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2014年全国高中数学联赛模拟卷(4)(一试+二试


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.各项均为实数的等比数列{an},前 n 项之和记为 S n . 若 S10 ? 10 , S 30 ? 70 ,则 S 60 ?
2 2



2.关于 x 的方程 2cos2 (22 x? x ) ? a ? 3sin(22 x? x ?1 ) 至少有一个解,则实数 a 的范围是_____________ 3.已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为 V,则球的表面积的最小 值为_____________.
2 1? x 2 4.已知 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R} , B ? {x 2 ? a ? 0, x ? 2(a ? 7) x ? 5 ? 0, x ? R} .若 A ? B ,

则实数 a 的取值范围是 . 5.一个盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的废品 数 ? 的数学期望 E? =_________________. 13 6.若非负实数 x, y, z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? ,则 ( x ? y ? z)min ? . 4
2 n 2 7.正整数 n 使得 n ? 2005 是完全平方数, 则 ( n ? 2005) 的个位数字是

. 1 =0 x-y

8.在平面直角坐标系内,将适合 x<y, |x|<3, |y|<3, 且使关于 t 的方程 ( x3 ? y3 )t 4 ? (3x ? y)t 2 ? 没有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N 所成区域的面积为 _______.

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)
5 9. 已知定义在 R 上的函数 f (x)满足: f (1)= , 且对于任意实数 x、 y , 总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) 2 成立. (1)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3, ) ,求数列 {an } 的通项公式 (2)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 . 设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论.

n ? 2 ,令 Sn ? ? 10.对 n ? N *,

n

k
2

k ?1 1 ? k

? k4

, Tn ? ?

k 3 ?1 ,试求 S n ? Tn 的表达式. 3 k ?2 k ? 1
n

x2 11.如图, 设 P 为双曲线 -y2=1 上第一象限内的任一点, F1, F2 为左右焦点, 3 → → → → 直线 PF1, PF2 分别交双曲线于 M, N. 若PF1=λ1F1M (λ1≠?1), PF2=λ2F2N. 求 λ1+λ2 的值及直线 MN 的斜率 KMN 的取值范围. F1

y P M O F2 x

N

2014 模拟卷(4)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(4)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)在△ABC 中,a+c=3b, 内心为 I,内切圆在 AB,BC 边上的切点分别为
D,E, 设 K 是 D 关于点 I 的对称点,L 是 E 关于点 I 的对称点.求证:A,C,K,L 四点共圆.

A
D
L

I
N K

M

P

B

E

C

二、 (本题满分 40 分)已知 x0 ? 1, x1 ? 3, xn ?1 ? 6 xn ? xn ?1 ? n ? N ? ? ,求证数列{xn}中无完全平方数.

q p 三、 (本题满分 50 分)若 p , q 为质数, p ? q , (1)求所有数组 ( p , q) ,使得 pq p ? q ? 1

aq ap (2)证明:对任意数组 ( p , q) ,必可找到正整数 a ,使得 pq p ? q ? a .

四、 (本题满分 50 分) 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与 x 轴不垂直的直线 l
交抛物线于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交 x 轴于 Q 点. (1) 求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程; (2) 证明:L 上有无穷多个整点, 但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数.

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案
1.630 2.设 22 x ? x ? t , 则 2cos t ? a ? 3 sin 2t , 即 3 sin 2t ? cos 2t ? 1 ? a ,得 cos(2t ?
2
2

?
3

)?

而 t ? 22 x? x ? 21?( x?1) 由 ?1 ?

2

2

a ?1 1 ? , 得 ?1 ? a ? 2 . 2 2

1 ? (0,2] ,有 2t ? ? ( , ? 4] , 从而 cos(2t ? ) ? [?1, ) , 3 3 3 3 2

?

? ?

?

a ?1 , 2

9? 3 9V 2 3. . 4 4.可得 A ? {x 1 ? x ? 3} ,设 f ( x) ? 21? x ? a , g ( x) ? x2 ? 2(a ? 7) x ? 5 要使 A ? B , 只需 f ( x ) , g ( x) 在(1,3)上的图像均在 x 轴的下方, 则 f (1) ? 0 , f (3) ? 0 , g (1) ? 0 , g (3) ? 0 , 由此可解得 ?4 ? a ? ?1 . 1 C9 C 1C 1 9 A2C 1 9 3 5.解析: ? 取值为 0,1,2,3,且有 P(? ? 0) ? 1 , ? , P(? ? 1) ? 3 2 9 ? , P(? ? 2) ? 3 3 9 ? 44 220 C12 4 A12 A12
3 1 A3 C9 3 9 9 1 1 ? 2? ? 3? ? 0.3 . . ? E? ? 0 ? ? 1 ? ? 4 4 44 220 220 220 A12 6.解析: x, y , z 均为非负实数,? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? 0 , 13 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? , 4 13 ?3 ? 22 ?3 ? 22 ? ( x ? y ? z ) 2 ? 3( x ? y ? z ) ? ? 0 ,? x ? y ? z ? 或x? y?z ? (舍) 4 2 2 ?3 ? 22 ?3 ? 22 所以, ( x ? y ? z)min ? ,只需 x ? y ? 0, z ? 取等. 2 2 2 2 7.设 n ? 2005 ? m (m ? 0) ,则 (m ? n)(m ? n) ? 2005 ? 1? 2005 ? 5 ? 401 , 得 ?m ? n ? 1 ?m ? n ? 5 ?m ? 1003 ?m ? 203 或? ,解得 ? 或? , ? ?m ? n ? 2005 ?m ? n ? 401 ?n ? 1002 ?n ? 198

