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立体几何专题一空间角


立体几何专题一:空间角
第一节:异面直线所成的角(2 课时)
一、基础知识 1.定义: 直线 a、b 是异面直线,经过空间一交 o,分别 a?//a,b?//b,相交直线 a?b?所成的锐角(或直 角)叫做 。 2.范围:

? ?? ? ? ? 0, ? ? 2?

3.方法: 平移法、问量法、三线角公式 (1)平移法

:在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作 a、b 的平行线,构造一个三角形, 并解三角形求角。 ( 2 ) 向 量 法 : 可 适 当 选 取 异 面 直 线 上 的 方 向 向 量 , 利 用 公 式 cos? ? cos ? a,b ? ? 求出来 方法 1:利用向量计算。选取一组基向量,分别算出 a ? b , a , b 代入上式 方法 2:利用向量坐标计算,建系,确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

a ?b ab

a ? ( x1 , y1 , z1 )

s b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? c o ? ?

x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 x1 ? y1 ? z1
2 2 2

x2 ? y 2 ? z 2
2 2

2

(3)三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于 内的直线所成角的余弦 即: cos?1 cos? 2 ? cos?

P
a A ?1 ? ?2 B c

斜线和平面
O b

?

二、例题讲练 例 1、 如图, 正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, A A ? 2 A B则异面直线 A B 与 AD1 , 1 1 1 所成角的余弦值为 例 2、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB= a ,BC= b(a ? b) ,AA1=c,求异面 直线 D1B 和 AC 所成的角的余弦值。 D1 C1 方法一:过 B 点作 AC 的平行线(补形平移法) 方法二:过 AC 的中点作 BD1 平行线 A1 B1 方法三: (向量法)
D

D1

C1

A1

B1
D

C
B

A

C

O
A B

例 3、 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD ,且
?

1 , AB ? 1 , M 是 PB 的中点 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; 证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间 PA ? AD ?DC ?
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直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) 2

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(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC.

由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线, 由此得 DC ? 面 PAD 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD
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(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所 以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

例 4、 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 , E 为 PD 的中点 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; P 解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、
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B( 3,0,0) 、 C( 3,1,0) 、 D(0,1, 0) 、 1 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则
A

D

C

B

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14
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∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为 训练题 1、P219 T12 P234

3 7 14

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三基能力强化 T1

1. 正 方 体 的 12 条 棱 和 12 条 面 对 角 线 中 , 互 相 异 面 的 两 条 线 成 的 角 大 小 构 成 的 集 合 是 。 90? ,45? ,60?

?

?

2.正方体 AC1 中,O 是底面 ABCD 的中心,则 OA1 和 BD1 所成角的大小为 。 l 为异面直线 a 与 b 的公垂线,点 p ? a ,若 a、b 间距离为 2,点 P 到 l 的距离为 2,P 到 b 的距 3.已知 离为 5 ,则异面直线 a 与 b 所成的角为 。
A' M N C1

4.如图正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 AB= 2 AA1,M、N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,则 AM 与 CN 所成角为 。
P

5.如图 PD ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形, AB=2AD=2DP,E 为 CD 中点。 (1) AP 与 BE 所成的角为 (2)若 F ? 直线 PD,且 AF 与 BE 所成角为 ? 1. ? =30?行吗?

A

C

B

D

E

C

DF 2. ? =75?时; = DP


A B

A M E B C

6.空间四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 与各边长均为 1, O 为 ?BCD 的重心,M 是 AC 的中点,E 是 AO 的中点, 求异面直线 OM 与 BE 所成的角 。

O

D

7.空间四边形 ABCD 中 AB=BC=CD, ? BCD= ? ABC=120?,AB ? CD,M、N 分别是中点(1)AC 和 BD 所成的角为 。 (2)MN 与 BC 所成的角为 。

D1

C1 F B1

8.已知正方体 AC1 中, (1)E、F 分别是 A1D1,A1C1 的中点, 则 AE 与 CF 所成的角为 (2)M、N 分别是 AA1,BB1 的中点, 则 CM 和 D1N 所成的角是 。

E A1

M D

N C

O
A B

9、如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ? 平 面 PAB. (I) 求证:AB ? 平面 PCB; (II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; ( 解法一:(I) ∵PC ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴PC ? AB.∵CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB, ∴CD ? AB.又 PC ? CD ? C , ∴AB ? 平面 PCB. (II) 过点 A 作 AF//BC,且 AF=BC,连结 PF,CF. 则 ? PAF 为异面直线 PA 与 BC 所成的角. 由(Ⅰ)可得 AB⊥BC,∴CF ? AF.由三垂线定理,得 PF ? AF. 则 AF=CF= 2 ,PF= PC ? CF
2

? ) 3

P

D

E B

C

A

? 6, PF 6 在 Rt?PFA 中, tan∠PAF= = 3, ? AF 2 ?
2

F

∴异面直线 PA 与 BC 所成的角为

3



解法二:(II) 由(I) AB ? 平面 PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得 BC= 2 .以 B 为原点,如图 建立坐标系.则A(0, 2 ,0) ,B(0,0,0) , C( 2 ,0,0) ,P( 2 ,0,2) AP ? ( 2,? 2,2) , BC ? ( 2,0,0) . . 则 AP ? BC ?

2 ? 2 +0+0=2.

cos ? AP, BC ??

AP ? BC AP ? BC

=

2 2 2? 2

=

1 . 2

∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为

? . 3

第二节、直线和平面所成的角

(2 课时)

一、基础知识 1.定义: (①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③ l ? ?或l // ? ) 2.直线与平面所成角范围是 。 3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。 (最小值定理) 4. 求法: 几何法 公式法 问量法 (1)几何法:作出斜线与射影所成的角,论证所作(或所找)的角就是要滶的角,解三角形求出此角。

cos?1 (2)公式法: cos? ? ? cos?1 ? cos? 2 cos? cos? 2 AB ? ?于 B, ?AOB ? ? , ?AOC ? ?1 , ?BOC ? ? 2 点

A

O C

B

(即:与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) (3)向量法:设直线 a 与平面 ? 所成角为 ? , 直线 a 的方向向量与面 ? 的法向量分别是 m, n , 则 ? m,n ? 的余角或其补角的余角即为 a 与 ? 所成的角 ? ,

sin ? ? cos ? m,n ? ?

m?n mn

n

m

二、例题讲解 例 1、在长方体 AC1 中,AB=2,BC=CC1=1,求 (1)CD 与面 ABC1D1 所成的角 (2)A1C 与平面 ABC1D1 所成的角 (3)A1C 与平面 BC1D 所成的角
A1 D

D1

C1

B1 C O B

A

例 2、四面体 ABCD 中,所有棱长都相等,M 为 AD 的中点,求 CM 与平面 BCD 所成角的余弦值。
? 例 3、 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45 ,

AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 . (Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
C D A

S

B

L2

例 4、如图, l1, l 2 是互相垂直的异面直线,M、N 分别在 l1, l 2 上,且 MN ? l1 ,MN ? l 2 (1)证明:AC ? NB C 在 l 2 上,AM=MB=MN。
L1

C ,点

AB 在 l1 上,

N

(2)若 ? ABC=60?,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值。(

3 ) 3

A M B

训练题 1、三基能力强化 T3 2、P239 T7 (利用公式求解) 3、P239 T3 (2008 年高考全国卷 1)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC 内的射影 为三角形 ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成的角的正弦值等于 4、P240 T10 (2008 上海高考)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是 BC1 的中点。求直线 DE 与 1 D1 C1 平面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). B1 A1 E D A B C

5.过点 P 作平面 ? 的两条斜线段 PA 和 PB,则 PA=PB 是斜线 PA 和 PB 与平面 ? 成等角的 条件。 A 6.如图所示, ? BOC 在平面 ? 内,OA 是 ? 的斜线,

? AOB= ? AOC=60?,OA=OB=OC=a,BC= 2 a, 求 OA 和平面 ? 所成的角的大小。

C B O

第 6 题图

7.如图,已知正方形 ABCD,SA ? 现面 ABCD,且 SA=AB,M、N 分别为 SB、SD 的中点,求 SC 和 S 平面 AMN 所成的角
N M A D

B

第 7 题图

C

8.给出下列命题,其中正确命题序号是 。 (1)若 PA、PB、PC 与平面 ? 成等角,则迠 P 在平面 ? 上的射影 O 是 ? ABC 的外心 (2)已知直线上 l 与平面 ? 所成角是 围是 ?

? ,直线 a 是 ? 内与 l 异面的任一直线,则 l 与平面 ? 所成角范 4

?? ? ? , ? ?4 2?

(3)在三棱锥 P-ABC 中,若二面角 P-AB-C,P-BC-A,P-CA-B,大小相等,则点 P 在平面 ABC 上射 影 O 是 ? ABC 内心。 (4)坡度为 ? 的斜坡,有一条与坡脚水平线成 30?的小道,若沿小道每前进 100m,高度就上升 25m, 那么此坡坡度为 30?。

VC 9、 如图, 在三棱锥 V ? ABC 中, ⊥ 底面 ABC ,AC ⊥ BC ,D 是 AB 的中点, AC ? BC ? a , 且

π? ? ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ? (I)求证:平面 VAB ⊥ VCD ;
(II)试确定 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为

V

(Ⅲ)当解 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围. A

? 。 6

C D

B

第三节 一、基础知识

平面与平面所成的角

1.定义: 二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角:过棱上同一点分别位于二面角的两个面内,且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面 角的平面角,二面角的取值范围是 . 注:二面角是空间图形,平面角是平面图形。在书写时不要写成” ? AOB 为所求二面角”,而应写 成” ? AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角”。 2.求法:几何法 向量法 公式法 (1)几何法:作出二面角的平面角,再求解,常见的有
定义法 作 法 在棱 CD 上找一点 O,在两个面内分别作棱 的 垂 线 AO,BO ? AOB 为 二 面 角 ? ? CD ? ? 的平面角 过棱上一点 O 作棱的垂直平面 ? 与两个半 垂面法 平 面 的 交 线 分 别 为 AOBO ? ? CD ? ? 的平面角 过 B 内一点 A,作 AB ? BO 图 形

? AOB



三垂线法

?

CD 于

? ? CD ? ? 平面角或其补角

? 交 ? 于 B,作 O , 连 结 AO, ? AOB 的

(2)向量法: ①分别求出 ? 和 ? 的法向量 m, n ,则二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? m,n ? 或 ? — ? m,n ? 用此法须知: 〈1〉需建空间直角坐标系,定准相应点的坐标 〈2〉通常容易找到一个面的法向量,只需通过二次垂直,求另一个平面的法向量 〈3〉当 ? ? l ? ? 为锐角时 ? ? ? m,n ? ( ? m,n ? 为锐角) 或

? — ? m,n ? ( ? m,n ? 为钝角)

②在平面 ? 内 ?

? AC ? EF ? 在平面 ? 内,BD ? EF,且 B ? EF 分别求出 AC, BD ,则 ? AC, BD ? 即 ? A ? EF ? 为二面角 ? ? EF ? ? 的大小

(3)公式法: ①设二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? , AB ? ? , CD ? ? , AB ? l , CD ? l , 令 AB ? m, CD ? n, BD ? d , 则

AC 2 ? m 2 ? n 2 ? d 2 ? 2mncos?
注意:BA 与 DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等, 但不一定是异面直线 BA 和 CD 所成角的 大小。 ②面积法: 设二面角 ? ? l ? ? 的平面 ? 内某一图形(一般取三角形)面积为 S,该图形在平面 ? 上 射影面积为 S ? ,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,则 cos ? ?

S? S? (?为 角 )或cos ? ? ? (?为 角 ) 锐 钝 S S

二、例题讲练 例 1、如图,已知棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,且 AA1 ? 面 ABCD , ?DAB ? 60? ,

AD ? AA1 , F 为棱 AA 的中点, M 为线段 BD1 的中点, 1 (1)求证: MF ? 面 BDD1 B1 ; (2)求面 BFD 与面 ABCD 所成二面角的大小. 1 (1)证明:? 底面是菱形, ? AC ? BD 又? B1 B ? 面 ABCD , AC ? 面 ABCD ? AC ? B1 B ,? AC ? 面 BDD1 B1 又? MF // AC ? MF ? 面 BDD1 B1 (2)延长 D1 F 、 DE 交于点 E ? F 是 A1 A 的中点且 ABCD 是菱形? DA ? AE ? AB 又 ?DAB ? 60? ? ?DBE ? 90? D1 B ? BE ? ?D1 BD 为所求角 由三垂线定理可知
在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60
?

D1 A1 M F D O B B1

C1

C

A E

? BC ? 3BD

t a n D1 BD ? ?

D1 D ? 3 BD

? ?D1 BD ? 60?
例 2、如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE。 (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B—AC—E 的大小; 解: (1)如图,∵ BF⊥平面 ACE ∴ BF⊥AE 又∵ 二面角 D—AB—E 为直二面角,且 CB⊥AB ∴ CB⊥平面 ABE ∴ CB⊥AE ∵ BC ? BF ? B ∴ AE⊥平面 BCE (2)连 BD 交 AC 于 G,连 FG ∵ 正方形 ABCD 边长为 2 ∴ BG⊥AC, BG ? 2 ∵ BF⊥平面 ACE 由三垂线定理逆定理得 FG⊥AC ∴ ∠BGF 是二面角 B—AC—E 的平面角 由(1)AE⊥平面 BCE ∴ AE⊥EB 又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形 AEB 中, BE ?

2

又∵ Rt△BCE 中, EC ?

BC2 ? BE2 ? 6 BC ? BE 2 ? 2 2 3 ∴ BF ? ? ? EC 3 6
BF 6 ∴ 在 Rt△BFG 中, sin ?BGF ? ? BG 3 6 ∴ 二面角 B—AC—E 等于 arcsin 3 例 3 、 如 图 所 示 的 几 何 体 ABCDE 中 , DA ? 平 面 EAB , CB // DA , EA ? DA ? AB ? 2CB , EA ? AB , M 是 EC 的
D

Q O P M

C 中点. B A

(Ⅰ)求证: DM ? EB ; (Ⅱ)求二面角 M ? BD ? A 的余弦值. 解法一: E (Ⅰ)证明:取 BE 的中点 N ,连接 MN, AN ,则 MN // CB // DA , 故 M , N , A, D 四点共面,∵ DA ? 平面 EAB ,? DA ? EB . 又 EA ? AB

A

A
N

? AN ? EB

由 MN ? AN ? N ,

? EB ? 平面 ANMD ? DM ? EB ; (Ⅱ)取 AC 的中点 P ,连 MP ,则 MP // EA, ? MP ? 平面 ABCD 过 P 作 PQ ? BD ,连 QM ,则 QM ? BD ??MQP 是二面角 M ? BD ? A 的平面角. ?AOD ? ? , ?CAB ? ? ,则有 设 CB ? a , AC 与 BD 的交点为 O ,记

CO CB 1 1 ? ? , CO ? AC AO AD 2 3

1 1 1 2 5 ? OP ? ( ? ) AC ? a ? (2a)2 ? a 2 3 6 6

2 2 1 2 3 2 (sin ? ? cos ? ) ? ( ? )? 2 2 5 5 2 5 1 2 PQ ? OP sin ? ? a , 又 MP ? EA ? a 2 4 MP 1 ? 2 2 ,? cos?MQP ? 在 Rt?MPQ 中, tan?MQP ? PQ 3 1 即二面角 M ? BD ? A 的余弦值为 . 3 解法二: 分别以直线 AE, AB, AD 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,设 CB ? a ,则 A(0,0,0), E(2a,0,0), B(0,2a,0),C(0,2a, a), D(0,0,2a) , 所 以 z a M (a, a, ) . D 2 3 (Ⅰ)证: DM ? (a, a,- a ), EB ? (?2a,2a,0) 2 C ? DM ? EB ? a ? (-2a) ? a ? 2a ? 0 ? 0 ? DM ? EB , 即 ? sin ? ? sin(? ? 45? ) ?
DM ? EB . ( Ⅱ ) 解 : 设 平 面
M

M B D 法 向 量 为 的

A E x

A

n ? ( x, y, z) , DB ? (0,2a,-2a) ,由 n ? DB , n ? DM 得
?n ? DB ? 2ay - 2az ? 0 ? ? 3 ?n ? DM ? ax ? ay - az ? 0 2 ? ?y ? z ? ?? 3 ?x ? y ? 2 z ? 0 ?
? cos ? n, n1 ??

B A

y

取 z ? 2 得平面 MBD 的一非零法向量为 n ? (1,2,2)

1 ?2 ?2 ? 1 ?0 ?0 1 ∴二面角 M ? BD ? A 的余弦值为 . 3 ? 例 4、 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD ,且 1 PA ? AD ?DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则
2 2 2 2 2 2
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又平面 BDA 的法向量为 n1 ? (1,0,0)

1? 0 ? 0

?

1 , 3

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A( 0 , 0 , 0B , ( 0 , 2C 0 ) , ) ,

1 (1, 1, 0 ) , P(1, 0 , 0 M, , 1,0 , ) , 1 ) , D (0 ( 0 ) 2
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(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD 在面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD
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又 DC

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(Ⅱ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 ???? ???? ? 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN ?MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5 4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC. ? ?ANB 为所求二面角的平面角 ???? 30 ???? 30 ???? ???? 4 P ?| AN |? ,| BN |? , AN ?BN ? ? . 5 5 5 ???? ???? ???? ???? AN ?BN 2 ? cos( AN , BN ) ? ???? ???? ? ? . 3 | AN | ? | BN | D 2 故所求的二面角为 arccos(? ). 3 B
例 5、 如图, 三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC, PC=AC=2, AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB. C (I) 求证:AB ? 平面 PCB; (II) 求二面角 C-PA-B 的大小. 解法一:(I) ∵PC ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴PC ? AB. ∵CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB, ∴CD ? AB.又 PC ? CD ? C ,∴AB ? 平面 PCB. (II) 取 AP 的中点 E,连结 CE、DE.

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A

P

D

E B

∵PC=AC=2,∴CE ? PA,CE= 2 . ∵CD ? 平面 PAB,由三垂线定理的逆定理,得 DE ? PA. ∴ ?CED 为二面角 C-PA-B 的平面角.由(I) AB ? 平面 PCB,
2

C

A

又∵AB=BC,可求得 BC= 2 .在 Rt?PCB 中,PB= PC ? BC ?
2

F

CD ?

PC? BC 2 ? 2 2 . ? ? PB 6 3

6, 2 CD 6 3 ? ? 在 Rt?CDE 中, sin∠CED= . CE 3 2
P z

6 ∴二面角 C-PA-B 的大小为 arcsin 3
解法二: (I)同解法一. (II) 设平面 PAB 的法向量为 m= (x,y,z).

D

AB ? (0,? 2,0) , AP ? ( 2,? 2,2) , ?AB ? m ? 0, ? 则 即 ? ?AP ? m ? 0. ? x

B

C

A y

?? 2 y ? 0, ? ? ? 2x ? 2 y ? 2z ? 0. ?
解得 ?

? y ? 0, ?x ? ? 2z

令 z = -1,

得 m= ( 2 ,0,-1).

设平面 PAC 的法向量为 n=( x ' , y ' , z ' ). PC? (0,0,-2 , AC ? ( 2,? 2,0) , )

?PC ? n ? 0, ? 则? ?AC ? n ? 0. ?
c o s m, n ?? ?
训练题

?? 2z' ? 0, ?z ' ? 0, ? ? 即? 解得 ? ' ' ?x ' ? y ' ? 2x ? 2 y ? 0. ? ?

令 x ' =1, 得 n= (1,1,0).

m?n 2 3 = . ? mn 3 3? 2

∴二面角 C-PA-B 的大小为 arccos

3 . 3

1.如图:三棱锥 A-BCD 中,AC=AB=BD=DA=2,BC=CD= 3 ,则二面角 A-BD-C 大小为

26 arccos 12

。二面角 B-AC-D 大小为

7 arccos 39
B E C

A

D

? ? 直 线 ? 2.已知 直 a ? ? , , 线 a与l 所成角为 ?1 (0 ? ? ? 90 ) , 与 ? 所成角为 ? 2, ? l ? ? 大小为 ? ? 则恒成立的是( ) a P a A. cos? 2 ? cos?1 cos? 3 B. sin ? 2 ? sin ?1 sin ? 3

3

C. sin ? 3 ? sin ?1 sin ? 2

D. cos? 3 ? cos?1 cos? 2
N O

M

B

3. 如 图 , 四 边 形

BCEF 、 AFED 都 是 矩 形 , 且 平 面 ?ACF ? ? , ?ABF ? ? , ?BAC ? ? ,则下列结论中正确的是 A

AFED ? 平 面
D

BCEF ,

A. cos? ? cos ? cos? B. sin ? ? sin ? cos? C. cos ? ? cos? cos? D. sin ? ? sin ? cos?
B F
P

E C

3.如图,四棱锥 P-ABCD 中所有的棱长都相等。求: ①二面角 C-PD-B 大小 ②设 M、N 分别为 AD、PC 中点, 试求 MN 与底面 AC 及平面 BDP 所成的角 ③平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小

D

C

A

B

4. 如图,四边形 ABCD 为直角梯形,AD//BC ? BAD=90?,PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC, P M、N 分别为 PC、PB 的中点 ①求证:PB ? DM ②求 BD 与平面 ADMN 所成角的大小 ③求二面角 A-PB-C M N
D A B C

5.如图所示多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的, 其中 AB=4, BC=2, C1=3, C C1 BE=1 (补形成正方体) ①求 BF ②求二面角 A-EF-B F

D

E

C

A

B

6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 在棱 CC1 上 ①求证:AE ? BD ②当 A1E 与面 BED 所成角为多大时,面 A1BD ? 面 EBD B1 ③在(2)的结论下,求此时二面角 A-A1D-E 的大小

A1

D1

C1

A

D C

B

8.如图,在棱长 AB=AD=2,AA1=3 的长方体 AC1 中点 E 是平面 BCC1B1 上动点,点 F 是 CD 的中点 D1 C1 ①试确定 E 的位置,使 D1E ? 平面 AB1F ②求二面角 B1-AF-B 的大小
A1 B1 E D F A B C

9、 如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小 证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系
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(Ⅰ)证明:不防设作 A(1, 0, 0) ,则 B(1,1, 0) , V ( ,0,

1 2

3 ), 2

1 3 AB ? (0,1,0),VA ? ( ,0,? ) 由 AB ?VA ? 0, 得 AB ? VA ,又 AB ? AD , 2 2

因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA , AD 都垂直 (Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点, 则 E ( ,0,

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∴ AB ? 平面 VAD

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3 3 3 3 1 3 1 3 ) , EA ? ( ,0,? ), EB ? ( ,1,? ), DV ? ( ,0, ). 4 4 4 4 2 2 4 4 由 EB ? DV ? 0, 得EB ? DV , 又EA ? DV. 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角,
cos( EA, EB ) ? EA ? EB | EA | ? | EB | ? 21 21 , 解得所求二面角的大小为 arccos . 7 7

10、 (2008 年高考天津卷) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3 ,AD ? 2 ,

PA ? 2 , PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60? .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. B 11、如图,已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? , E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ) H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正 若 为

P

A

D

C

切 值

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2
ABC

(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ 为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD.因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A,所以 AE⊥平面 PAD, 又 PD ? 平面 PAD.所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD,则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的 角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 ,所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即 此时 当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. tan∠EHA=

AE 3 6 ? ? , 因此 AH AH 2

AH= 2 .又 AD=2,

所以∠ADH=45°,所以 PA=2. 解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC,所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 3 ,AO=AE·cos30°= , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=

3 2 , 4
3 2 4 ? 15 , 5 30 4

SO 3 9 30 2 2 ? 又 SE ? EO ? SO ? ? ? , 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= SE 4 8 4

即所求二面角的余弦值为

15 . 5
坐 标 原 PC 的中 B( 3 ,

解法二:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为 点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E、F 分别为 BC、 点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以 A(0,0,0) , -1,0) ,C( 3 ,1,0) ,

D (0, 0) P 2, ,(0, 2) E 0, ,( 3 , 0) F 0, ,(

3 1 , , ,1 ) 2 2

所以

??? ? ??? ? 3 1 AE ? ( 3,0,0), AF ? ( , ,1). 2 2

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ),

??? ? ? 3x1 ? 0, ?m?AE ? 0, ? ? 则 ? ??? 因此 ? 3 取 z1 ? ?1, 则m ? (0, 2, ?1), ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ?m?AF ? 0, ? ? ? 2 2
因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,

??? ? ??? ? 故 BD 为平面 AFC 的一法向量.又 BD =(- 3,3,0 ) ,

??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 ??? ? ? 所以 cos<m, BD >= ? . 5 | m |? BD | | 5 ? 12
因为 二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

15 . 5


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