当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-5 三角函数的图象与性质


考纲要求 考情分析 1.能画出 y=sin x,y 从近三年的高考试题来看,三角函数的周期 =cos x, y=tanx 的图 性、单调性、最值等是高考的热点,题型既 象,了解三角函数的 有选择题、填空题,又有解答题,难度属中 周期性. 低档,如 2012 年课标卷 9、大纲卷 3 等;常 2. 理解正弦函数、 余 与三角恒等变换交汇命题,在考查三角函数 弦函数在区间[0,2π

] 性质的同时,又考查三角恒等变换的方法与 上的性质(如单调性、 技巧,注重考查函数方程、转化化归等思想 最大值和最小值以及 方法,如 2012 年湖南卷 18、陕西卷 17 等. 与 x 轴的交点等), 理 预测:2013 年高考仍会以三角恒等变换为基 解正切函数在区间 础,综合考查三角函数的性质,在备考复习 π π (- , )内的单调性. 中应关注三角函数的综合应用问题. 2 2

1.周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定 义域内的每一个值时,都有

f(x+T)= f(x) ,那么函数 f(x)

就叫做周期函数, T 叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的
正数 ,那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期.

问题探究 1:所有的周期函数都有最小正周期吗?

提示:不是所有的周期函数都有最小正周期,周期函数 f(x)=C(C 为常数)就没有最小正周期.

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y=sin x

y=cos x

y=tanx

图象

定义域

R

R

π {x|x≠2+kπ,k∈Z}

函数 值域

y=sin x {y|-1≤y≤1}
单调增区间

y=cos x {y|-1≤y≤1}
单调增区间

y=tanx R

单调 ,k∈Z; 性 单调减区间 π 3π ,k∈Z

π π 单调增区间 [-2+2kπ,2+2kπ] [(2k-1)π,2kπ] , π (- +kπ,

[2+2kπ, 2 +2kπ]

k∈Z; 单调减区间 [2kπ,(2k+1)π] ,k∈Z

2 π 2+kπ) , k∈Z

函数

y=sin x
π 2+2kπ

y=cos x
x=2kπ (k∈Z)时, ymax=1; x=π+2kπ (k∈Z) ymin=-1时, 偶

y=tanx

x= (k∈Z)时,ymax=1 ; π 最值 x= -2+2kπ 2kπ(k∈Z)时,ymin =-1 奇偶 性 奇

无最值



函数

y=sin x
对称中心

对称性

(kπ,0),k∈Z 对称轴l: π x=kπ+2,k∈Z 2π

y=cos x y=tanx 对称中心 对称中心 π kπ (kπ+2,0),k∈Z ( ,0),k∈Z 2 对称轴l:

x=kπ,k∈Z


无 π

周期性

问题探究 2:正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称 中心与函数图象的关键点有什么关系?

提示:y=sin x 与 y=cos x 的对称轴方程中的 x 都是它们 取得最大值或最小值时相应的 x,对称中心的横坐标都是它们 的零点.

1.函数 y= π π A.[- 3,3]

1 cos x- 的定义域为 2

(

)

π π B.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 3 3 π π C.[2kπ- ,2kπ+ ],k∈Z 3 3 D.R

1 解析:由题意得 cos x≥ , 2 π π ∴2kπ-3≤x≤2kπ+3,k∈Z.
答案:C

2.函数 y=1-2sin xcos x 的最小正周期为 1 A.2π C.2π B.π D.4π

(

)

2π 解析:y=1-sin 2x,T= =π. 2
答案:B

3.设函数 f(x)=cos(2x-π),x∈R,则 f(x)是 ( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2 的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数

)

解析: f(x)=cos(2x-π)=-cos 2x,可知它是最小正周 期为 π 的偶函数.
答案:B

4.函数 y=|sin x|-2sin x 的值域是 A.[-3,-1] C.[0,3] B.[-1,3] D.[-3,0]

(

)

解析:当 0≤sin x≤1 时,y=sin x-2sin x=-sin x,此时 y∈[-1,0];当-1≤sin x<0 时,y=-sin x-2sin x=-3sin x, 这时 y∈(0,3],求其并集得 y∈[-1,3].
答案:B

5.下列区间是函数 y=2|cos x|的单调递减区间的是( A.(0,π) 3π C.( ,2π) 2 π B.(- ,0) 2 π D.(-π,- ) 2

)

解析:作出函数 y=2|cos x|的图象,结合图象判断. 答案:D

6.(2012 年嘉兴调研)设点 P 是函数 f(x)=sin ωx(ω≠0)的 图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的 π 最小值是4,则 f(x)的最小正周期是________.