P(? ? 3) ?

? 10034?250?2 ,知它的个位数字是 9, 由 203198 ? 2034?49?2 ,知它的个位数字也是 9. 1 2 3 3 2 ? 0. 8.解析:令 u ? t ,原方程化为 ( x ? y )u ? (3x ? y )u ? ① x? y 1 ? ? (3x ? y )2 ? 4( x3 ? y 3 ) ? ? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y)( x ? y ). x? y
由 1003
1002

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, ? ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? y ? 3, ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ? ? ? ?3 x ? y ? 0.
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

1 24 1 81 S ? S ?ABO ? S ?BCO ? ? ? 3 ? ? 6 ? 3 ? . 2 5 2 5
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9.解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又

f (1) ?

令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ?f ( ? y)

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2 ? f ( y) ? f (? y) 对任意的实数

y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数.令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,

?

25 17 17 5 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . ? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? ? ? 6 . 4 4 2 2 5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,? f (n ? 2) ?

?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? ?2 ? ? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an (n …1).

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴ an ? 6 ? 2n?1 . (2)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky ( k ? N + ) ,故 ?k ? N + ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成立. 则 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? f ( y) ? f (0) ? 0 . + ∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
∴对于 m, n ? N+ ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ?? ∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |?

? f (my ) 成立.

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2 qp pq 1 则 | x1 |? 1 2 ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N+ . p1 p2 p1 p2 p1 p2 ∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) .
∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) .∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 10.解: Sn ?
n

?1? k
k ?1

n

k
2

?k

4

??

k 2 k ?1 (k ? k ? 1)(k ? k ? 1)
2

n

n2 ? n 1? 1 1 1 1 ? 1? ? , ?? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? k ? k ? 1 ? 2 ? 12 ? 1 ? 1 n2 ? n ? 1 ? 2(n2 ? n ? 1) k ?1 2 ? k ? k ? 1 n n n k 3 ?1 (k ? 1)(k 2 ? k ? 1) k ?1 n k 2 ? k ?1 Tn ? ? 3 ?? ?? ?? 2 2 k ?2 k ? 1 k ? 2 (k ? 1)(k ? k ? 1) k ? 2 k ? 1 k ? 2 (k ? 1) ? (k ? 1) ? 1 1? 2 n2 ? n ? 1 2(n2 ? n ? 1) n2 ? n 2(n2 ? n ? 1) 1 故 SnTn ? ? ? 2 ? ? ? . n ? (n ? 1) 1 ? 1 ? 1 3n(n ? 1) 2(n2 ? n ? 1) 3n(n ? 1) 3
11. 解: 设 p(x0, y0), 因 OF 1 ? OP ? ?1 (OM ? OF 1 ) , 所以

OM ?

1 ? ?1

?1

OF1 ?

1

?1

OP ? (?

2 ? 2?1 ? x0

?1

,?

?1

y0

) , 同理 ON ? (

2 ? 2?2 ? x0

?2

,?

?2

y0

),

2 2 2 ? ?(2 ? 2?1 ? x0 ) ? 3 y0 ? 3?1 将 M、N 坐标代入双曲线得: ? 2 2 2 ? ?(2 ? 2?2 ? x0 ) ? 3 y0 ? 3?2 2 2 ? (1) ?4(1 ? ?1 ) ? 4 x0 (1 ? ?1 ) ? 3?1 ? 3 即? 消去 x0 得: 2 2 ? (2) ?4(1 ? ?2 ) ? 4 x0 (1 ? ?2 ) ? 3?2 ? 3

