b=(3,-1),|a+b|= 10,选 B.

答案

B

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5. (2011· 北京)已知向量 a=( 3, 1), b=(0, -1), c=(k, 3). 若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.
解析 k a-2b=( 3,3),因为 a-2b 与 c 共线,所以 = 3

3 ,k=1. 3

答案

1

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方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题

【命题研究】 通过近三年高考试题分析,可以看出高考
对本部分内容的考查主要是向量的运算,意在考查考 生计算能力和利用化归思想解决问题的能力.以选择、 填空题的形式出现,一般难度不大,属容易题.

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【真题探究】 ? (2012· 安徽 ) 在平面直角坐标系中,点 3π → O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋转 4 → 后得向量OQ,则点 Q 的坐标是 ( ). A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(-4 6,2)

[教你审题] 思路1 利用向量的夹角公式和模长公式结合待
定系数法求解. 思路2 利用旋转角求解. 思路3 排除法、验证法相结合求解.

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[一般解法] 法一 → |=|OP|= 36+64=10. → 又∵|OQ|= x2+y2=10, ∴x2+y2=100.① 3 → → ∵向量OQ与OP的夹角为 π,且点 Q 在第三象限, 4 → → ?6,8? 6x+8y 3 OP· OQ ?x,y?· 2 ∴cos π= = = =- . 4 → → 100 2 10×10 |OP|· |OQ| ∴6x+8y=-50 2.② ? ? ?x= 2, ?x=-7 2, 由①②得? 或? ? ? ?y=-7 2 ?y=- 2. 又∵点 Q 在第三象限,∴点 Q 的坐标为(-7 2,- 2).
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→ 设点 Q 的坐标为(x, y), 由题意知: |OQ

法二 设∠xOP=θ, 则由题意知: ∠xOQ 3 = π+θ(如图所示), 设点 Q 的坐标为(x, 4 y) . ∵点 P 的坐标为(6,8), → → ∴OP=(6,8),且|OP|=10, 6 3 8 4 ∴cos θ= = ,sin θ= = . 10 5 10 5 ∴点 Q 的坐标为(-7 2,- 2).

3 3 3 ? 则 θ· cos π-sin θsin π= ×?- 4 4 5 ? ? 3 ? 2 7 3 ? ? × =- 2, sin θ+4π =sin θcos π+cos θsin 2 10 4 ? ? ? 2 2 2? 3 ? ? × - + × =- . 10 2? 5 2 ?
? 3 ? cos?θ+4π?=cos ? ?
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2? 4 ?- 2? 5 3 4 π= 4 5

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→ → 又∵|OQ|=|OP|=10, ? ? 3 ? 7 ? ∴x=10cos?θ+4π?=10×?-10 2?=-7 2, ? ? ? ? ? ? 3 ? 2? y=10sin?θ+4π?=10×?- ?=- 2. ? ? ? 10 ?
[答案] A

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[优美解法] 画出草图,可知点 Q 落在第三象限,则可排 6×?-7 2?+8×?- 2? 除 B、 D, 代入 A, cos∠QOP= = 62+82 -50 2 - 2 3π = ,所以∠QOP= .代入 C,cos∠QOP= 100 2 4 6×?-4 6?+8×?-2? -24 6-16 - 2 = ≠ ,故选 A. 100 2 62+82

[答案] A

[反思] 本题学生容易列二元二次方程求解,陷入繁杂的运
算,优美解法中体现了“多想少算”的命题原则,因此在解 题前一定要注意审题.
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第3讲 平面向量的数量积

【2014年高考会这样考】

1.考查平面向量的数量积的运算、化简、向量平行与垂直
的充要条件的应用. 2.以平面向量的数量积为工具,考查其他综合应用题,常 与三角函数等知识结合.

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考点梳理
1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数

|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a· 量_________ b,即a· b |a||b|cos θ ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即 =_________ 0· a=0.
(2)几何意义:数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的

|b|cos θ 的乘积. 投影________

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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. (1)数量积:a· b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.
2 (2)模:|a|= a· a= x2 + y 1 1.

x1x2+y1y2 a· b (3)夹角:cos θ= = 2 2 2 2 . |a||b| x1+y1· x2+y2 (4)a⊥b 的充要条件:a· b=0?x1x2+y1y2=0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤
2 2 2 x2 1+y1· x2+y2.

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3.平面向量数量积的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)λa· b=λ(a· b)=a· (λb)(数乘结合律); (3)(a+b)· c=a· c+b· c(分配律).

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【助学· 微博】 两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a· b>0,反之不成立(
因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a· b<0,反之不成立( 因为夹角为π时不成立). 三点提醒 (1)若a,b,c是实数,则ab=ac?b=c(a≠0);但对于向量 就没有这样的性质,即若向量a,b,c若满足a· b= a· c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一

个向量,但可以同时乘以一个向量.
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(2)数量积运算不适合结合律,即(a· b)· c≠a· (b· c),这是由于

(a· b)· c表示一个与c共线的向量,a· ( b· c)表示一个与a共线的
向量,而a与c不一定共线,因此(a· b)· c与a· ( b· c)不一定相 等.
→ (3)向量夹角的概念要领会,比如在等边三角形 ABC 中,AB → 与BC的夹角应为 120° ,而不是 60° .

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考点自测

1.(2012· 辽宁)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则

下面结论正确的是 A.a∥b
C.|a|=|b| 解析 答案

( B.a⊥b
D.a+b=a-b

).

由|a+b|=|a-b|,两边平方并化简得a· b=0,又a, B

b都是非零向量,所以a⊥b.

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2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)· b=0,则a与b的夹
角为 ( ).

A.30°
解析
2

B.60°

C.120°

D.150°

由题意得(2a+b)· b=2a· b+b2=2|a|2· cos〈a,b〉+

1 a = 0, 所以 cos 〈a, b〉 =- , 所以 a, b 的夹角为 120° , 2 故选 C.

答案

C

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→ → 3. 在 Rt△ABC 中, C=90° , AC=4, 则AB· AC等于 A.-16

(

).

解析

B.-8 C.8 D.16 AC → → → → 因为 cos A=AB,故AB· AC=|AB||AC|cos A=AC2

=16,故选 D.

答案

D

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4.(2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC → → =10,则AB· AC=________. → → → → → → → 2 → 解析 ∵2AM=AB+AC, BC=AC-AB, ∴(2AM) =(AB

→ 2 →2 → → 2 → → → 2 →2 +AC) ,BC =(AC-AB) ,∴4AB· AC=4AM -BC =- → → 64,∴AB· AC=-16.

答案

-16

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5.(2012· 新课标全国)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1, |2a-b|= 10,则|b|=________.
解析 由题意得:(2a-b)2=4|a|2+|b|2-4a· b=4+|b|2- 4×1×|b|cos 45° =10,即|b|2-2 2|b|-6=0,解得:|b| =3 2.
答案 3 2

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第4讲 平面向量应用举例

【2014年高考会这样考】
以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用性问题, 常与三角函数、解析几何等结合.

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考点梳理
1.向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量 积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题.

(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共 a=λb(b≠0) x1y2-x2y1=0 . 线向量定理:a∥b?_____________ ?______________
(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 x1x2+y1y2=0 . a⊥b?_______ a· b=0 ?_____________
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(3)求夹角问题,利用夹角公式 x1x2+y1y2 a· b 2 2 x2 x2 |a||b| cos θ=________ =_______________ 1+y1 2+y2 (θ 为 a 与 b 的夹

角 ).
2.向量在三角函数中的应用 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用 是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数 量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式 外,还应掌握三角恒等变换的相关知识.

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3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景 的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用 直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运 算是考查的主体.

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【助学· 微博】
一个手段 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转 化的主要手段是向量的坐标运算.

两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象,向 量本身是一个数形结合的产物,在利用向量解决问题时, 要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻 辑思维的结合.