解析: 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最 1 π 小值为最小正周期的4,故 f(x)的最小正周期为 T=4×4=π.
答案:π

三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提, 求三角函 数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组),通常可用 三角函数的图象或三角函数线来求解, 注意数形结合思想的应 用.

(1)求函数 y=lg(sin x-cos x)的定义域; (2)求函数 y= sin x+ 16-x2的定义域.
【思路启迪】 (1)由 sin x-cos x>0 得 sin x>cos x,利用 单位圆或函数图象得 x 的范围.
?sin x≥0 ? (2)解不等式组? ?16-x2≥0 ?

即可.

【解】 (1)由 sin x-cos x>0 得 sin x>cos x,下面求 sin x>cos x 的解 法一:利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正弦、 4 4 余弦函数的周期是 2π, π 5π 所以定义域为{x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z}. 4 4

法二:利用三角函数线,如图 MN 为正弦线,OM 为余弦 线,要使 sin x≥cos x,即 MN≥OM, π 5π 则4≤x≤ 4 (在[0,2π]内). π 5π ∴定义域为{x|4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z}.

π 法三:sin x-cos x= 2sin(x- )≥0, 4 π 将 x- 视为一个整体, 由正弦函数 y=sin x 的图象和性质 4 π 可知 2kπ≤x- ≤π+2kπ,k∈Z, 4 π 5π 解得 2kπ+4≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z. π 5π 所以定义域为{x|2kπ+ 4≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z}.

?sin x≥0 ? (2)由已知得? 2 ?16-x ≥0 ?

?2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z ? ,∴? ?-4≤x≤4 ?

如图: ∴所求定义域为[-4,-π]∪[0,π].

(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍然是使 解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等 式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具, 即单位圆中的 三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.

1 求函数 y= 的定义域. tanx- 3

π ? ?x≠kπ+ ,k∈Z 2 解:由已知得 ? ?tanx≠ 3 ? Z, ∴所求函数定义域为 π π {x|x≠kπ+2且 x≠kπ+3,k∈Z}.

π ? ?x≠kπ+2 ,∴? ? x≠kπ+π 3 ?

,k∈

1.形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基 π π 本思路是把 ωx+φ 看作一个整体,由-2+2kπ≤ωx+φ≤2+ π 3π 2kπ(k∈Z)求得函数的增区间,由2 +2kπ≤ωx+φ≤ 2 +2kπ(k ∈Z)求得函数的减区间.

2.形如 y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先利用 诱导公式把 x 的系数变为正数,得到 y=-Asin(ωx-φ),它的 增区间即为原函数的减区间. π 3. 对于 y=Atan(ωx+φ)(A、 φ 为常数), ω、 其周期 T= , |ω| π π 单调区间利用 ωx+φ∈(kπ-2,kπ+2)(k∈Z),解出 x 的取值 范围,即为其单调区间.

(1)(2011 年安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数, π π 若 f(x)≤|f(6)|对 x∈R 恒成立,且 f(2)>f(π),则 f(x)的单调递增 区间是 π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π B.[kπ,kπ+2 ](k∈Z) π 2π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π D.[kπ-2,kπ](k∈Z) ( )

(2)(2011 年山东)若函数

? π? f(x)=sinωx(ω>0)在区间?0, ?上 3? ?

?π π? 单调递增,在区间? , ?上单调递减,则 ?3 2?

ω=

(

)

A.3 3 C. 2

B.2 2 D. 3

? π ?f? ?=± 1, 6 【解析】 (1)由已知得? ?-sinφ>sinφ. ? π ? ?sin? +φ?=± 1, 3 即? ?sinφ<0. ? ?φ<0, ? ∴令?π π ?3+φ=± 2 ?

5 5 解得 φ 的一个值为-6π.∴f(x)=sin(2x-6π).