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4(1 ? ?1 ) 2 (1 ? ?2 ) ? 4(1 ? ?1 )(1 ? ?2 ) 2 ? 3(?1 ? 1)(1 ? ?2 ) ? 3(?2 ? 1)(1 ? ?1 ) 即 4(1 ? ?1 )(1 ? ?2 )(?1 ? ?2 ? 2) ? 3(1 ? ?1 )(1 ? ?2 )(?1 ? ?2 ? 2) , 因 (1 ? ?1 )(1 ? ?2 ) ? 0 所以, 4(?1 ? ?2 ? 2) ? 3(?1 ? ?2 ? 2) , 解得 ?1 ? ?2 ? ?14 . 将(1)-(2)得: 4(?1 ? ?2 )(?1 ? ?2 ? 2) ? 4x0 (?1 ? ?2 ? 2) ? 3(?1 ? ?2 )(?1 ? ?2 )
2 2

将 ?1

? ?2 ? ?14 代入得: ?1 ? ?2 ? ?8x0 与 ?1 ? ?2 ? ?14 联立解得:

??1 ? ?4 x0 ? 7 y0 (?2 ? ?1 ) x0 y 0 ? 代入 K MN ? , ? 2(?2 ? ?1 ) ? 4?2 ?1 ? x0 (?2 ? ?1 ) 21? 7 x0 2 ?? 2 ? 4 x0 ? 7
由 x02-3y02=3 得 K MN ?

x0 y 0 21 ? 7 x0
2

?

x0 y 0 7(3 ? x0 )
2

??

1 x0 y 0 1 x 1 3 3 ? 2 ?? ? 0 ?? 3? 2 ? ? 21 y 0 21 y 0 21 21 y0

即斜率 KMN 的取值范围是( ? ?,?

3 ). 21
A
D
L

加试
一、证:设直线 BI 交 ?ABC 的外接圆点 P,易知 P 是 AC 的中点。 记 AC 的中为 M,则 PM ? AC。设 P 在直线 DI 的射影为 N

a?b?c ? 2b , 由于 a ? c ? 3b, 则半周长 p ? 2 则 BD ? BE ? p ? b ? b ? AC ? 2CM
又 ?ABP ? ?ACP, ?BDI ? ?CMP ? 900 所以 ?DBI ∽ ?MCP ,且相似比为 2 熟知; PI ? PC ? PA 。又 ?DBI ∽ ?NPI , 所以 DI ? 2 IN ,即 N 是 IK 的中点 进而 PK ? PI . 同理 PL ? PI , ,C,K,I,L 都在以 P 为圆心的同一个圆周上 所以 A 二.解:易得数列的通项公式为 xn ?
n n 1? 3? 2 2 ? 3? 2 2 ? , ? ? ? 2? n n 1 ? 2 2 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ? ,则 yn ? N ? 且易得 xn 设 yn ? ? 2 yn ?1 ? ? ? 2 2? 4 2 因此欲证 xn 为非完全平方数,只需证明 x ? 2 y ? 1 …………(1)

I
N K

M

P

B

E

C

?

? ?

?

?

? ?

?

无正整数解 ? x, y ? ,其中 x ? 3 ,由(1)式知 x 为奇数,则 8 x ? 1 ,故 y 为偶数,
4

?

?

x2 ? 1 x2 ? 1 ? ? 2 y12 ………………(2) 2 2 ? x2 ? 1 x2 ?1 ? ? x2 ? 1 ? 又? , ,1? ? 1 ,由式(2)及有关数论知识得: ??? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? x ?1 ? x ?1 2 ? 2s 2 ? ?s ? ? 2 ? 2 s, t ? N ? , s, t互素 ? , 或? ? ? 2 2 ? x ? 1 ? 2t 2 ? x ?1 ? t 2 ? ? ? 2 ? 2 2 2 若为前者,则 x ? 4s ?1 ? 3? mod 4? ,矛盾。
? 不妨设 y ? 2 y1 y1 ? N ,则

?

?

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若为后者,则 x ? 1 ? 4t ,有 ? x ? 2t ?? x ? 2t ? ? 1 ,于是
2 2

? x ? 2t ? 1 ?x ? 1 ? 解得: ? 矛盾。故 xn ? n ? N ? 不是完全平方数。 ? ? x ? 2t ? 1 ?t ? 0
q p 三.解: (1)若 p ? q ( ? 2 ) ,则 pq ? q p ? 1 ? 1 ( mod p ) ,与 p p ? q ? 1 矛盾!故 q ? p ? 1



q p q q 由 pq p ? q ? 1 知: q p ? 1 , 又由费马小定理得: pq ? p ( mod q ) ,即 q p ? p q q ∴q p ? 1 ? ( p ? p ) ,即 q p ?1



