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人教a版必修4学案:1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(1)(含答案)


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1.5

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
自主学习

知识梳理 用“图象变换法”作 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象 1.φ 对 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响 y=sin(x+φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦

曲线 y=sin x 上所有的点______(当 φ>0 时) 或________(当 φ<0 时)平行移动______个单位长度而得到. 2.ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y = sin(ωx + φ) 的图象,可以看作是把 y = sin(x + φ) 的图象上所有点的横坐标 ________(当 ω>1 时)或______(当 0<ω<1 时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到. 3.A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 函数 y = Asin(ωx + φ) 的图象,可以看作是把 y = sin(ωx + φ) 图象上所有点的纵坐标 ________(当 A>1 时)或________(当 0<A<1 时)到原来的________(横坐标不变)而得到,函数 y=Asin x 的值域为__________,最大值为______,最小值为______. 4.函数 y=sin x 的图象到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. y=sin x 的图象
向左?φ>0?或向右?φ<0? 平移|φ|个单位 纵坐标变为原来的A?A>0?倍 横坐标不变

― ― →

__________的图象 ???????? ? ____________的图象.

横坐标变为原来的

1 ? w?0?倍 w 纵坐标不变

____________的图象 自主探究

― ― →

π? 如何由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=sin? ?2x-3?的图象. 对点讲练 知识点一 周期、振幅变换的应用 例1 程. 3 1 2 由函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到 y= sin x 的图象, 试写出这一过 2 2 3

回顾归纳 研究 y=sin x 与 y=Asin x(A>0 且 A≠1),y=sin ωx(ω>0 且 ω≠1)的图象间 伸缩关系,要明确伸缩的方向是横向,还是纵向,及伸还是缩的倍数. x 变式训练 1 叙述函数 y=2sin x 的图象如何由 y=sin 的图象得到? 2

知识点二 相位变换的应用 例2 π x- ?的图象( 要得到函数 y=sin x 的图象,只需将函数 y=cos? ? 3? )

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π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 3 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 3 6 回顾归纳 已知两个函数的解析式,判断其图象间的平移关系的步骤: (1)将两个函数解析式化简成 y=Asin ωx 与 y=Asin (ωx+φ),即 A、ω 及名称相同的结 构. (2)找到 ωx?ωx+φ,变量 x“加”或“减”的量,即平移的单位. (3)明确平移的方向. π x+ ?的图象,只需将函数 y=sin x 的图象( 变式训练 2 为得到函数 y=cos? ) ? 3? π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 6 5π 5π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 6 6 知识点三 图象变换的综合应用 π 把函数 y=f(x)的图象上各点向右平移 个单位,再把横坐标伸长到原来的 2 倍, 6 1 π? 2 再把纵坐标缩短到原来的 倍,所得图象的解析式是 y=2sin? ?2x+3?,求 f(x)的解析式. 3 例3

回顾归纳 已知函数 f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析式.要明确伸缩 的方向及量,然后确定出 A 或 ω 即可. 1 变式训练 3 将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,然后再将整个图象 2 π 1 沿 x 轴向右平移 个单位, 得到的曲线与 y= sin x 图象相同, 则 y=f(x)的函数解析式为( ) 2 2 1 π? π 1 1 x- 2x+ ? A.y= sin? B.y= sin? 2? 2 ?2 2? 2 ? π 1 ?1 π? 1 ? C.y= sin?2x+2? D.y= sin?2x-2? ? 2 2

1.由 y=sin x 到 y=sin(x+φ)的图象变换称为相位变换,由 y=sin x 到 y=sin ωx 图象 的变换称为周期变换;由 y=sin x 到 y=Asin x 图象的变换称为振幅变换. 2.由 y=sin x 的图象,通过变换可得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,其变化途径有两 条: (1)y=sin x ― ― → y=sin(x+φ) ― ― → y=sin(ωx+φ) ― ― → y=Asin(ωx+φ). (2)y=sin x ― ― → y=sin ωx ― ― → y=sin(ωx+φ) ― ― → y=Asin(ωx+φ). 注意:两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同: (1)是先相位变换后周期 |φ| 变换,平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换,平移 个单位,这是很易出错的地方, ω 应特别注意. 3.类似地 y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象也可由 y=cos x 的图象变换得到.
周期变换 相位变换 振幅变换 相位变换 周期变换 振幅变换

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课时作业 一、选择题 x π? x 1.要得到 y=sin? ) ?2+3?的图象,只要将函数 y=sin 2的图象( π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 2π 2π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 π? π 2.把函数 y=sin? ) ?2x-4?的图象向右平移8个单位,所得图象对应的函数是( A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数 D.偶函数 π 3.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横 10 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) π? π? A.y=sin? B.y=sin? ?2x-10? ?2x-5? 1 π? 1 π? C.y=sin? D.y=sin? ?2x-10? ?2x-20? π π 4.为了得到函数 y=sin (2x- )的图象,只需把函数 y=sin(2x+ )的图象( ) 3 6 π A.向左平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 2 π D.向右平移 个单位长度 2 π 5.把函数 y=3sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移 个单位,再将图象的所有点的 6 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为 y=3sin x,则( ) π π A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=- 6 3 1 π 1 π C.ω= ,φ= D.ω= ,φ=- 2 6 2 3 二、填空题 π? π 6.将函数 y=sin? ?2x+6?的图象向左平移6,所得函数的解析式为____________. 7.为得到函数 y=cos x 的图象,可以把 y=sin x 的图象向右平移 φ 个单位得到,那么 φ 的最小正值是________. 8.某同学给出了以下论断 π ①将 y=cos x 的图象向右平移 个单位,得到 y=sin x 的图象; 2 ②将 y=sin x 的图象向右平移 2 个单位,可得到 y=sin(x+2)的图象; ③将 y=sin(-x)的图象向左平移 2 个单位,得到 y=sin(-x-2)的图象; π? π ④函数 y=sin? ?2x+3?的图象是由 y=sin 2x 的图象向左平移3个单位而得到的. 其中正确的结论是______(所有正确的结论的序号都要填上). 三、解答题
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π? 9.请叙述函数 y=cos x 的图象与 y=-2cos? ?2x+6?+2 的图象间的变换关系.

π ? 10.已知函数 f(x)=sin? ?3-2x? (x∈R). (1)求 f(x)的单调减区间; (2)经过怎样的图象变换使 f(x)的图象关于 y 轴对称?(仅叙述一种方案即可).

§ 1.5

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(一) 答案

知识梳理 1.向左 向右 |φ| 1 2.缩短 伸长 不变 ω 3.伸长 缩短 A 倍 [-A,A] A -A 4.y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ) 自主探究 解 由 y=sin x 的图象通过变换得到函数 π? y=sin? ?2x-3?的图象有两种变化途径: ①y=sin x π ― ― → 个单位
3 向右平移

π 纵坐标不变 π? ? x- ? ― 1 y=sin 2x- . y=sin? ― → 3 3? ? ?横坐标缩短为 倍 ? ②y=sin
2 纵坐标不变 x横坐标缩短为 ― ― → 1倍y=sin 2

2x π ― ― → 个单位
6

向右平移

π? y=sin? ?2x-3?. 对点讲练 3 9 解 由 y=sin x 的图象纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 倍, 2 4 2 得到 y=sin x 的图象; 3 2 1 1 2 由 y=sin x 的图象,横坐标保持不变,把纵坐标缩短到原来的 倍,就得到 y= sin x 3 2 2 3 的图象. x 变式训练 1 解 y=2sin x 的图象可以看作由 y=sin 图象上所有点的横坐标变为原来 2 1 的 倍(纵坐标不变)得到函数 y=sin x 的图象,再把该图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 2 例1
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倍(横坐标不变)而得到. 例2 π? ?π ? A [y=cos? ?x-3?=cos?3-x?
6

π?向右平移 =sin? ― ― → y=sin x.] 个单位 ?x+6? π π? 变式训练 2 C [∵y=sin x=cos? ?x-2?, π 5π π 又 x- + = +x, 2 6 3 π? 5π ∴只需将 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度,便可得到 y=cos? ?x+3?的图象.] 6 例3 1 π? 纵坐标伸长到原来的 2 倍 解 y=2sin? ?2x+3? ????????
1

3

1 π? 横坐标缩短为原来的 2 倍 y=3sin? ?2x+3? ???????? π? 向左平移 6 个单位 ? y=3sin? ?x+3? ?????? π π? ? π? y=3sin? ?x+6+3?=3sin?x+2?=3cos x. ∴f(x)=3cos x. 变式训练 3 C 课时作业 1.C 2.D
10 ? 3.C [函数 y=sin x ??????? π 横坐标伸长到原来的 2 倍 ? y=sin? ― ― → 纵坐标不变 ?x-10? 1 π x- ?.] y=sin? ?2 10? 向右平移 个单位长度 π 4 2x+ ? ??????? ? 4.B [y=sin? 6? ? π π π? ? x- ? ? y=sin?2? ? ? 4?+6?=sin?2x-3?.] 向右平移

?

?

个单位长度

?

1 → y=3sin 2x π 5.B [y=3sin x ― ― ― ― → 到 倍 个单位 2 6

横坐标压缩

向右平移

π? π? ? y=3sin2? ?x-6?=3sin?2x-3?, π ∴ω=2,φ=- .] 3 6.y=cos 2x 3π 7. 2 π ? π? ? π? ? 解析 y=sin x=cos? ?2-x?=cos?x-2?向右平移 φ 个单位后得 y=cos?x-φ-2?, π π ∴φ+ =2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ- ,k∈Z. 2 2 3π ∴φ 的最小正值是 . 2 8.①③ π 2x+ ?+2 9.解 ∵y=-2cos? 6? ?

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7 ? =2cos? ?2x+6π?+2 7 ? =2cos2? ?x+12π?+2 1 先将 y=cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,则得到 y=cos 2x 2 的图象. 7π 再将 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位, 12 7π ?x+ ??,即 y=cos?2x+7π?的图象,再将 y=cos?2x+7π?的图象上各 则得到 y=cos? 2 6? 6? ? ? 12?? ? ? 7π? 点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变,即得函数 y=2cos? ?2x+ 6 ?的图象. 最后,沿 y 轴向上平移 2 个单位所得图象即是 7π 2x+ ?+2 的图象. y=2cos? 6? ? π? 即得到函数 y=-2cos? ?2x+6?+2 的图象. π? 10.解 (1)由已知函数化为 y=-sin? ?2x-3?.欲求函数的单调递减区间,只需求 π? y=sin? ?2x-3?的单调递增区间. π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 2 π 5 解得 kπ- ≤x≤kπ+ π (k∈Z), 12 12 ∴原函数的单调减区间为 ?kπ- π ,kπ+ 5 π? (k∈Z). 12 12 ? ? π ?π ?π ?? ? (2)f(x)=sin? ?3-2x?=cos?2-?3-2x?? π? ? π? =cos? ?2x+6?=cos2?x+12?. ∵y=cos 2x 是偶函数,图象关于 y 轴对称, π ∴只需把 y=f(x)的图象向右平移 个单位即可. 12

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