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《正弦函数的图象与性质(2)》ppt课件


第一章

基本初等函数(II)

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第一章

基本初等函数(II)

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基本初等函数(II)

2.三角函数的图象变换 (1)y=Asinx(A>0)的图

象可由y=sinx图象上各点的横坐

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标不变,纵坐标 伸长 (A>1)或
的 A 倍得到.

缩短

(0<A<1) 到 原 来

(2)y = sin(x + φ) 的 图 象 可 由 y = sinx 图 象 上 各 点 向



(φ>0)或向 右(φ<0)平行移动|φ|个单位长度而得到.

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基本初等函数(II)

重点:正弦型函数的图象特征与性质.
难点:y=Asin(ωx+φ)与y=sinx之间的图象变换规律 及正弦型函数的单调区间等性质.
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1.由 y=sinx 变换为 y=sin(ωx+φ)先平移再伸缩和先 伸缩再平移,次序不同平移的单位数有区别,这是最容易造 成失误的地方,再就是平移的方向和伸长与缩短的区别. 如
? π? y=sinx→y=sin?2x+3? ? ?

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2.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的简图 “五点法”要求找五个关键点, 这五个点应分别为使 y 能取得最小值、最大值和曲线与 x 轴相交的点.其步骤为: 2π (1)先确定周期 T= ,在一个周期内作出图象; ω π 3π (2)令 X=ωx+φ,则将 X 分别取 0, ,π, ,2π 来 2 2 求出对应的 x 值.列表如下:
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X=ωx+φ

0

π 2

π

3π 2


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x y=Asin(ωx +φ)

π 3π φ -φ π-φ -φ 2π-φ 2 2 -ω ω ω ω ω 0 A 0 -A 0

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(3)描点画图,再利用函数的周期性,可把所得简图向
左右分别扩展,从而得到y=Asin(ωx+φ)的简图.(但一般 这步只作叙述,图象上不体现出来也可).
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3.y=Asin(ωx+φ)的每一条性质都对应于y=sinx的相 应性质,故应熟练掌握y=sinx的性质及把握好它们之间的 联系. 4.y=Asin(ωx+φ)当A<0或ω<0时函数的单调区间是易 人 教 错的地方,应注意应用复合函数判定单调性方法讨论. B 版 数 5.由图象或部分图象确定解析式 学 已知函数y=Asin(ωx+φ)能准确地研究其图象与性质, 反过来,在已知它的图象或部分图象,怎样确定它的解析 式呢?解决问题的关键在于确定参数A,ω,φ.其基本方法 是在观察图象的基础上,利用待定系数法求解.若设所求 解析式为y=Asin(ωx+φ)则在观察图象基础上可按以下规律 来确定A,ω,φ.

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(1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π (2)ω:因为 T= ω ,所以往往通过求周期 T 来确定 ω.可 通过已知曲线与 x 轴的交点从而确定 T,即相邻的两个最高 T 点与最低点之间的距离为 2 ;相邻的两个最高点(或最低点) 之间的距离为 T.
? φ ? (3)φ:从寻找“五点法”中的第一零点?-ω,0?(也叫初 ? ?
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始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零点的位 置.

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另外应注意,A、ω、φ 三个量中初相 φ 的确定是一个难
? φ ? 点, 除使用初始点?-ω,0?外, 还可利用五点法确定初相 ? ?

φ,
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即在五点中找两个特殊点列方程组解出 φ.

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[例 1]

求函数

? π? y=3-2sin?x+6?的最大值与最小值及 ? ?
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相应的 x 的值.

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[解析]



? π? sin?x+6?=1 ? ?

时,

π π 有 x+6=2kπ+2(k∈Z). π ∴当 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymin=1. 3 当
? π? sin?x+6?=-1,即 ? ?

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π π x+6=2kπ-2(k∈Z),

2 即 x=2kπ-3π(k∈Z)时,ymax=5.

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函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-1,则a= ________,b=________.
3 3 1 [答案] 或- 2 2 2
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[解析]

当 a>0 时,由题意得

? 3 ?a+b=2 ?a=2 ? ? ,解得? ?-a+b=-1 ? ?b=1 ? 2 当 a<0

.

?-a+b=2 ? 时,由题意,得? ?a+b=-1 ?

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3 ? ?a=-2 解得? ?b=1 ? 2

.

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[例 2]



? π? y=sin?3x-3?的单调区间. ? ?
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[分析] 复合函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)和函数u=g(x) 复合而成,其单调性的判定方法是:当y=f(u)和u=g(x)同

为增(减)函数时,y=f[g(x)]为增函数;当y=f(u)和u=g(x)
一个为增函数,一个为减函数时,y=f[g(x)]为减函数.所 以可利用变量代换将函数化成若干个基本函数,再利用复 合函数的单调性求解.