由① 、② ,只有 q ? p ? 1,故 p ? 2, 经检验,此时

q ?3

pq ? q p ? 1 ? 3 ? Z ,故 ( p , q) ? ( 2,3) 为所求数组。 pq (2)我们来求出一个 a 。 p ? q 时,取 a ? p 2 即可。当 p ? q 时, 10 若 q ? 1 ( mod p ) 设 q ? kp ? 1 ( k ? N * ) 取 a ? kp ( pkp?1 ?1) ?1 a ?1 p qa ? ( k p? 1 ) ? 1 ? 1 ?k p ( kp ? 1 )? ?a ( m o③ d p )
1 1 pa ? a ? pkp( p ? 1 ?) ? kp ? ( pkp? ? 1) ? 1 ? ( pkp )p ?2 ? pkp? 1? kp ? pkp? 1 ? ( kp ? 1 ) kp ?1 kp ?1 kp ?1 ? p ? kp ? p ? ( kp ? 1) ? q ( p ? 1) ? 0( mod q ) ④ 由③ 及费马小定理: paq ? qap ? a ? qap ? a ? qa ? a ? 0( mod p ) 由④ 及费马小定理:类似可得: paq ? qap ? a ? 0( mod q )
aq ap 又 ( p , q ) ? 1 ,∴ pq p ? q ? a
kp?1 kp?1

20 若 q ? 1 ( mod p ) 令 a ? ( p ?1)( q ?1) a1

a1 ? N * 待定 ( q ? 1?a )1 qap ? paq ? a ? qa ? a ? (q p?1 ) ? (p ? 1 ) q( ? a 1 1 ) ? 1 ? ( p ?1) ( q ?1) a1 ( mod p ) ap aq 同理: q ? p ? a ? 1 ? ( p ?1)( q ?1) a1 ( mod q ) 只须取 a1 ,使 ( p ? 1) ( q ? 1) a1 ? ?1( mod pq ) 即可 ∵ q ? 1 ( mod p ) ,∴ ( p ? 1, q ) ? ( q ? 1, p ) ? 1


? ( p ?1)( q ?1) , p q )? ? 1

当 a1 跑遍模 pq 的完系时, ( p ? 1)( q ?1) a1 也跑遍模 pq 的完系,故可取 a1 ? N * , 使 ( p ? 1) ( q ? 1) a1 ? ?1( mod pq ) 成立, 综上,必有正整数 a 满足条件。 四.解:(1)抛物线 y ? 2 px 的焦点为 (
2

p p , 0) ,设 l 的直线方程为 y ? k ( x ? ) (k ? 0) . 2 2

? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? ( pk ? 2 p ) x ? 4 p k ? 0 ,设 M,N 的横坐标分别为 x1 , x2 ? y ? k(x ? ) ? 2 x1 ? x2 pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p p p x ? x ? x ? ? y ? k ( ? )? , 则 1 ,得 P , P 2 2 2 2 k 2 2k 2k 2 k 2 1 p 1 pk ? 2 p ). 而 PQ ? l ,故 PQ 的斜率为 ? ,PQ 的方程为 y ? ? ? ( x ? k k k 2k 2 pk 2 ? 2 p 3 pk 2 ? 2 p ? 代入 yQ ? 0 得 xQ ? p ? .设动点 R 的坐标 ( x, y ) , 则 2k 2 2k 2
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1 p ? x ? ( xP ? xQ ) ? p ? 2 ? p2 ? 2 k 2 , 因此 p( x ? p) ? 2 ? 4 y ( y ? 0) , ? 1 p k ?y ? (y ? y ) ? P Q ? 2 2k ? 故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 4 y 2 ? p( x ? p)( y ? 0) .
(2) 显然对任意非零整数 t ,点 ( p(4t 2 ? 1), pt ) 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点. 反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 x ? 0, y ? 0, m ? 0 , 则
2 2 2 ? ? x ? y ? m (i ) , 因为 p 是奇素数,于是 p y , 从 (ii ) 可推出 p x , 再由 (i ) 可推出 p m , ? 2 4 y ? p ( x ? p )( ii ) ? ? ? x12 ? y12 ? m12 (iii ) ? 令 x ? px1 , y ? py1 , m ? pm1 , 则有 ? 2 , 4 y ? x ? 1 ( iv ) ? ? 1 1 x ? 1 2 ? m12 ,于是 (8x1 ? 1)2 ? (8m1 )2 ? 17 , 由 (iii) , (iv) 得 x1 ? 1 4 即 (8x1 ? 1 ? 8m1 )(8x1 ? 1 ? 8m1 ) ? 17 ,于是 8x1 ? 1 ? 8m1 ? 17 , 8x1 ? 1 ? 8m1 ? 1 ,

得 x1 ? m1 ? 1 ,故 y1 ? 0 ,有 y ? py1 ? 0 , 但 L 上的点满足 y ? 0 , 矛盾! 因此, L 上任意点到原点的距离不为整数.

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