π 5π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 化简单调递增区间得 x∈[kπ 2 6 2 π 2 + ,kπ+ π.] 6 3 (2)f(x)=sinωx
? ?π π? π? 在?0, ?递增,在? , ?递减, 3? ? ?3 2?

π π π 3 ∴当 x= 时,取最大值.∴ ω= ,∴ω= .∴选 C. 3 3 2 2
【答案】 (1)C (2)C

求形如 y=Asin(ωx+φ)的单调区间一般是将 ωx+φ 看成一 个整体,从而再求出 x 的范围,要特别注意 ω>0.

(2012 年唐山统考)函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x π A.在(0, )上单调递增 6 π π B.在(6,3)上单调递增 π C.在(-6,0)上单调递减 π π D.在(-3,-6)上单调递减

(

)

3 1 解析:f(x)= 3sin 2x+cos 2x=2( sin 2x+ cos 2x)= 2 2 π π π π 2sin(2x+ ),由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)可知,函数 f(x) 6 2 6 2 π π 的单调递增区间为[kπ- , kπ+ ](k∈Z), k=0 时, 当 函数 f(x) 3 6 π π 的一个单调递增区间为[-3,6],结合选项知选 A.
答案:A

求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为: (1)y=asin x+bcos x 型可引用辅助角化为 y= a2+b2sin(x b +φ)(其中 tanφ= ). a (2)y=asin2x+bsin xcos x+ccos2 x 型可通过降次整理化为 y =Asin 2x+Bcos 2x,从而转化为(1).

(3)y=asin2x+bcos x+c 型可换元转化为二次函数. (4)sin xcos x 与 sin x± x 同时存在型可换元转化. cos asin x+b acos x+b (5)y= (或 y= )型,可用分离常数法或由 csin x+d ccos x+d |sin x|≤1 来解决,也可用斜率公式来解决.

(1)(2013 年山东滨州联考)对任意 x∈R,不等式 cos2x-m +4cos x≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围为________. π (2)(2011 年北京)已知函数 f(x)=4cos xsin(x+6)-1. ①求 f(x)的最小正周期; π π ②求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4

【解析】

(1) 由 (cos2x - m) + πcos x≥0 恒 成 立 , 得

m≤cos2x+4cos x=(cos x+2)2-1 恒成立 ∵cos x∈[-1,1],∴当 cos x=-1 时,m≤-3, ∴m 的取值范围是(-∞,-3]

π (2)①因为 f(x)=4cos xsin(x+ )-1 6 3 1 =4cos x( sin x+ cos x)-1= 3sin 2x+2cos2x-1 2 2 π 2π = 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ),①T= =π 6 2 所以 f(x)的最小正周期为 π.

π π π π 2π ②因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时, f(x)取得最大值为 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时, f(x)取得最小值-1. 6 6 6
【答案】 (1)(-∞,-3] (2)①π ②2 -1

形如 y=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]是高考中的热点题型(或 者是能转化为 y=Asin(ωx+φ)形式),要深刻领会并掌握.

(1)(2012 年大纲全国)当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π) 取得最大值时,x=________. (2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域.

1 3 解析:(1)y=sin x- 3cos x=2( sin x- cos x) 2 2 π =2sin(x- ). 3 π π 5π 当 y 取最大值时,x- =2kπ+ ,∴x=2kπ+ . 3 2 6 5π 又∵0≤x<2π,∴x= 6 .

(2)y=sin xcos x+sin x+cos x ?sin x+cos x?2-1 π = + 2sin(x+ ) 2 4 π π 1 =sin (x+ )+ 2sin(x+ )- 4 4 2
2

π 22 =[sin(x+ )+ ] -1, 4 2 π 所以当 sin(x+ )=1 时, 4 1 1 y 取最大值 1+ 2-2=2+ 2;

π 2 当 sin(x+ )=- 时,y 取最小值-1, 4 2 1 ∴该函数值域为[-1,2+ 2].

5π 1 答案:(1) (2)[-1, + 2] 6 2

1.三角函数奇偶性的判断: (1)首先看定义域是否关于原点 对称;(2)在满足(1)的前提下看 f(-x)与 f(x)的关系.

