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2.2.2.1椭圆的简单几何性质 课件(人教A版选修2-1)


2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质

1.通过椭圆的方程能得出椭圆有哪些几何性 问题 质?

引航 2.椭圆离心率的大小是如何影响椭圆扁平程
度的?

椭圆的简单几何性质 焦点的位置 标准方程 焦点在x轴上
x 2 y2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a

b ________________

焦点在y轴上
y2 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b ________________

图形

焦点的位置 对称性 范围 顶点 轴长 焦点

焦点在x轴上

焦点在y轴上

x轴和y轴 对称中心______ (0,0) 对称轴_________, [-a,a] [-b,b] x∈_______,y∈_______ [-b,b] [-a,a] x∈_______,y∈_______

A1(-a,0),A2(a,0), _________________ B1(0,-b),B2(0,b) ________________

A1(0,-a),A2(0,a), _________________ B1(-b,0),B2(b,0) ________________

2b 2a 短轴|B1B2|=___,长轴|A1A2|=___ F1(-c,0),F2(c,0) ________________ F1(0,-c),F2(0,c) ________________ 2c |F1F2|=___

焦距
离心率

c a e=_____(0<e<1)

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
2 2 x y (1)椭圆 ? 2 ? 1 (a>b>0)的长轴长等于a.( 2 a b

) )

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.( (3)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.( )

2 2 x y 【解析】(1)错误,椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的长轴长等于2a. a b

(2)正确,椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 a+c,最小值为 a-c. (3)正确.离心率 e ? c 越小c就越小,这时b就越接近于a,椭圆
a

就越圆. 答案:(1)× (2)√ (3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)椭圆x2+9y2=36的短轴的端点为________.
2 2 x y (2)椭圆 ? ? 1 的离心率e=________. 4 9 2 2 x y (3)设P(m,n)是椭圆 ? ? 1 上任意一点,则m的取值范围是 25 9

________.

【解析】(1)由x2+9y2=36,得

x 2 y2 所以b2=4,b=2.因此短 ? ?1 , 36 4

轴的端点坐标为(0,2),(0,-2).

答案:(0,2),(0,-2)
2 2 x y (2)由 所以a2=9,b2=4, ? ?1 , 4 9

所以c2=5,
所以 e ? c ? 5 .
a 3

答案: 5
3

2 2 x y (3)由 得a=5, ? ?1 , 25 9

所以m∈[-5,5]. 答案:[-5,5]

【要点探究】 知识点 椭圆的简单几何性质

1.椭圆的范围 椭圆的范围决定了椭圆的大小,它位于四条直线x=±a,y=±b围 成的矩形内,即-a≤x≤a,-b≤y≤b.椭圆的范围在解决与椭圆 有关的最值、参数的取值范围问题时,常常涉及.

2 2 x y 2.椭圆方程 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)中a,b,c的几何意义 a b 2 2 在方程 x ? y ? 1(a>b>0)中,a,b,c a 2 b2

的几何意义如图所示.即a,b,c正好构成了
一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶 点构成的直角三角形.

3.椭圆的离心率

【知识拓展】椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做
2 2b 椭圆的通径,其长度为 . a

【微思考】 (1)由椭圆的几何性质可知,要确定椭圆的标准方程需要确定 什么? 提示:首先要确定焦点位置,其次需要确定a,b的值. (2)求椭圆离心率的关键是什么? 提示:根据 e ? c , a2-b2=c2,因此要确定椭圆的离心率,关键
a

是找出a,b,c的等量关系.

【即时练】
x 2 y2 写出椭圆 ? ? 1 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和 144 64

顶点坐标.
2 2 x y 【解析】由方程 ? ? 1 得a=12,b=8, c ? 4 5, 144 64

所以长轴长和短轴长分别为2a=24和2b=16,离心率 e ? c ? 4 5
? 5 . 3 a 12

又焦点在x轴上, 所以两个焦点坐标分别是 (?4 5,0) 和 4 5,0 . 四个顶点坐标分 别是(-12,0),(12,0),(0,-8)和(0,8).

?

?

【题型示范】

类型一

利用几何性质求椭圆的标准方程

【典例1】

(1)(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为
F(1,0),离心率等于 , 则C的方程是(
x 2 y2 A. ? ?1 3 4 x 2 y2 C. ? ?1 4 2
1 22 x y2 B. ? ?1 4 3

)

(2)已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂 直,且焦距为8,求椭圆的标准方程.

x 2 y2 D. ? ?1 4 3

【解题探究】1.题(1)中由右焦点F(1,0)及 e ? 1 可直接求出什
2

么? 2.题(2)由焦点与短轴两端点的连线互相垂直,能得出什么条 件?

【探究提示】1.可直接求出长半轴长的值.
2.能得出三点所构成的三角形是等腰直角三角形.

2 2 x y 【自主解答】(1)选D.设C的方程为 ? ? 1 (a>b>0),则c=1, a 2 b2 2 2 c 1 x y e ? ? ,a ? 2, b ? 3, C的方程是 ? ? 1. a 2 4 3 2 2 (2)设椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1(a>b>0)如图所示,△A1FA2为等 a b

腰直角三角形.

OF为斜边A1A2上的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,

所以c=b=4,
所以a2=b2+c2=32.
x 2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ? ? 1. 32 16

【方法技巧】利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注

意事项
(1)基本步骤:

(2)注意事项:当椭圆的焦点位置不确定时,通常要分类讨论,分 别设出标准方程求解,可确定类型的量有焦点、顶点;而不能确 定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.

【变式训练】(2014·济宁高二检测)若椭圆中心在原点,对称 轴为坐标轴,长轴长为 2 3,离心率为
x 2 y2 A. ? ?1 12 8 x 2 y2 C. ? ?1 3 2

3 则该椭圆的方程为 , 3

(
x 2 y2 y2 x 2 B. ? ? 1或 ? ?1 12 8 12 8 x 2 y2 y2 x 2 D. ? ? 1或 ? ?1 3 2 3 2

)

【解析】选D.由题意得 a ? 3,又 e ? 3 ,所以c=1,所以
3

b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆方程为

2 2 x 2 y2 y x ? ?1或 ? ? 1. 3 2 3 2

【误区警示】本题易错选C答案,错误的原因是误认为焦点在x 轴上,而忽视讨论焦点位置.

【补偿训练】若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和

为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为(
x 2 y2 A. ? ?1 9 16 x 2 y2 C. ? ?1 16 25 x 2 y2 B. ? ?1 25 16 x 2 y2 D. ? ?1 16 9

)

【解析】选B.由一个焦点坐标为(3,0),知c=3,且椭圆焦点在
2 2 x y x轴上,设其标准方程为: ? 2 ? 1 (a>b>0),由2a+2b=18, 2 a b

即a+b=9,结合9=a2-b2,得a=5,b=4.

类型二

与离心率有关的问题

【典例2】
2 2 x y (1)椭圆为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别 a b uuu r uuu r uuu r 为F1,F2,D是它短轴的一个端点,若 3DF1 ? DA ? 2DF2,则该椭

圆的离心率为(
A. 1 2 B. 1 3

)
C. 1 4 D. 1 5

2 2 x y (2)设椭圆 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A a 2 b2

是椭圆上的一点,|AF2|<|AF1|且AF1⊥AF2,原点O到直线AF1 的距离为 1 |OF1|,则椭圆的离心率为(
2

)

A.

1 3

B. 3 ? 1

C.

2 2

D. 2 ? 1

(3)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直 线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求该椭圆的离心 率.

uuu r uuu r uuu r 【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 ? DA ? 2DF2 能得到什么结

论?
2.题(2)求解离心率的关键是什么?

3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时,一般要注意什
么?

【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系,取 D(0,b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式,求 c 的值.
a

3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时,注意利用平面图形的几 何性质,找关系,列等式.

【自主解答】(1)选D.由题意,A(-a,0),F1(-c, 0),F2(c,0),
不妨设D(0,b),

因为 3DF1 ? DA ? 2DF2 ,
所以3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b),
?3c ? ?a ? 2c, 即 ? 所以a=5c, ? ??3b ? ?3b, 所以 e ? c ? 1 . a 5

uuu r

uuu r

uuu r

(2)选B.因为AF1⊥AF2,OB⊥AF1,

所以|OB|= 1 |AF2|= 1 |OF1|
= 1 c.
2 2 2

所以|AF2|=c,又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
所以|AF1|= 3c, 所以2a=|AF1|+|AF2|= 所以 e ? 3 ? 1.

?

3 ? 1 c,

?

(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为 AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,所以 在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 ? AF2 2 ? AF1 2 ? 3x ? 2c, 再由椭圆的定义,可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e ? 2c ? 3x ? 3 .
2a 3x 3

【延伸探究】题(3)中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线 交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一 点,且AF1的中点B恰好在椭圆上,若△AF1F2为正三角形”.如 何求椭圆的离心率?

【解析】如图,连接BF2. 因为△AF1F2为正三角形, 且B为线段AF1的中点, 所以F2B⊥BF1. 又因为∠BF2F1=30°,|F1F2|=2c, 所以|BF1|=c,|BF2|= 3c.

据椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a, 即 c+ 3c=2a, 所以 c = 3-1.
a

所以椭圆的离心率为 e= 3- 1.

【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法:若已知a,c可直接利用 e ? c 求解.若已知a,b或b,c 可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式 e ? c 求解.
a a

(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关 系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式, 再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程 或不等式,即可求得e的值或范围.

2 2 x y 【变式训练】(2014·江西高考)设椭圆C: 2 ? 2 =1(a>b>0) a b

的左右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,F1B与
y轴交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 .

【解题指南】用a,b,c表示出点A,D,F1,B的坐标,然后利用线
线垂直的条件求解.

b2 b2 【解析】不妨令A(c, ),B(c,),F1(-c,0), a a 2 所以直线F1B的方程为y= ? b (x+c), 2ac 2 b 令x=0可得y= ? , 2a 2 2 2 b 3b b 即 D(0, ? ), AD ? ( ? c, ? ), F1B ? (2c,- ), 2a 2a a

因为AD⊥F1B, 所以-2c2+
3b 4 =0, 2a 2

整理得 3 b2=2ac,

故 3 a 2-

2 3c =2ac,

即 3 e2+2e- 3 =0, 解得e= 3 (负值舍去).
3 答案: 3 3

【补偿训练】已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆 的离心率为(
1 A. 3 3 B. 3

)
2 C. 2

1 D. 2 2 2 x y 【解析】选B.化为标准方程为 ? ? 1 (m>0), m m 2 3 因为 a 2 ? m , b 2 ? m , 2 3 m 所以 c 2 ? , 6
2 c 所以 ? 1,得 e ? 3 . a2 3 3

【规范解答】与椭圆离心率范围有关的问题 【典例】(12分)已知椭圆M:x ? y ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分 2 2
a b
2 2

别为F1,F2.P是椭圆M上的任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的 取值范围为 [ 1 c2 ,3c 2 ] (其中c2=a2-b2),求椭圆离心率e的取值范
2

围.

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升

失分点1:解题时若忽视①处定义的应用,找不到解题关键,则会
导致对题目无从下手,从而无法得分.

失分点2:若在②处基本不等式的知识掌握不熟练,无法求出
|PF1|·|PF2|的最值,则会导致解题思路受阻而得3~4分.

失分点3:若在③处转化为关于离心率e的不等关系时范围出错,
则本例最多得7分. 失分点4:若在④处忽略椭圆离心率本身的范围 ,将 3 ? e ? 2
3

作为题目的求解结果,则最多得10分.

【悟题】提措施,导方向

1.注重条件的挖掘
由椭圆的定义:若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),则点P的轨迹为 椭圆,反过来,若点P在椭圆上,应首先考虑利用定义寻找解题突 破口,如本例中,由P是椭圆上一点,可得|PF1|+|PF2|=2a.

2.注重思想方法的应用 解与离心率范围有关问题时,常利用不等式的思想,如本例中已 知|PF1|·|PF2|最大值的范围,应先求出|PF1|·|PF2|的最大值, 从而转化为关于最大值的不等式的问题求解. 3.注重隐含条件的挖掘 求解离心率问题时,要特别注意曲线离心率的取值范围这一隐 含条件,如本例中,由不等式求出e的范围后,应与0<e<1求交集.

2 2 x y 【类题试解】(2014·天水高二检测)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b a2 的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x= ? , 且 c

PQ⊥l,垂足为Q.若四边形PQF1F2为平行四边形,求椭圆的离心 率的取值范围.

【解析】因为PQF1F2为平行四边形,对边相等, 所以|PQ|=|F1F2|,即|PQ|=2c. 设P点横坐标为x0,
a2 a2 则 x 0 ? ? 2c, 即 x 0 ? 2c ? , c c 2 又-a<x0<a,所以 ?a ? 2c ? a ? a, c
2 ? 2e ? 所以 ? ? e ? 1 ? 0, 2 2e ? e ? 1 ? 0, ? ? 解得 1 ? e ? 1. 2


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