(2)要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于
应用向量的有关性质解题.
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考点自测
→ → 1 .平面上有四个互异点 A 、 B 、 C 、 D ,已知 ( DB + DC - → → → 2DA)· (AB-AC)=0, 则△ABC 的形状是 ( ).
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 → → → → → 解析 由(DB+DC-2DA)· (AB-AC)=0, → → → → → → 得[(DB-DA)+(DC-DA)]· (AB-AC)=0, → → → → 所以(AB+AC)· (AB-AC)=0. →2 →2 → → 所以|AB| -|AC| =0,∴|AB|=|AC|, 故△ABC 是等腰三角形. 答案 B
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2.(2013· 银川模拟)若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则 函数f(x)=(xa+b)· (xb-a)是 ( ). A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数

C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数
解析 函数f(x)=x2a· b+(b2-a2)x-a· b, ∵a⊥b,∴a· b=0,∴f(x)=(b2-a2)x.

∵|a|≠|b|,∴b2-a2≠0,
∴f(x)为一次函数且是奇函数.故选A. 答案 A

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突破3个考向

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3.已知向量 a=(cos θ,sin θ),b=( 3,-1),则|2a-b| 的最大值、最小值分别是 ( ).

A.4,0
解析

B.16,0

C.2,0

D.16,4

设a与b夹角为α,∵|a|=1,|b|=2,

∴|2a-b|2=4a2-4a· b+b2=8-4|a||b|cos α=8-8cos α, ∵α∈[0,π],∴cos α∈[-1,1],∴8-8cos α∈[0,16], 即|2a-b|2∈[0,16],∴|2a-b|∈[0,4].

答案

A

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

4.(2012· 江西)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的 |PA|2+|PB|2 中点, 点 P 为线段 CD 的中点, 则 =( ). |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10

解析 如图,以 C 为原点,CB,AC 所 在直线为 x 轴, y 轴, 建立平面直角坐标 ?b a? 系.设 A(0,a),B(b,0),则 D?2,2?, ? ? ?b a? P?4,4?,由两点间的距离公式可得|PA|2 ? ? 2 2 2 2 b2 9a2 9 b a b a = + , |PB|2 = + , |PC|2 = + . 所 以 16 16 16 16 16 16 10 2 2 |PA|2+|PB|2 16?a +b ? = 2 2 =10. |PC|2 a +b 16 答案 D
抓住4个考点 突破3个考向

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5.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y) → → 满足OP· OA=4, 则点 P 的轨迹方程是_______________.

解析
答案

→ → 由OP· OA=4,得(x,y)· (1,2)=4,即 x+2y=4.
x+2y-4=0

抓住4个考点

突破3个考向

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规范解答8——高考中平面向量与三角函数的交汇问题
【命题研究】 通过近三年高考试题分析,考查平面向量

的有关知识,常与三角函数、解析几何结合在一起在
解答题中出现,主要是以三角函数、解析几何等知识 为载体,考查数量积的定义、性质等.若出现平面向 量与三角函数的交汇问题,题目难度中等.

抓住4个考点

突破3个考向

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【真题探究】 ? (本小题满分 14 分)(2012· 江苏)在△ABC 中, → → → → 已知AB· AC=3BA· BC. (1)求证:tan B=3tan A; 5 (2)若 cos C= ,求 A 的值. 5 [教你审题] 一审 把数量积转化为三角形边、角关系;

二审 利用正弦定理进行边化角; 三审 利用在△ABC中tan(A+B)=-tan C.

抓住4个考点

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[规范解答] (1)证明

→ → → → 因为AB· AC=3BA· BC,

所以 AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B,(2 分) AC BC 即 AC· cos A=3BC· cos B,由正弦定理知 = , sin B sin A 从而 sin Bcos A=3sin Acos B,(5 分) 由上式可知 cos A>0,cos B>0,(7 分) 所以 tan B=3tan A.

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(2)解

5 因为 cos C= ,0<C<π, 5
2

2 5 所以 sin C= 1-cos C= ,(9 分) 5 从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2, tan A+tan B 即 tan(A+B)=-2,亦即 =-2, 1-tan Atan B 4tan A 1 由(1)得 =-2,解得 tan A=1 或- ,(12 分) 3 1-3tan2A π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A= .(14 分) 4
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

[阅卷老师手记] (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题, 要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数 式. (2)本题难度中档偏下,大部分考生能较准确地做出来,

得到满分.

抓住4个考点

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求平面向量与三角函数的交汇问题的一般步
骤: 第一步:将向量间的关系式化成三角函数式;

第二步:化简三角函数式;
第三步:求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性 质; 第四步:明确表述结论.

抓住4个考点

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第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
【2014年高考会这样考】
1.考查空间几何体三视图的识别与判断. 2.三视图和其他的知识点结合在一起命题.

抓住4个考点

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考点梳理
1.空间几何体的结构特征 (1)多面体 相等 ,上下底面是____ 全等且____ 平行 平行且_____ ①棱柱:棱柱的侧棱都____ 的多边形. 公共顶点 ②棱锥:棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个_________

的三角形.
③棱台:棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底 面是相似多边形.
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(2)旋转体 任一直角边 旋转得到. ①圆锥可以由直角三角形绕其___________
②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点 连线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得 到.

③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.

抓住4个考点

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2.三视图 (1)三视图的名称 正视图 、_______ 侧视图 、_______ 俯视图 . 几何体的三视图包括_______

(2)三视图的画法
①画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线. 正前 ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____

方、_____ 正左 方、_____ 正上 方观察几何体得到的正投影图.
③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注意它 们的组成方式,特别是它们的交线位置.

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突破3个考向

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3.直观图 斜二测 画法来画,其规则是: 空间几何体的直观图常用_______ (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′ 垂直 . 轴的夹角为45°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面________ 平行于 (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别______ 坐标轴 .平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度__ 不 _______ 变 ,平行于y轴的线段长度在直观图中变为___________ 原来的一半 . ___

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【助学· 微博】 两个重要概念 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是

正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正
多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面 正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等 的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边 形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.

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三个规则 三视图应遵循的规则 (1)画法规则:长对正、高平齐、宽相等. (2)摆放规则:侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图 的正下方. (3)线条的规则:可见轮廓线和棱用实线画出,不可见轮 廓线和棱用虚线画出.

抓住4个考点

突破3个考向

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考点自测
1.下列说法正确的是 ( ).

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥

D.棱台各侧棱的延长线交于一点
答案 D

抓住4个考点

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2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一 个 ( ).

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不对

解析 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不 一样,可以判断是棱台.

答案 A
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3.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则 这个几何体一定是 A.圆柱 C.球体 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 ( ).

解析
答案

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩
C

形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.

抓住4个考点

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4.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ( ).

解析 球、正方体的三视图形状都相同,大小 均相等,首先排除选项A和C.对于如图所示三 棱锥O-ABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA =OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小

均相等,故排除选项B.不论圆柱如何放置,其
三视图的形状都不会完全相同,故答案选D.

答案 D

抓住4个考点

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5. 如图,过BC的平面截去长方体的一

部分,所得的几何体__________棱
柱(填“是”或“不是”). 解析 答案 以四边形A′ABB′和四边形D′DCC′为底即知所得几 是

何体是直四棱柱.

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热点突破17——快速突破空间几何体三视图的判断
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,对空间几何 体的三视图的判断主要考查三个方面:(1)已知几何体, 判断三视图;(2)已知几何体三视图中的两个视图,判 断第三个视图;(3)由三视图判断或画出几何体.题型

均以选择题的形式出现,难度不大.

抓住4个考点

突破3个考向

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【真题探究】? (2011· 山东)如图所示,长和宽 分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:

①存在三棱柱,其正视图、俯视图如右图
所示;②存在四棱柱,其正视图、俯视图 如右图;③存在圆柱,其正视图,俯视图 如图. 其中真命题的个数是 ( ).

A.3

B.2

C.1

D.0

抓住4个考点

突破3个考向

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[教你审题] 只要想到“横躺”的柱体,命题就不难判断. [解法] 底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形

侧面放置在水平面上时,它的正视图和俯视图可以是全等
的矩形,因此①正确;若长方体的高和宽相等,则存在满 足题意的两个相等的矩形,因此②正确;当圆柱侧放时(

即侧视图为圆时),它的正视图和俯视图可以是全等的矩
形,因此③正确. [答案] A [反思] 三视图,关键在“视”.要弄清楚“怎么视”,“从何 角度视”,“看”到的“平面”是什么.
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第2讲 空间几何体的表面积与体积
【2014年高考会这样考】

1.以三视图为载体,考查空间几何体的表面积与体积.
2.利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积.

抓住4个考点

突破3个考向

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考点梳理
1.柱体、锥体、台体的侧面积和表面积

(1)旋转体的侧面展开图的形状
名称 侧面展开图形状 侧面展开图

圆柱

矩形

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圆锥

扇形

圆台

扇环

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(2)多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和.

(3)旋转体的侧面积和表面积
①若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则 2πr(r+l) 2πrl ,S表=___________. S侧= ______

②若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 πr(r+l) . S侧= _____ πrl ,S表=__________
③若圆台的上下底面半径分别为r′、r,则

π(r′2+r′l+rl+r2) . π(r+r′)l ,S表= __________________ S侧= __________
4πR2 ④若球的半径为R,则它的表面积S= _______.
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

2.几何体的体积公式 πr2h 所有棱柱和圆柱的体积公式可 (1)圆柱的体积公式 V= _____.

Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 以统一为 V 柱= ___
1 2 1 (2)圆锥的体积公式 V= πr h, 棱锥的体积公式 V= Sh.圆锥 3 3 1 V 锥 = Sh ,其中 S 为底面 和棱锥的体积公式可以统一为 __________ 3 积, h 为高.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

1 (3)圆台的体积公式为 V= π(r′2+r′r+r2)h,棱台的体积 3 1 公式为 V= (S′+ SS′+S)h,圆台和棱台的体积公式可 3 1 以统一为 V 台= (S′+ S′S+S)h, 其中 S′、 S 分别为上、 3 下底的底面积,h 为高.
4 3 πR 3 (4)球的体积公式为 V=______.

抓住4个考点

突破3个考向

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【助学· 微博】 两点提醒 (1)关于公式 要注意几何体的表面积公式和体积公式中各个数据的准确

性,不能用错公式.
(2)关于组合体转化 对于生产生活中遇到的物体,可以转化为由简单的几何体

组合而成,它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几
何体的表面积的和与体积的和.

抓住4个考点

突破3个考向

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两个关注点 与球有关问题的关注点

(1)“切”“接”问题
一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问 题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. (2)特殊图形可以用补图的方法解答.

抓住4个考点

突破3个考向

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考点自测
1.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那 么这个圆柱的侧面积是
A.4πS
解析

(
C.πS 2 3 D. πS 3

).

B.2πS

设圆柱底面圆的半径为 r,高为 h,则 r=

S , π

又 h= 2πr=2 πS ,∴S 圆柱侧=(2 πS)2=4πS.

答案 A

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

2.(2012· 湖北)已知某几何体的三视图
如图所示,则该几何体的体积为 (
8π A. 3 10π C. 3 B.3π D.6π
2

).

1 解析 由三视图可知该几何体的体积 V= π×1 ×2 + 2 ×π×12×2=3π.

答案 B
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

3.(2012· 安徽)某几何体的三视图如图所示,该几何体的 表面积是________.

抓住4个考点

突破3个考向

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解析

通过三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直 1 四棱柱. 所以该几何体的表面积是 2× ×(2+5)×4+2×4 2 +4×5+4×4+4×5=92.

答案

92

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突破3个考向

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4.(2012· 上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半 圆面,则该圆锥的体积为________.
解析 因为半圆的面积为 2π,所以半圆的半径为 2,底 面圆的周长为 2π,所以圆锥的母线长为 2,底面圆的半 1 3 2 径为 1,所以圆锥的高为 3,体积为 π×1 × 3= π. 3 3
答案 3 π 3

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

5.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥 O-ABCD 的体积为________.

解析

依题意棱锥 O-ABCD 的四条侧

棱长相等且均为球 O 的半径, 如图连接 AC,取 AC 中点 O′,连接 OO′.易知 AC = AB2+BC2=4 3,故 AO′=2 3.在 Rt△OAO′ 中 , OA = 4 , 从 而 OO′ = 1 4 -12=2.所以 VO-ABCD= × 2× 6× 2 3 3
2

=8 3.
答案 8 3
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方法优化10——巧妙求解空间几何体的表面积和体积
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,主要考查已 知三视图,还原几何体,求几何体的表面积和体 积.题型为选择题或填空题,题目难度中等.

抓住4个考点

突破3个考向

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【真题探究】? (2012· 广东)某几何体的三视图如图所示, 它的体积为 ( ).

抓住4个考点

突破3个考向

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A.12π
C.57π 一个圆柱和圆锥的组合体. 第2步 利用基本公式求解.

B.45π
D.81π

[教你审题] 第1步 还原几何体,由三视图可知,该几何体是

[优美解法 ] 由三视图可知,该几何体是由底面直径为 6,高为 5 的圆柱与底面直径为 6,母线长为 5 的圆锥组成的组合体, 1 2 因此,体积为 V=π×3 ×5+ ×π×32× 52-32= 57π. 3 [答案] C

[反思] (1)对组合体的三视图还原为几何体的问题,要从接触面 突破;(2)对组合体的表面积、体积可以分割计算;(3)在三视

图向几何体的转化过程中,有关数据要正确对应.
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第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【2014年高考会这样考】 1.考查空间线面平行、垂直关系的判断. 2.考查空间线面平行、垂直关系与命题或充要条件相结合.

抓住4个考点

突破3个考向

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考点梳理
1.平面的基本性质
两点 在一个平面内,那么这条 (1)公理1:如果一条直线上的_____ 直线在此平面内. 不在一条直线上 的三点,有且只有一个平面. (2)公理2:过_______________

一个 公共点,那么它们 (3)公理3:如果两个不重合的平面有_____ 有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理2的三个推论: 推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面; 相交 直线有且只有一个平面; 推论2:经过两条_____ 平行 直线有且只有一个平面. 推论3:经过两条_____
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2.空间中两直线的位置关系
(1)空间两直线的位置关系
? 平行 ? ?_____ ?共面直线? 相交 ?_____ ? ? ?异面直线:不同在_____ 任何 一个平面内 ?

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直

锐角(或直角) 叫做 线 a′∥a, b′∥b, 把 a′与 b′所成的_____________
异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
? π? ?0, ? 2? ? ②范围:_______.
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(3)平行公理和等角定理 同一条直线 的两条直线互相平行. ①平行公理:平行于___________ ②等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那 相等或互补 . 么这两个角___________ 3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 相交 、平行 (1)直线与平面的位置关系有_____ _____、在平面内 ________三种

情况.
(2)平面与平面的位置关系有_____ 平行 、_____ 相交 两种情况.

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【助学· 微博】 一个理解 异面直线概念的理解

(1)“不同在任何一个平面内”,指这两条直线不能确定任 何一个平面,因此,异面直线既不相交,也不平行. (2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直 线为异面直线. 两种判定方法 异面直线的判定方法 (1)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平 面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可 能共面,从而可得两直线异面.
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考点自测
1.下列命题是真命题的是 A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 ( ).

C.一条直线和一个点能确定一个平面
D.梯形一定是平面图形 解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间中

两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经
过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确. 答案 D

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

2.和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A.异面 C.平行 B.相交 D.异面或相交

(

).

答案
A.0 答案

D
( ). B.1 D C.0或1 D.1或3

3.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为

4.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为 ( ). A.60° 解析 答案 D
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

B.120°

C.30°

D.60°或120°

由等角定理可知β=60°或120°.

5.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二 条棱中共有异面直线________对.
解析 如图所示,与 AB 异面的直线有

B1C1 ,CC1,A1D1,DD1 四条,因为各棱具有
相同的位置且正方体共有 12 条棱,排除 12×4 两棱的重复计算,共有异面直线 = 2 24( 对).

答案 24
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热点突破18——准确判断空间点、线、面的位置关系
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,主要结合线 线、线面和面面平行与垂直的判定和性质考查点、线、 面的位置关系,题目多为中、低档题,主要以选择题

或填空题的形式出现.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

【真题探究】? (2012· 浙江)设l是直线,α,β是两个不同的平 面 A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β [教你审题] 根据空间线面、面面、平行判定性质、垂直判 ( ).

定性质逐个进行判断.注意空间位置关系的各种可能情
况.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

[解法] 若l∥α,l∥β,则α,β可能相交,故A错;若l∥α, 则平面α内必存在一直线m与l平行,又l⊥β,则m⊥β,又 m?α,故α⊥β,故B对;若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l?β,故C

错;若α⊥β,l∥α,则l与β关系不确定,故D错.
[答案] B [反思] 对于空间点、线、面的位置关系的判定与应用问题,

必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判
断,特别是对于选择题,显得更为有效.

抓住4个考点

突破3个考向

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第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
【2014年高考会这样考】 1.考查判定线面的位置关系.

2.以多面体为载体,考查线面平行、面面平行的判定或探究.

抓住2个考点

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考点梳理
1.直线与平面平行 平面内 的一条直线平 (1)判定定理:平面外一条直线与此_______ 行,则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行).即: b?α ,且a∥b?_______. a∥α a?α,_______ a∥β 其他判定方法;α∥β,a?α?_______. (2)性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线

交线 与该直线平行(线面平行?线 的任一平面与此平面的_____ a∥l 线平行).即:a∥α,a?β,α∩β=l?________.
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

2.平面与平面平行 相交 直线与另一个平 (1)判定定理:一个平面内的两条______ 面平行,则这两个平面平行(线面平行?面面平行).即: α∥β a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β? ________.

(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,
交线 平行.即:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b? 那么它们的______ a∥b ________.

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

【助学· 微博】 一个转化关系 平行问题的转化关系

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

两点提醒
(1)在推证线面平行时,必须满足三个条件:一是直线a 在已知平面外;二是直线b在已知平面内;三是两直线 平行. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知

直线的平面与已知平面相交,则该直线与交线平行.

抓住2个考点

突破3个考向

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考点自测
1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关 系是 ( ).

A.平行
C.异面 解析 答案 D

B.相交
D.以上均有可能

借助长方体模型易得.

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

2.在空间中,下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 解析

(

).

选项A,平行直线的平行投影可以依然是两条平行

直线;选项B,两个相交平面的交线与某一条直线平行,

则这条直线平行于这两个平面;选项C,两个相交平面可
以同时垂直于同一个平面;选项D,正确. 答案 D
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

3.(2013· 长沙模拟)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线
b与平面α的位置关系是 A.b?α C.b?α或b∥α 解析 B.b∥α D.b与α相交或b?α或b∥α ( ).

可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与α

相交或b?α或b∥α时,均满足直线a⊥b,且直线a∥平面α
的情况,故选D. 答案 D

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

4.(2012· 四川)下列命题正确的是

(

).

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个 平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面

的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 解析 A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但

两条母线相交;B错误,△ABC的三个顶点中,A、B在α的同
侧,而点C在α的另一侧,且AB平行于α,此时可有A、B、C三 点到平面α距离相等,但两平面相交;D错误,如教室中两个相 邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选C. 答案 C
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则 BD1与平面ACE的位置关系为________. 解析 如图.连接AC、BD交于O点,连接 OE,因为OE∥BD1,而OE?平面ACE, BD1?平面ACE,所以BD1∥平面ACE. 答案 平行

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

规范解答12——平行关系证明题的规范解答

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,对线面平行、 面面平行的证明一直受到命题人的青睐,多以多面体

为载体,证明线面平行和面面平行,题型为解答题,
题目难度不大.

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

【真题探究】? (本小题满分12分)

(2012· 山东)如图,几何体E-
ABCD是四棱锥,△ABD为正三角 形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120°,M为线段AE

的中点,求证:DM∥平面BEC. [教你审题] 一审 取BD的中点O,证明BD⊥EO;
二审 取AB中点N,证明平面DMN∥平面BEC;再利用面面 平行的性质证明线面平行.

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

[规范解答] 证明 EO.

(1)如图(a),取BD的中点O,连接CO,

由于CB=CD,所以CO⊥BD,(2分)

又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC?平面EOC, 所以BD⊥平面EOC, 所以BE=DE. (4分) (6分) 图(a)

因此BD⊥EO,又O为BD的中点,

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

(2)法一

如图(b),取AB的中点N,连接DM,DN,MN,

图(b) 因为M是AE的中点, 所以MN∥BE. 又MN?平面BEC,BE?平面BEC, ∴MN∥平面BEC. (8分) 又因为△ABD为正三角形, 所以∠BDN=30°, 图(b) 又CB=CD,∠BCD=120°, 因此∠CBD=30°, 所以DN∥BC. (10分) 又DN?平面BEC,BC?平面BEC,所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC, 又DM?平面DMN,所以DM∥平面BEC. (12分)
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

法二

如图(c),延长AD,BC交于点F,连接EF.

因为CB=CD,∠BCD=120°, 所以∠CBD=30°. 因为△ABD为正三角形, 所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,

因此∠AFB=30°, 1 所以 AB= AF. 2

(8 分)

图(c)
(10 分)

又 AB=AD,所以 D 为线段 AF 的中点.连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点,因此 DM∥EF. 又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC, 所以 DM∥平面 BEC.
抓住2个考点 突破3个考向

(12 分)
揭秘3年高考

[阅卷老师手记] 解答此类问题,以下几点易造成失分: (1)对题目已知条件分析不深入,不能将已知条件与所证 问题联系起来; (2)识图能力差,不能观察出线、面之间的隐含关系,不 能作出恰当的辅助线或辅助面; (3)答题不规范,跳步、漏步等.

抓住2个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线; 第二步:证明线线平行; 第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行;

第四步:反思回顾.检查关键点及答题规范.
证明线面平行问题的答题模板(二) 第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面; 第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交 直线分别与所证平面平行;

第三步:证明所作平面与所证平面平行;
第四步:转化为线面平行; 第五步:反思回顾.检查答题规范.
抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质
【2014年高考会这样考】 1.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象 能力、逻辑思维能力,考查转化与化归思想的应用能力.

2.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,运用公
理、定理和已获得的结论,证明一些有关空间中线面垂直 的有关性质和判定定理的简单命题.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.直线与平面垂直 任意 一条直线都垂直,则直 (1)定义:若直线l与平面α内的_____
线l与平面α垂直.

相交 直线都垂 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条_____ 直,则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直).即: l ⊥α a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P? ________. 平行 .即: (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线_____
a⊥α,b⊥α? _____. a∥b
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二 面角,就说这两个平面互相垂直.

垂线 ,则这两个 (2)判定定理:一个平面过另一个平面的_____ α⊥β 平面垂直.即:a?α,a⊥β? ___________. 交线 (3)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于_____ 垂直 .即:α⊥β,a?α,α∩β=b, 的直线与另一个平面_____ a⊥β a⊥b? ________.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

【助学· 微博】
一个转化

垂直问题的转化关系

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

四种方法
证明线面垂直的方法:判定定理、平行线垂直平面的传 递性(a∥b,b⊥α?a⊥α)、面面垂直的性质定理、面面

平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β).

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点自测

1.已知直线l⊥α,直线m∥β,下列命题中正确的是 ( A.α⊥β?l⊥m C.l⊥m?α∥β 解析 答案 B.α⊥β?l∥m D.l∥m?α⊥β

).

由l∥m,l⊥α?m⊥α,又m∥β,∴m一定平行于β D

内的一条直线b.∴b⊥α,∴α⊥β.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

2.m、n是空间中两条不同直线,α、β是两个不同平面,下面有
四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 其中真命题的是 ( ). A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析 ①中,由n∥β,α∥β得n∥α或n?α,又m⊥α,∴m⊥n, 故①正确;②中,可能n?β,故②错误;③中,直线n可能与 平面β斜交或平行,也可能在平面β内,故③错;④中,由 m∥n,m⊥α,可得n⊥α,又α∥β可得n⊥β,故④正确. 答案 B

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

3.(2012· 安徽)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内, 直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ).

C.充分必要条件
解析

D.既不充分也不必要条件

若α⊥β,又α∩β=m,b?β,b⊥m,根据两个平面

垂直的性质定理可得b⊥α,又因为a?α,所以a⊥b;反过 来,当a∥m时,因为b⊥m,一定有b⊥a,但不能保证 b⊥α,即不能推出α⊥β.

答案

A

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

4.(2012· 浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中 ( ).

A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD
与BC”均不垂直 解析 对于 AB⊥CD, 因为 BC⊥CD, 可得 CD⊥平面 ACB,
因此有 CD⊥AC.因为 AB=1,BC= 2,CD=1,所以 AC =1,所以存在某个位置,使得 AB⊥CD.

答案 B
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

5. 如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则
图中直角三角形的个数为________. 解析 由线面垂直知,图中直角三角形为 4

4个.
答案

抓住4个考点

突破3个考向

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规范解答13——垂直关系综合问题的规范解答
【命题研究】 通过分析近几年各省市的高考试题可以看 出,高考对线面垂直、面面垂直的判定和性质的考查

每年都有,主要以解答题形式出现,考查线面位置关
系的相互转化,难度适中.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

【真题探究】? (本小题满分 12 分) (2011· 辽宁)如图,四边形 ABCD 为正 方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA, 1 QA=AB= PD. 2

(1)证明:PQ⊥平面DCQ; (2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值. [教你审题] (1)证明PQ⊥DC,PQ⊥QD,进而可得PQ⊥平 面DCQ; (2)设出正方形的边长为a,分别计算两个棱锥的体积,再

求体积的比值.
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

[规范解答](1)证明

由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形,

因为 QA⊥平面 ABCD,QA?平面 PDAQ, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ, 又 PQ?平面 PDAQ,所以 PQ⊥DC. 2 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= PD, 2 则 PQ⊥QD. 又 DC∩QD=D, 所以 PQ⊥平面 DCQ.
抓住4个考点 突破3个考向

(2 分)

(5 分)

(6 分)
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(2)解

设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高, (8 分)

1 3 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a . 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高, 2 2 而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 a , 2 1 3 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a . 3

(11 分)

故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. (12 分)

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

[阅卷老师手记] 解答此类问题,以下几点易造成失分: (1)解题时忽视各种垂直间的转化,从而造成思路受阻; (2)缺乏空间想象能力,找不出应该垂直的线和面;

(3)答题过程书写不规范,如在证明线面垂直时忽视了对“
平面内两条相交直线”的叙述,因此,在复习中要重视对 基础知识的积累、解题过程的规范,并且要善于使用数学

符号进行表达.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

证明线面垂直问题的答题模板
第一步:作(找)出所证线面垂直中的平面内的两条相交直线; 第二步:证明线线垂直; 第三步:根据线面垂直的判定定理证明线面垂直; 第四步:反思回顾,检查解题过程是否规范.

抓住4个考点

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第6讲 空间向量及其运算
【2014年高考会这样考】 1.考查空间向量的线性运算、数量积和空间向量基本定理 及其意义. 2.利用向量的数量积判断两空间向量的平行与垂直关系.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.空间向量的有关概念

大小 和_____ 方向 的量叫做空间 (1)空间向量:在空间中,具有_____
向量.

相同 且模_____ 相等 的向量. (2)相等向量:方向_____ (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量. ___________ 平行于同一个平面 的向量. (4)共面向量:_________________

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在 a=λb . 实数λ,使得__________
推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件 ① → → 是:OP=OA+ta

其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l 上 → → → → → 取AB=a,则①可化为OP=OA+tAB或OP → → (1 - t ) t =_______OA+__OB.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

(2)共面向量定理 xa+yb ,其中 x,y∈R,a, 共面向量定理的向量表达式:p=_______ → → → b 为不共线向量,推论的表达式为MP= xMA+ yMB或对空间
→ → → → → → → OM + xMA + yMB 任意一点 O, 有OP= ________________或OP= xOM+ yOA+

→ 1 zOB,其中 x+y+ z= __. (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p,存 xa+yb+zc ,把{a,b, 在有序实数组{x,y, z},使得 p= ___________ c}叫做空间向量的一个基底.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

3.空间向量的线性运算及运算律 (1)定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法 → → → → → 与数乘向量运算,如下:OB=OA+AB=a+b;BA=OA → → -OB=a-b;OP=λa(λ∈R).

b+a ; (2)运算律:①加法交换律:a+b=______ a+(b+c) ; ②加法结合律:(a+b)+c=__________ λa+λb . ③数乘分配律:λ(a+b)=_________

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

4.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念: ①两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间任取 → → 一点 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b

〈 a,b〉,其范围是___________________ 0≤〈a,b〉≤π , 的夹角,记作 _______
π 互相垂直 ,记作 a⊥b. 若〈a,b〉= ,则称 a 与 b_________ 2 ②两个向量的数量积:已知空间两个非零向量 a,b,则

|a||b|· cos〈a,b〉 叫做向量 a,b 的数量积,记作a· b, __________________ ___ a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 . 即______________________
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

(2)空间向量数量积的运算律

λ(a· b) ; ①结合律:(λa)· b=________

b· a ; ②交换律:a· b=______
a· b+a· c . ③分配律:a· (b+c)=__________

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

【助学· 微博】 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是:

(1)适当的选取基底{a,b,c};
(2)用a,b,c表示相关向量; (3)通过运算完成证明或计算问题.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式: ① a= λb(b≠ 0)? a∥ b; ②空间任意两个向量, 共线的充要条件是存在 λ, μ∈ R 使 λa=μb. → → → → ③若OA, OB不共线, 则 P, A, B 三点共线的充要条件是OP= λOA → + μOB且 λ+ μ= 1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理 进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线 向量定理和共面向量定理是证明三点共线、 线线平行、 四点共面、 线面平行的工具,三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方 法完成几何证明问题的完美“嫁接”.
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考点自测
1.下列有关空间向量的四个命题中,错误命题为 ( ).

A.空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底 B.向量与平面平行,则向量所在的直线与平面平行 C.平面α的法向量垂直于α内的每个向量

D.空间中的任一非零向量都可唯一地表示成空间中不共
面向量的线性组合的形式 解析 答案 若向量与平面平行,则向量所在的直线与平面平行 B
抓住4个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

或在平面内.

2. (人教 A 版教材习题改编)下列命题: → → → ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+ → DA= 0; ② |a|- |b |= |a+ b|是 a、b 共线的充要条件; ③若 a、 b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; → ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、 B、 C,若OP= → → → xOA+ yOB+ zOC(其中 x、 y、 z∈ R),则 P、 A、 B、 C 四 点共面.
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其中不正确命题的个数是 A.1 解析 B.2 C.3 D.4 ①中四点恰好围成一封闭图形,正确;

(

).

②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|; ③中a、b所在直线可能重合; ④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面. 答案 C

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突破3个考向

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3. (2013· 威海模拟 )已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,点 → → → → E 为上底面 A1C1 的中心,若AE=AA1+ xAB+ yAD,则 x、 y 的值分别为 A. x= 1, y= 1 B. x= 1, y= 1 2 ( ).

1 1 1 C. x= , y= D. x= , y= 1 2 2 2 → → → → 1 → 解析 如图,AE=AA1+A1E=AA1+ A1C1 2
→ 1 → → =AA1+ (AB+AD). 2

答案

C
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4.a=λb(λ是实数)是a与b共线的 A.充分不必要条件 C.充要条件
解析

(

).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
则 a∥b,a≠λb.

? ?b= 0, a=λb? a∥b,但? ? ?a≠ 0,

答案 A

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→ → → 5.在四面体 OABC 中,OA= a,OB= b,OC= c,D 为 BC → 的中点, E 为 AD 的中点,则OE= ________(用 a,b, c 表示 ).

→ 1→ 1→ 解析 如图,OE= OA+ OD 2 2 1→ 1→ 1→ 1 1 1 = OA+ OB+ OC= a+ b+ c. 2 4 4 2 4 4
答案 1 1 1 a+ b+ c 2 4 4

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方法优化11——客观题中空间向量的应用
【命题研究】 通过分析近三年的高考题可以看出,运用 空间向量的数量积与坐标运算来解决立体几何问题仍 是高考考查的重点和热点.一般情况下与立体几何中 证明空间中的位置关系,求空间角及距离一起考查, 多为解答题,若单独命题,一般考查空间向量基本定 理、线性运算、数量积运算、坐标运算,多以选择题、 填空题的形式出现.

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【真题探究】? (2012· 陕西)如图所示,在空间
直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1, CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹 角的余弦值为
5 A. 5 5 B. 3 2 5 C. 5

(

).
3 D. 5

[教你解题 ] 思路 1 取从同一个顶点出发两两垂直的三个 → → 向量为基向量,用基向量表示出向量BC1和AB1,求其数量 积和模,代入夹角公式. → → 思路 2 ①建空间坐标系; ②求相关点坐标; ③计算BC1、 AB1 坐标;④代入夹角公式.
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→ → → [一般解法 ] 设CA= a,CC1= b,CB= c, → → → → → → ∵CA⊥CC1,CA⊥CB,CC1⊥CB, ∴ a· b= 0, a· c= 0, b· c= 0. → → → → → → ∵AB= c- a,BB1=CC1= b,∴AB1=AB+BB1= c- a+ b. → → → 又∵BC1= b- c,∴BC1· AB1= (b- c)· (c- a+ b) = b· c- a· b+ b2- c2+ a· c- b· c = b2- c2,∵ CA= CC1= 2CB, ∴ |a|= |b |= 2|c|, → → ∴BC1· AB1= 3|c|2.
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→2 又 AB1= (c- a+ b)2= c2+a2+ b2- 2a· c+2b· c- 2a· b= c2+ a2+ b2= 9c2, →2 BC1= (b- c)2=b2+c2- 2b· c=b2+ c2=5c2. → → ∴ |AB1|= 3|c|,|BC1|= 5|c|, → → → → BC1· AB1 5 ∴ cos〈BC1,AB1〉= = >0, → → 5 |BC1||AB1| → → ∴向量BC1与 AB1夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角. 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5
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[优美解法 ] 不妨令 CB= 1,则 CA= CC1= 2. 可得 O(0,0,0), B(0,0,1), C1(0,2,0), A(2,0,0), B1(0,2,1), → → ∴BC1= (0,2,- 1),AB1= (- 2,2,1), → → 4- 1 → → BC1· AB1 1 5 ∴ cos〈BC1,AB1〉= = = = >0. → → 5 5 × 9 5 |BC1||AB1| → → ∴BC1与AB1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, 5 ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5 [答案] A
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[备考 ] 用空间向量求角的大小的常用方法 (1)线线角:设两异面直线 a,b 所成的角为 θ,m,n 分别是直 |m· n| 线 a,b 的方向向量,则有 cos θ= |cos〈 m, n〉|= .异面 |m||n| 直线所成角的范围是(0° ,90° ],因此,如果按照公式求出来的 向量的数量积是一个负数, 则应当取其绝对值, 使之变为正值, 这样求得的角为锐角. (2)直线与平面所成的角:设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ, → → |AB· n| 平面 α 的法向量为 n,则有 sin θ= |cos〈 AB, n〉|= . → |AB||n| 注意,直线和平面所成角的取值范围为 [0° , 90° ].
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(3)二面角:设二面角的平面角为 θ,两个半平面的法向量 m· n 分别为 m,n,则有 cos〈m,n〉= ,根据图形和计算 |m||n| 结果判断 θ 是锐角、直角,还是钝角,从而得出 θ 与〈m, n〉是相等还是互补.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

第7讲 立体几何中的向量方法(一)

【2014年高考会这样考】

1.通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算.
2.利用空间向量解决直线、平面的平行与垂直问题. 3.利用空间向量求空间距离.

抓住4个考点

突破3个考向

揭秘3年高考

考点梳理
1.空间向量的坐标表示及运算
(1)数量积的坐标运算: 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),

则①a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);
②λa=(λa1,λa2,λa3); a1b1+a2b2+a3b3 . ③ a· b=_______________

(2)共线与垂直的坐标表示:
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), a3____________ =λb3(λ∈R) , a1=λb1 ,_________ a2=λb2 ,___ 则a∥b?a=λb?_________

a⊥b?a· b=0?a _________________( 1b1+a2b2+a3b3=0 a,b均为非零向量).
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(3)模、夹角和距离公式: 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
2 2 则|a|= a· a= a2 + a + a 1 2 3,

a1b1+a2b2+a3b3 a· b 2 2 2 2 2 2 a + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3 |a||b| =_____________________. cos〈a,b〉=_____

设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → ? a2-a1?2+?b2-b1?2+? c2-c1?2 则 dAB=|AB|=_______________________________.

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2.用向量证明空间中的平行和垂直关系 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量: l 是空间一直线, A, B 是直线 l 上 → → 任意两点,则称AB为直线 l 的方向向量,与AB平行的任

非零向量 也是直线 l 的方向向量. 意 _________
②平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内 两不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量的方程 ? a= 0, ?n· 组为? ? b= 0. ?n·

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(2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥ l2(或 l1 与

v1∥v2 . l2 重合)? ______
②设直线 l 的方向向量为 v, 与平面 α 共面的两个不共线向量

x,y,使v=xv1+yv2 v1 和 v2, 则 l∥ α 或 l?α?存在两个实数 _______________________________.
③设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥ α

v⊥u ? v· 或 l? α?_____ u= 0.
④设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1, u2,则 α∥β? u ______ 1∥u2 .

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(3)用向量证明空间中的垂直关系
n1⊥n2 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 n1 和 n2,则 l1⊥l2?_____

?_____ n1· n2 =0. ②设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,则 l⊥α
a ∥n . ?_____

③设平面 α 和 β 的法向量分别为 n1 和 n2,则 α⊥β?______ n1⊥n2
n1· n2=0 =0. ?________

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3.点面距的求法 如图, 设 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法向量, 则 B 到平面 α → |AB· n| |n| 的距离 d= _______.

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【助学· 微博】

一种思想
用坐标表示向量是对空间向量大小和方向的量化: (1)以原点为起点的向量,其终点坐标即向量坐标;

(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标.
得到向量坐标后,可通过向量的坐标运算解决平行、垂直 等位置关系,计算空间成角和距离等问题.

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两个结论 x1 + x 2 (1)P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P1P2 的中点坐标为( , 2 y1 + y 2 z1 + z2 , ). 2 2 (2)已知△ABC 的三个顶点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), x1+x2+x3 C(x3,y3,z3),则△ABC 的重心 G 的坐标为( , 3 y1+y2+y3 z1+z2+z3 , ). 3 3

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考点自测
1.(2013· 西安模拟)与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量 的坐标为
?1 ? A.? ,1,1? ?3 ? ? 1 3 ? C.?- , ,-1? ? 2 2 ?

(
B.(-1,-3,2)
? ? D.?? 2,-3,-2 2 ??

).

解析

? 1 3 ? 1 1 ?- , ,-1?=- (1,-3,2)=- a. 2 2 ? 2 2 ?

答案 C

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2.(人教A版教材习题改编)若平面α,β的法向量分别为n1= (2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则 A.α∥β C.α、β相交但不垂直 答案 C B.α⊥β D.以上均不正确 ( ).

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→ → 3.已知AB= (2,2,1),AC=(4,5,3),则平面 ABC 的单位法 向量为
?1 2 2? A.? ,- , ? 3 3? ?3 ?1 2 2? ? ,- , ? C. ± 3 3? ?3 ? 1 2 2? B.?- , ,- ? 3? ? 3 3 ?2 1 2? D.? , ,- ? 3? ?3 3

(

).

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解析

设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,z).
? ?2x+ 2y+ z= 0, 即? ? ?4x+ 5y+ 3z= 0.

?→ ?AB· n=0, 则? → ? n=0 ?AC·

1 ? ?x= , ?1 ? 令 z=1,得? 2 ∴n=? ,-1,1?, ?2 ? ? ?y=-1,
?1 n 2 2? ? ,- , ?. ∴平面 ABC 的单位法向量为± =± |n| 3 3? ?3

答案

C
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4.下列命题中,所有正确命题的序号为________. ①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2?α∥β; ②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β?n1· n2=0;

③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n· a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 答案 ①②③④

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5.如图所示,在空间直角坐标系中,有
一棱长为a的正方体ABCO- A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F 的距离为________.
解析 由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a).

? ? ?a a a? a ∴F?a, ,0?,E? , , ?. 2 ? ? ?2 2 2?

∴|EF|=

? a?2 ?a a?2 ? a?2 ?a- ? +? - ? +?0- ? 2? ?2 2? ? 2? ?

a2 a2 2 = + = a. 4 4 2 2 答案 a 2
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规范解答14——利用空间向量解决立体几何中的折叠问题
【命题研究】 折叠问题是近几年高考的热点问题,通常
是把某个图形按照给定的条件折叠,通过折叠前后图 形变换的相互关系来命题,注重考查学生的实践能力

与创新能力.处理这类题型的关键是抓住两图的特征
关系,弄清折叠前后哪些发生了变化,哪些没有发生 变化,然后充分利用空间向量,化繁为简,有效降低 题目难度.

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【真题探究】 ? (本小题满分 12 分 )(2012· 安徽 )平面图形 ABB1A1C1C 如图 1 所示, 其中 BB1C1C 是矩形. BC= 2, BB1= 4, AB= AC= 2, A1B1= A1C1= 5.现将该平面图 形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使△ ABC 与△ A1B1C1 所在 平面都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 A1A,A1B, A1C,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图形解答 下列问题.

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(1)证明:AA1⊥BC; (2)求AA1的长; (3)求二面角A-BC-A1的余弦值.

[教你审题] 本题中的垂直条件比较充分,三个设问中以定
量运算为主,所以可以建立空间直角坐标系,运用空间向 量知识求解,若用综合法求解,对大部分考生来说有一定

难度,特别是第(3)问,计算量也同时增加.

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[规范解答] (1)证明 矩形知,DD1⊥B1C1.

取BC,B1C1的中点分别

为D和D1,连接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C为 因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1,所以DD1⊥平 面A1B1C1. 又由A1B1=A1C1知,A1D1⊥B1C1. 故以D1为坐标原点,可建立如图所示的空间直

角坐标系D1xyz.
由题设,可得A1D1=2,AD=1.

(2分)

由以上可知AD⊥平面BB1C1C,A1D1⊥平面BB1C1C,于是
AD∥A1D1.所以A(0,-1,4),B(1,0,4),A1(0,2,0),C(-1,0,4), D(0,0,4),
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→ → → → 故AA1=(0,3,-4),BC=(-2,0,0),AA1· BC=0, → → 因此AA1⊥BC,即 AA1⊥BC. (2)解 → 因为AA1=(0,3,-4), (7 分) (5 分)

→ 所以|AA1|=5,即 AA1=5. (3)解 法一 连接 A1D.

由 BC⊥AD,BC⊥AA1,可知 BC⊥平面 A1AD,所以 BC ⊥A1D, 所以∠ADA1 为二面角 ABCA1 的平面角. (9 分)

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→ → 因为DA=(0,-1,0),DA1=(0,2,-4), → → 所以 cos〈DA,DA1〉=- 2 5 2 2=- 5 , 1× 2 +?-4? (12 分)

5 即二面角 ABCA1 的余弦值为- . 5 法二 设平面 A1BC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1).

→ → 又因为A1C=(-1,-2,4),A1B=(1,-2,4), ?→ ?A1C· n1=0, 所以? → ? n1=0, ?A1B·
? ?x1+2y1-4z1=0, 即? ? ?x1-2y1+4z1=0 ? ?x1=0, ?? ? ?y1=2z1.

令 z1=1,则 n1=(0,2,1)
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(9 分)
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又因为平面 ABC⊥z 轴, 所以取平面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1), n1· n2 1 5 则 cos〈n1,n2〉= = = , |n1||n2| 5 5 5 所以二面角 ABCA1 的余弦值为- . 5 (12 分)

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[阅卷老师手记] 一、求解翻折问题的关键有两点:
1.画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图 2.分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系

发生了变化,哪些没有变.这些不变的和变化的量反映了折
叠后的空间图形的结构特征. 一般地,在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变 的,涉及到两个半平面内的几何元素之间的关系是要变的, 分别位于两个半平面内但垂直于棱的直线翻折后仍然垂直于

翻折棱.
二、求从同一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问 题:通常是把集合体的侧面展开,转化为平面图形中的距离 问题.
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运用空间向量解决立体几何问题的解题步骤如 下: 第一步:建系,根据题中的几何图形的特征建立适当的空 间直角坐标系; 第二步:定坐标,确定点的坐标进而求出有关向量的坐 标; 第三步:向量运算,进行相关的空间向量的运算;

第四步:翻译,将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何
中的语言,完成几何问题的证明; 第五步:得结论,得出本题结论.

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第8讲 立体几何中的向量方法(二)
【2014年高考会这样考】

能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平
面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中 的应用.

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考点梳理
1.空间的角 (1)异面直线所成的角 如图,已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线 a′∥a,b′∥b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线a与b所成的角(或夹角).

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(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫 做这条直线和这个平面所成的角. ①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平

面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.

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(3)二面角的平面角 如图在二面角αlβ的棱上任取一点O, 以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 垂直于棱l的射线OA和OB,则∠AOB 叫做二面角的平面角.

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2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的
|cos〈m1,m2〉| 夹角θ满足cos θ=___________________. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则 |cos〈m,n〉| 直线l与平面α的夹角θ满足sin θ=_________________. (3)求二面角的大小
(ⅰ)如图①,AB、CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂 → → 〈AB,CD〉 . 直的直线,则二面角的大小 θ=______________

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(ⅱ)如图②③,n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α, cos〈n1,n2〉 β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=______________ cos〈n1,n2〉 或______________ .

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【助学· 微博】 两个关系

(1)异面直线所成角与向量夹角的关系
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异 面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时, 其补角才是异面直线的夹角. (2)二面角与向量夹角的关系 设二面角的两个面的法向量分别为n1,n2,则〈n1,n2〉 或π-〈n1,n2〉是所求的二面角.这时要借助图形来判 断所求角是锐角还是钝角,确定〈n1,n2〉是所求角,还

是π-〈n1,n2〉是所求角.
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三个范围
? π? (1)异面直线所成的角的范围是?0, ?; 2? ? ? π? (2)直线与平面所成角的范围是?0, ?; 2? ?

(3)二面角的范围是[0,π].

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考点自测
1.(人教A版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m

=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小
为 A.45°
解析

( B.135° C.45°或135°

). D.90°

m· n 1 2 cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2

即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 或 135° .

答案 C
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2.如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量 分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成

的角是 A.90°
解析

( B.30° C.45° D.60°

).

1 1 ∵cos〈a,b〉= = ,又∵〈a,b〉∈[0,π], 2× 2 2

∴〈a,b〉=60° .

答案 D

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3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是底面正方形ABCD的中心,M 是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则

直线NO、AM的位置关系是
A.平行

(

).
B.相交

C.异面垂直

D.异面不垂直

解析 建立坐标系如图,设正方体的棱 长为 2,则 A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0), → → N(2,t,2),NO=(-1,1-t,-2),AM= → → (-2,0,1),NO· AM=0,则直线 NO、AM 的位置关系是异面垂直. 答案 C
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4.(2013· 长沙模拟)已知向量 m, n 分别是直线 l 和平面 α 的 1 方向向量和法向量,若 cos〈 m,n〉=- ,则 l 与 α 所成 2 的角为 ( ).

A.30°
解析

D.150° 1 设 l 与 α 所成的角为 θ,∵cos〈m,n〉=- , 2

B.60°

C.120°

1 ∴sin θ=|cos〈m,n〉|= . 2 又∵直线与平面所成角 θ 满足 0° ≤θ≤90° , ∴θ=30° .

答案 A
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5.(2012· 四川)如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、 CC1的中点,则异面直线A1M与DN所

成的角的大小是________.
解析 以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x

轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设 AB=1,则
? ? ? 1? 1 D(0,0,0),N?0,1, ?,M?0, ,0?,A1(1,0,1), 2? 2 ? ? ? ? ? → ? 1? → 1 ∴DN=?0,1, ?,MA1=?1,- ,1?, 2? 2 ? ? ?

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? 1? 1 → → ∴DN· MA1=1×0+1×?- ?+ ×1=0, ? 2? 2

→ → ∴DN⊥MA1,∴A1M 与 DN 所成的角的大小是 90° .

答案

90°

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热点突破19——利用空间向量解决立体几何中的存在性问题
【命题研究】 以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断 型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点, 它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者 的青睐.此类问题的基本特征是:要判断在某些确定条件 下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是 否成立.“是否存在”的问题的命题形式有两种情况:如果 存在,找出一个来;如果不存在,需要说明理由.这类问 题常用“肯定顺推”的方法.求解此类问题的难点在于:涉 及的点具有运动性和不确定性.所以用传统的方法解决起 来难度较大,若用空间向量方法来处理,通过待定系数法 求解其存在性问题,则思路简单、解法固定、操作方便.
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【真题探究】? (2012· 福建)如图,在长方 体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD= 1,E为CD中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得 DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理

由;
(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.

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→ [教你审题] (1)首先建立空间直角坐标系,再求出向量B1E、 → → → AD1,题中要证明 B1E⊥AD,只需证明B1E· AD1=0 即可; (2)假设存在点 P(0,0,z0)满定题设条件,由于要满足线面平 行, 只需先求出已知平面的法向量, 然后利用已知直线的方 向向量与此平面的法向量垂直即可得到一个关于 z0 的方程, 若能求出 z0 的值,则说明点 P 存在,否则,就说明点 P 不 存在; (3)先求出两平面的法向量,利用二面角的平面角的度数即 可得到关于 a 的方程,从而可求出 a 的值.
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[规范解答 ] (1)证明

→ → 以 A 为原点, AB, AD,

→ AA1的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向 建立空间直角坐标系 (如图 ).设 AB= a,则
?a ? A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E? , 1, 0?, ?2 ? ? → → ? a B1(a,0,1),故AD1=(0,1,1),B1E=?- ,1,-1?, ? 2 ?

? → → ?a AB1=(a,0,1),AE=? ,1,0?. ?2 ?

→ → a ∵AD1· B1E=- ×0+1×1+(-1)×1=0, 2 ∴B1E⊥AD1.
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(2)解

假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0, z0), 使得 DP∥平面 B1AE,

→ 此时DP= (0,- 1, z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x, y, z). ∵ n⊥平面 B1AE, ?ax+ z= 0, ? → → ∴ n⊥AB1,且 n⊥AE,得?ax + y= 0. ? ?2 a 取 x= 1,则 y=- , z=- a,得平面 B1AE 的一个法向量 n= 2
? ? a ?1,- ,- a?. 2 ? ?

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→ a 1 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥DP,有 -az0= 0,解得 z0= .又 2 2 DP?平面 B1AE, 1 ∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2

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(3)解

连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD- A1B1C1D1 及 AA1

= AD= 1,得 AD1⊥ A1D. ∵ B1C∥ A1D,∴ AD1⊥ B1C. 又由 (1)知 B1E⊥ AD1,且 B1C∩ B1E= B1, ∴ AD1⊥平面 DCB1A1, → → ∴AD1是平面 A1B1E 的一个法向量,此时AD1=(0,1,1). → 设AD1与 n 所成的角为 θ, a → - -a n· AD1 2 则 cos θ= = . 2 → a |n||AD1| 2· 1+ + a2 4
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∵二面角 A-B1E-A1 的大小为 30° , 3 ∴|cos θ |=cos 30° ,即 2= 2 , 5a 2· 1+ 4 解得 a=2,即 AB 的长为 2. 3a 2

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[备考] 解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略 是:通常假定题中的数学对象存在(或结论成立),然后在 这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或

事实,说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若导出
与条件或实际情况相矛盾的结果,则说明假设不成立,即 不存在.如本题把线面平行转化为直线的方向向量与平面

的法向量垂直,利用两向量数量积为零,得参数z的方
程.即把线面平行有关的存在性问题转化为方程有无解的 问题.

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【试一试】 如图所示,四棱锥S- ABCD的底面是正方形,每条侧棱的 长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存

在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求
SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.

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(1)证明

连接 BD,设 AC 交 BD 于 O,则 AC⊥BD.

由题意知 SO⊥平面 ABCD. → → → 以 O 为坐标原点,OB,OC,OS分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立空间 直角坐标系如图. 6 设底面边长为 a,则高 SO= a, 2 ? ? ? ? 6 2 于是 S?0, 0, a ?, D?- a, 0, 0?, ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? → ? 2 2 B? a, 0, 0?, C?0, a, 0?,OC=?0, a, 0?, ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? → ? → → 2 6 ? ? SD= - a, 0,- a ,则OC· SD= 0. ? ? 2 2 故 OC⊥ SD.从而 AC⊥ SD.
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(2)解

棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC.

理由如下: → 由已知条件知DS是平面 PAC 的一个法向量,
? → ? ? → ? 2 6 2 6 且DS=? a, 0, a ?,CS= ?0,- a, a ?, ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? → ? 2 2 BC=?- a, a, 0?. ? ? 2 2

→ → 设CE= tCS,

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→ → → → → 则BE=BC+CE= BC+ tCS
? =?- ?

2 2 6 ? a, a? 1- t?, at ?, 2 2 2 ?

→ → 1 而BE· DS= 0? t= . 3 → → 即当 SE∶ EC= 2∶ 1 时,BE⊥DS. 而 BE 不在平面 PAC 内, 故 BE∥平面 PAC.

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空间向量立体几何知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区。空间向量立体几何...共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:...
平面向量与空间向量比较
为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础.下面从平面向量的基本公式类比总结空间向量的公式,熟记公式 的区别与联系,使空间向量的理解与运用变得不再...
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量立体几何【知识要点】 1.空间向量及其运算: (1)空间向量的线性运算: ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算:平面向量加、减法的三角形法则和平行四边 ...
高三空间向量与立体几何知识点归纳总结
高三空间向量立体几何知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区。高三空间向量与立体...(2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间...
空间向量、立体几何经典例题
空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量平面的法向量空间向量证平行与垂直问题 求空间角...
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量立体几何知识点归纳总结_数学_高中教育_教育专区。空间向量立体几何...共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:...
空间向量与立体几何知识点
空间向量,立体几何空间向量,立体几何隐藏>> 空间向量知识要点 1. 空间向量的概念...空间向量的运算。 <向量加法运算> 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、...
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量立体几何 【知识要点】 1.空间向量及其运算: (1)空间向量的线性运算: ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算:平面向量加、减法的三角形法则和平行四边...
空间向量与立体几何知识点
1 立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形 法则以及相关的运算律仍然...
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