2.周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: (1)当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x); (2)T 是不为零的最小正数. 一般地,若 T 为 f(x)的周期,则 nT(n∈Z)也为 f(x)的周 期,即 f(x)=f(x+nT).特别注意:①最小正周期是指能使函 数值重复出现的自变量 x 要加上的那个最小正数, 这个正数是 对 x 而言的.②不是所有的周期函数都有最小正周期,周期函 数 f(x)=C(C 为常数)就没有最小正周期.

π 5π (1)(2012 年课标全国)已知 ω>0,0<φ<π, 直线 x= 和 x= 4 4 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ= ( π A. 4 π C. 2 π B. 3 3π D. 4 )

π 2π nπ (2)(2012 年上海)若 Sn=sin +sin +?+sin (n∈N*), 7 7 7 则在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 A.16 C.86 B.72 D.100 ( )

2π ?5 π? 【解析】 (1) =2? π- ?,得 ω=1,∴f(x)=sin(x+φ), 4? ω ?4 π π π π 则4+φ=kπ+2(k∈Z),φ=kπ+4,又 0<φ<π,∴φ=4 ,故选 A.

nπ (2)sin 7 的周期为 14,在 S1,S2,?,S13,S14 中,S13=S14 =0,其余均大于 0,由周期性可知,在 S1,S2,?,S100 中共 有 14 个 0,其余都大于 0,故选 C.
【答案】 (1)A (2)C

(1)若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得 最大或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ=2+kπ(k∈Z),求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ(k∈ Z)即可.

(2)求三角函数的周期时,要先对解析式进行化简,化为 y 2π =Asin(ωx+φ)或 y=Atan(ωx+φ)的形式, 再利用公式 T= 或 |ω| π T= 求解.有时也可根据函数的图象,通过观察求得周期. |ω|

(1)(2012 年北京海淀区期末)下列函数中, 最小正周期为 π, π 且图象关于直线 x= 对称的是 3
? π? A.y=sin?2x+6? ? ? ? π? C.y=sin?2x- ? 3? ? ? x π? B.y=sin?2+3? ? ? ? π? D.y=sin?2x- ? 6? ?

(

)

(2)(2012 年福建)函数 是 π A.x= 4 π C.x=- 4

? π? f(x)=sin?x-4?的图象的一条对称轴 ? ?

( π B.x= 2 π D.x=-2

)

2π 解析:(1)由最小正周期为 π,可知 ω= π =2. 对于
? π? y=sin?2x- ?, 6? ?

? π π π? 当 x=3时,y=sin?2×3-6?=1, ? ?

π 可知直线 x=3是其一条对称轴.

π π (2)法一:设 x- =kπ+ ,k∈Z, 4 2 3 则 x=kπ+4π,k∈Z. π 当 k=-1 时,x=- ,故选 C. 4 法二:利用函数在对称轴处取得最值的性质知选 C.
答案:(1)D (2)C

易错点

忽视“内”“外”单调规律,盲目套用结论

函数

? π? y=sin?-2x+3?的递减区间是______. ? ?

π π 3π 【错解】 令 2kπ+ ≤-2x+ ≤2kπ+ , 2 3 2 7π π 解得-kπ-12≤x≤-kπ-12,k∈Z, 所以函数的递减区间是 7π π [-kπ-12,-kπ-12](k∈Z).

【错因分析】

本题的错误在于解题中没有对函数 y=

? π? sin?-2x+ ?的解析式进行转化, 盲目套用结论而导致的, 事实 3? ?

π 上,该函数是由 y=sinu,u=-2x+ 两个函数复合而成的, 3 π π 3π 而 u=-2x+ 是递减的,这样令 2kπ+ ≤u≤2kπ+ ,k∈Z, 3 2 2 求得的并不是原函数的递减区间.

【正确解答】 由于 即求

? ? π? π? y=sin?-2x+3?=-sin?2x-3?, ? ? ? ?

? π? y=-sin?2x-3?的单调递减区间, ? ? ? π? v=sin?2x- ?的递增区间, 3? ?

也就是求

π π π 由 2kπ-2≤2x-3 ≤2kπ+2, π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,(k∈Z). 12 12 π 5π 故应填[kπ-12,kπ+12](k∈Z).

求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,若 ω 为负数,应先 用诱导公式把 x 的系数化为正数,再求解. 在研究三角函数的性质时通常犯以下错误: (1)若需把解析 式化简,要注意等价变形,即不能改变 x 的取值范围;若题目 π 中出现 tanx 时,还要保证函数自身有意义,即 x≠2+kπ(k∈ Z).