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[解析]

π 令 u=3x-3,当 x∈R 时单调递增,所以当函
? π? y=sin?3x-3?也单调递增;当 ? ? ? π? y=sin?3x-3?也单调递减. ? ?
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数 y=sinu 递增时,复合函数

函数 y=sinu 递减时,复合函数

π π π 2 π 2 由 2kπ-2≤3x-3≤2kπ+2, k∈Z, 3kπ-18≤x≤3kπ 得 5 +18π,
?2 π 2 5π? 故原函数的单调递增区间为?3kπ-18,3kπ+18?, k∈Z. ? ?

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π π 3π 由 2kπ+2≤3x-3≤2kπ+ 2 ,k∈Z, 2 5 2k 11 得3kπ+18π≤x≤ 3 π+18π,
?2 5 2 故原函数的单调递减区间为?3kπ+18π,3kπ ?
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11 ? +18π?,k∈Z. ?

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基本初等函数(II)

[点评]

(1)本题用的是代换法,所谓代换法,就是将比

较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角 u(或 t), 利用基 本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间, 这 就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间,如 y= sinx 在
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ? 2 2? ?
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(k∈Z) 上 单 调 递 增 , 在

? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z)上单调递减. 2 2? ?

(2)在求三角函数的单调区间时,一定要注意复合函数 的有关知识, 忽略复合函数的条件, 是同学们在解题中常犯 的错误.

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函数

?π ? y=sin?4-2x?的单调增区间的________. ? ?
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[答案]

?3π ? 7π ? +kπ, +kπ?k∈Z 8 ?8 ?

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?π ? ? π? y=sin?4-2x?=-sin?2x-4?, ? ? ? ? ?π ? y=sin ?4-2x? 的单调增区间,即为函数 ? ?

[解析] ∴函数

y′=
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? π? π π 3π ?2x- ?的单调减区间, sin 令2+2kπ≤2x-4≤ 2 +2kπ, k∈Z, 4? ?

3π 7π ∴ +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 ∴函数 k∈Z.
?π ? ?3π ? 7π y=sin ?4-2x? 的单调增区间为 ? 8 +kπ, 8 +kπ? ? ? ? ?

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[例 3]

把函数

? π? y=2sin?2x+6?的图象经过变换,得到 ? ?

y=-2sin2x 的图象,这个变换是 5π A.向左平移 个单位 12 5π B.向右平移12个单位 π C.向左平移6个单位 π D.向右平移6个单位

(

)

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[解析]

y=-2sin2x

? 5π π ? 5π π ?x+ + ?=2sin[2(x+ )+ ], =2sin(π+2x)=2sin2 12 12? 12 6 ?

5π ∴只须将 y=-2sin2x 的图象向右平移12个单位, 即可 得到
? π? y=2sin?2x+6?的图象, ? ?

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∴把

? π? 5π ?2x+ ?的图象向左平移 个单位就得到 y=2sin 6? 12 ?

y

=-2sin2x 的图象,故选 A.

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(2010· 安 一 中 高 一 下 学 期 期 中 测 试 ) 把 函 数 y = 南 π sinx(x∈R)图象上所有的点向左平移 个单位长度,再把所 3 1 得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), 得到的图象所表示的函数是 π A.y=sin(2x- ),x∈R 3 x π B.y=sin( + ),x∈R 2 6 ( )
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π C.y=sin(2x+3),x∈R x π D.y=sin(2-6),x∈R
[答案] C
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[例4] 下图所示为函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一段, 试确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
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基本初等函数(II)

[解析]

解法一:
?π ? ?5π ? A=3,M?3,0?,N? 6 ,0?,则 ? ? ? ?
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由图可知

?π ?3ω+φ=π ? ?5πω+φ=2π ?6

π ,ω=2,φ=3.

? π? ∴y=3sin?2x+3?. ? ?

解法二:由图象可知 A=3, T 5π π π 2π 2 = 6 -3=2,∴T=π= ω ∴ω=2.

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?π ? π ? ,0?,令 ×2+φ=π, M3 3 ? ?
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? π? π 得 φ=3.∴y=3sin?2x+3?. ? ?

解法三:由

? π ? T=π,P?-6,0?知,所求函数的图象是 ? ?

π 由 y = 3sin2x 的 图 象 向 左 平 移 而 得 到 的 , 所 以 y = 6
? ? π? π? 3sin2?x+6?=3sin?2x+3?. ? ? ? ?

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基本初等函数(II)

[点评] 依图求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的难点,
在于确定初相φ,其基本方法是利用特殊点,通过待定系数 法、逐个确定法或图象变换法来求解.
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(2009·海南、宁夏)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,- π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________.
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9π [答案] 10

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[解析]

由 图 象 知 函 数 y = sin(ωx + φ) 的 周 期 为

? 3π? 5π 2?2π- 4 ?= 2 , ? ?

2π 5π 4 ∴ ω = 2 ,∴ω=5. 3π ∵当 x= 时,y 有最小值-1, 4 4 3π π ∴5× 4 +φ=2kπ-2(k∈Z), 9π ∵-π≤φ≤π,∴φ= . 10

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[例5] 求方程lgx=sinx实数解的个数. [分析] 点即可. 首先构造函数y=lgx和y=sinx,利用图象求交
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[解析]

在同一坐标系作出函数y=lgx与y=sinx的图象,

如图所示,根据图象可知方程lgx=sinx的实数解有3个.

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注:本题也可以运用估值.将y=sinx的最高点的函数
值与函数y=lgx相应的函数值进行比较. [点评] 对于方程要解决三个问题:(1)方程有解吗? (2)如果方程有解,那么方程有几个解?(3)方程的解是什么? 我们已学过了一些方程及其解法.然而本题方程的解求不
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出来,但是我们可以利用数形结合讨论出该方程根的个
数.以后我们还要学习一些运用数形结合思想解决有关方 程根的问题.

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方程x=sinx在x∈[-π,π]上实根的个数为( A.1 C.3 [答案] A B.2 D.4

)
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[解析]

此题可利用数形结合的方法,在同一坐标系

中画出y1 =x和y2 =sinx的图象,如图所示.由图象易知在 [-π,π]上的实根只有1个.

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[例 6] 程.

求函数

? π? y=sin ?2x-6? 的图象的对称轴方 ? ?
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[误解]

π π π π 由 2x-6=2得, 3.故函数 y=sin(2x-6) x=

π 的图象的对称轴方程为 x=3.

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[辨析] 以偏概全忽略了该函数的周期性.
[正解] π π kπ π 由 2x- =kπ+ ,k∈Z,得 x= + (k∈Z), 6 2 2 3
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kπ π ∴该函数对称轴方程是 x= + (k∈Z). 2 3

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一、选择题 1.(2010· 湖北文)函数 f(x)= 正周期为 π A.2 C.2π B.π D.4π
? x π? 3sin?2-4 ?,x∈R ? ?

的最小 )
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(

[答案] D

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[解析]

2π 1 2π ∵T= ,ω= ,∴T= =4π. |ω| 2 1 2

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? π? y=sin?2x+3?在区间[0,π]内的一个单调递减 ? ?

2.函数 区间是

(
?π 7π? B.?12,12? ? ? ?π π ? D.?6,2? ? ?

)
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? 5π? A.?0,12? ? ? ?5π 11π? C.?12, 12 ? ? ?

[答案] B

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[解析]

π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z) 2 3 2
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π 7π 得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),∴选 B. 12 12

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3.要得到 图象

? π? y=sin?2x-3?的图象,只要将 ? ?

y=sin2x 的 ( )
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π A.向左平移3个单位 π C.向左平移 个单位 6

π B.向右平移3个单位 π D.向右平移 个单位 6

[答案] D

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[解析]

? ? ? π? π?? y=sin?2x-3?=sin?2?x-6??,所以把 ? ? ? ? ??

y=sin2x
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π 的图象向右平移 个单位, 6 就能得到
? π? y=sin?2x-3?的图象.∴应选 ? ?

D.

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4.设点 P 是函数 f(x)=sinωx 的图象 C 的一个对称中 π 心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是 ,则 f(x) 4 的最小正周期是 A.2π π C. 2
[答案] B

( B.π π D. 4

)

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[解析]

T π 由题意知4=4,∴T=π,故选 B.

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二、填空题
5.如图所示为函数y=Asin(ωx+φ)的图象,其中A>0, ω>0,则该函数的解析式是________.
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[答案]

? 4π? y=3sin?2x+ 5 ? ? ?

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[解析]

π 2π 由图观察得 T=2×2=π,∴ω= T =2,
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且 A=3,∴y=3sin(2x+φ).
?π ? ?π ? ∵过点?10,0?,∴0=3sin?5+φ?, ? ? ? ?

π ∴5+φ=2kπ+π,k∈Z 4π ∵φ= 5 (此时 k=0).

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6. (2009· 海南、 宁夏)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图 象如图所示,则
?7π? f?12?=________. ? ?
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[答案] 0

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[解析]

2π 由图象知,T= 3 ,

?π? ?7π? ?π π ? ∵f?4?=0,∴f?12?=f?4+3? ? ? ? ? ? ? ?π T ? ?π ? =f?4+ 2?=-f?4?=0. ? ? ? ?

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三、解答题 7.已知函数
?k π? f(x)=2sin?3x+4?,如果使 ? ?

f(x)的周期在
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?2 3? ? , ?内,求正整数 ?3 4?

k 的值.

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[解析]

函数

?k π? f(x)=2sin?3x+4?的周期为 ? ?

2π 6π T=? k?= |k| . ? ? ?3?
? 2 3? 2 6π 3 ? , ?内,∴ < < , ∵f(x)的周期在 3 4 3 |k| 4 ? ?

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∵k 是正整数,∴8π<k<9π.所以 k 的取值为 26,27,28.

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