(2)关于 y=asin2x+bsin x+c 或 y=acos2x+bcos x+c 型或 可化为此型的函数求值域, 一般化为求二次函数在某区间上的 值域问题,在利用换元法进行求解时,要注意三角函数本身的 取值范围.如 y=sin2x-4sin x+5,令 t=sin x(|t|≤1),则 y= (t-2)2+1≥1 解法错误. (3)闭区间上最值或值域问题, 首先要在定义域基础上分析 单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.

求函数

?π 2x? y=sin? - ?的单调递增区间. 3? ?4

?π 2x? ?2 π? 解:y=sin? - ?=-sin? x- ?, 3? 4? ?4 ?3 ?2 π? π 2x π 3π ? x- ? 的递减区间为 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ (k 而 y=sin 4? 2 3 4 2 ?3

∈Z) 9π 21π 解得 3kπ+ 8 <x≤3kπ+ 8 (k∈Z), ∴ 函 数 y = sin
?π 2 ? ? - x? ?4 3 ?

的 单 调 递 增 区 间 为

? 9π 21π? ?3kπ+ ,3kπ+ ?(k∈Z). 8 8 ? ?

对于本节的学习,同学们要注意对以下思想方法的应用. 1.数形结合的思想:函数的性质在图象上都有很好的体 现,因此图象是研究性质,解题的很好工具. 2.化归转化的思想,研究类似于 y=Asin(ωx+φ)的性质 时,一般是通过整体代换的方法,将其化归成 y=sin x 的形 式.这样就可通过 y=sin x 的性质来研究 y=Asin(ωx+φ)的性 质. 对于 y=Acos(ωx+φ)和 y=Atan(ωx+φ)用同样的方法来处 理.


相关文章:
高考数学系统复习资料 三角函数的图象与性质
高考数学系统复习资料三角函数的图象与性质一.课标要求: 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性; 2.借助图像理解正弦函数、余...
2014年高三数学专题复习-三角函数图像及其性质
2014年高三数学专题复习-三角函数图像及其性质_数学_...性质高考的常见题型. 【例 1】 (2012 湖南文 ...a=-12+6 3, ?2a+b=-5, 若 a<0,则? 解...
2014高考复习——三角函数的图象与性质
2014高考复习——三角函数的图象与性质_数学_高中教育...D. 2 4 π 5π 解析:选 A.由于直线 x= 和 ...2014高考系统复习数学(文... 67页 免费 2014高三数...
2014届高考数学:1.3.5三角函数的图象和性质
5页 免费 2014高考数学(文)一轮练... 暂无评价 6页 免费 高考数学:1.3.5三角函数的... 暂无评价 5页 免费 2013届高考数学(人教A版)一... 61页 20...
2016高三数学复习(人教A版)_第3章_第5讲_三角函数的图象与性质(含答案)
2016高三数学复习(人教A版)_第3章_第5讲_三角函数...5讲 2016 高考导航 知识点 三角函数的图象与性质 ...2014教师资格中学教育知... 相关文档推荐 暂无相关推荐...
2014届高考数学一轮 1.3.5三角函数的图象和性质 文
5页 免费 2013届高考数学(人教A版)一... 61页 20财富值 (全程复习构想)2014...2014高考数学一轮 1.3.5三角函数的图象和性质2014高考数学一轮 文科...
2016数学高考一轮复习《三角函数的图象与性质》
2016数学高考一轮复习三角函数的图象与性质》_数学_高中教育_教育专区。2016 ...新人教 A 版一、选择题 ππ 1.(文)(2014?辽宁理,9)将函数 y=3sin(2x...
高新一中2014高一数学期末复习5(三角函数的图象与性质)
高一数学姓名 三角函数的图象与性质班级 时间 2011-5-30 ( C. ? D. ? 2...2 2 O π x 2 A. B. 4( 05 天津文)函数 y ? A sin(? x ? ? ...
2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案
2014高考数学(文)一轮... 暂无评价 61页 免费...【新课标人教A版2014届... 暂无评价 5页 免费...三角函数的图象与性质考纲要求 1.能画出 y=sin x...
更多相关标签: