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2014年高中数学计算题专项练习四


2014 年高中数学计算题专项练习四

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2014 年高中数学计算题专项练习四
一.解答题(共 30 小题) 1. (Ⅰ )求值: (Ⅱ )解关于 x 的方程 ; .

2. (1)若

=3,求

的值;

/>
(2)计算

的值.

3.已知

,b=(log43+log83) (log32+log92) ,求 a+2b 的值.

4.化简或计算: (1) ( ) ﹣[3×( ) ] ﹣[81
0
﹣1 ﹣0.25

+(3 )

]

﹣10×0.027



(2)



5.计算

的值.

6.求下列各式的值. (1) (2)已知 x+x =3,求式子 x +x
2
﹣1

2

﹣2

的值.

7. (文) (1)若﹣2x +5x﹣2>0,化简: (2)求关于 x 的不等式(k ﹣2k+ ) <(k ﹣2k+ )
2 x 2 1ˉx

的解集.

8.化简或求值:

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(1)3a (2)

www.jyeoo.com b (﹣4a b )÷(﹣3a b ) ; .

9.计算: (1) (2) (lg8+lg1000)lg5+3(lg2) +lg6﹣ +lg0.006. 10.计算 (1) (2) .
2 1



11.计算(1)

(2)



12.解方程:log2(x﹣3)﹣

=2.

13.计算下列各式 (Ⅰ )lg24﹣(lg3+lg4)+lg5 (Ⅱ ) 14.求下列各式的值: (1) .

(2)



15. (1)计算 (2)若 xlog34=1,求 4 +4
x
﹣x

的值.

16.求值:



17.计算下列各式的值
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www.jyeoo.com (1)0.064
2

﹣(﹣ ) +16
2

0

0.75

+0.25

(2)lg 5+lg5?lg4+lg 2. 18.求值: + .

19. (1)已知 a>b>1 且 (2)求 的值.

,求 logab﹣logba 的值.

20.计算(1)

(2) (lg5) +lg2×lg50

2

21.不用计算器计算:



22.计算下列各题 (1) ;

(2)



23.解下列方程: (1)lg(x﹣1)+lg(x﹣2)=lg(x+2) ; (2)2?(log3x) ﹣log3x﹣1=0. 24.求值: (1) (2)2log525﹣3log264. 25.化简、求值下列各式: (1) ?(﹣3 )÷ ;
2

(2)

(注:lg2+lg5=1) .

26.计算下列各式 (1) (2) . ;

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27. (1)计算 (2)设 log23=a,用 a 表示 log49﹣3log26. 28.计算下列各题: (1) (2)lg 5+lg2lg50. 29.计算: 2 (1)lg 5+lg2?lg50; (2)3 +
0 2





+3 ×3 ﹣(3 ) .

2

4

2

3

30. (1)计算: (2)解关于 x 的方程: .



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2014 年高中数学计算题专项练习四
参考答案与试题解析
一.解答题(共 30 小题) 1. (Ⅰ )求值: (Ⅱ )解关于 x 的方程 ; .

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )利用对数与指数的运算法则,化简求值即可. (Ⅱ )先利用换元法把问题转化为二次方程的求解,解方程后,再代入换元过程即可. 解答: (本小题满分 13 分)
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解: (Ⅰ )原式= =
﹣1

﹣1+
3

+log2

﹣1+2

= ﹣1+8+ =10.…(6 分) (Ⅱ )设 t=log2 ,则原方程可化为 t ﹣2t﹣3=0…(8 分) 即(t﹣3) (t+1)=0,解得 t=3 或 t=﹣1…(10 分) ∴ log2 =3 或 log2 =﹣1 ∴ x=8 或 x= …(13 分) 点评: 本题考查有理指数幂的化简求值以及换元法解方程,是基础题.要求对基础知识熟练掌握.
x x x 2

2. (1)若

=3,求

的值;

(2)计算

的值.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用已知表达式,通过平方和与立方差公式,求出所求表达式的分子与分母的值,即可求解. (2)直接利用指数与对数的运算性质求解即可. 解答: 解: (1)因为 =3,
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所以 x+x =7, 2 ﹣2 所以 x +x =47,

﹣1

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www.jyeoo.com =( ) (x+x ﹣1)=3×(7﹣1)=18.
﹣1

所以

=

= .

(2) =3﹣3log22+(4﹣2)× = . 故所求结果分别为: , 点评: 本题考查有理数指数幂的化简求值,立方差公式的应用,考查计算能力.

3.已知

,b=(log43+log83) (log32+log92) ,求 a+2b 的值.

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 直接利用有理指数幂的运算求出 a,对数运算法则求出 b,然后求解 a+2b 的值 解答:
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解:

= = .

b=(log43+log83) (log32+log92) =( log23+ log23) (log32+ log32) = = , ∴ , ,

∴ a+2b=3. 点评: 本题考查指数与对数的运算法则的应用,考查计算能力. 4.化简或计算: (1) ( ) ﹣[3×( ) ] ﹣[81
0
﹣1 ﹣0.25

+(3 )

]

﹣10×0.027



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(2)



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据有理数指数幂的运算法则进行化简求值即可. 解答:
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解: (1)原式= = ﹣ ﹣1﹣3

﹣(3×1) ﹣

﹣1

﹣10×

=﹣1.

(2)原式=

+

﹣2

= = ﹣2 +

+ ﹣2

﹣2 .

点评: 本题考查有理数指数幂的运算法则,考查学生的运算能力,属基础题,熟记有关运算法则是解决问题的基 础.

5.计算

的值.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据分数指数幂运算法则进行化简即可. 解答: 解:原式
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=

=

=



点评: 本题主要考查用分数指数幂的运算法则进行化简,要求熟练掌握分数指数幂的运算法则. 6.求下列各式的值. (1) (2)已知 x+x =3,求式子 x +x
﹣1

2

﹣2

的值.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用有理指数幂的运算性质和对数的运算性质化简求值.
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(2)把已知的等式两边平方即可求得 x +x

2

﹣2

的值.

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www.jyeoo.com 解答: 解: (1)

= =
﹣1


2
﹣2

(2)由 x+x =3,两边平方得 x +2+x =9, 2 ﹣2 所以 x +x =7. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.
2

7. (文) (1)若﹣2x +5x﹣2>0,化简: (2)求关于 x 的不等式(k ﹣2k+ ) <(k ﹣2k+ )
2 x 2 1ˉx

的解集.

考点: 指数函数的单调性与特殊点;方根与根式及根式的化简运算. 专题: 计算题;转化思想. 2 分析: (1)由﹣2x +5x﹣2>0,解出 x 的取值范围,判断根号下与绝对值中数的符号,进行化简. (2)先判断底数的取值范围,由于底数大于 1,根据指数函数的单调性将不等式进行转化一次不等式,求 解即可. 解答: 2 解: (1)∵ ﹣2x +5x﹣2>0∴ ,
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∴ 原式= (2)∵ ∴ 原不等式等价于 x<1﹣x, ∴ 此不等式的解集为 (12 分) ,

=

=

(8 分)

点评: 本题考查指数函数的单调性与特殊点,求解本题的关键是判断底数的符号,以确定函数的单调性,熟练掌 握指数函数的单调性是正确转化的根本. 8.化简或求值: (1)3a (2) b (﹣4a b )÷(﹣3a b ) ; .

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用分数指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则和 lg2+lg5=1 即可得出. 解答:
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解: (1)原式=

=4a.

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www.jyeoo.com (2)原式= +50×1=lg10 +50=52.
2

点评: 本题考查了分数指数幂的运算法则、 对数的运算法则和 lg2+lg5=1 等基础知识与基本技能方法, 属于基础题. 9.计算: (1) (2) (lg8+lg1000)lg5+3(lg2) +lg6﹣ +lg0.006. 考 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 点: 专 计算题. 题: 分 (1)先将每一个数化简为最简分数指数幂的形式,再利用运算性质化简. 析: (2)先将每一个对数式化简,再利用对数运算性质化简. 解 解: (1) 答:
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2 1

=

=

=﹣45; (2) (lg8+lg1000)lg5+3(lg2) +lg6﹣ +lg0.006=(3lg2+3)?lg5+3(lg2) ﹣lg6+(lg6﹣3)=3lg2?lg5+3lg5+3 2 (lg2) ﹣3 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5﹣3=3lg2+3lg5﹣3=3﹣3=0. 点 本题考察运算性质,做这类题目最关键的是平时练习时要细心、耐心、不怕麻烦,考场上才能熟练应对! 评: 10.计算 (1) (2) .
2 1 2

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算性质即可得出; (2)利用对数函数的运算性质即可得出. 解答: 解: (1)原式=|2﹣e|﹣ =e﹣2﹣ =e﹣2﹣e+ + +

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www.jyeoo.com =﹣2. (2)原式= = ﹣4+3 +3

=2﹣4+3 =1. 点评: 熟练掌握指数幂的运算性质、对数函数的运算性质是解题的关键.

11.计算(1)

(2)



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用对数的运算法则求解即可. (2)直接利用有理指数幂的运算法则求解即可. 解答: 解: (1)
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= =

(2)

= =9×8﹣27﹣1 =44. 点评: 本题考查对数的运算法则、有理指数幂的运算法则的应用,考查计算能力. 12.解方程:log2(x﹣3)﹣ =2.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 log2(x﹣3)﹣
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=2,由对数的运算性质,我们可得 x ﹣3x﹣4=0,解方程后,检验即可得

2

到答案. 解答: 解:若 log2(x﹣3)﹣
2

=2.

则 x ﹣3x﹣4=0,…(4 分) 解得 x=4,或 x=﹣1(5 分) 经检验:方程的解为 x=4.…(6 分)
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,其中利用对数的运算性质,将已知中的方程转化为整式方程是解答 醒的关键,解答时,易忽略对数的真数部分大于 0,而错解为 4,或﹣1. 13.计算下列各式 (Ⅰ )lg24﹣(lg3+lg4)+lg5 (Ⅱ ) 考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )利用对数的运算的性质可得结果; (Ⅱ )利用指数幂的运算性质可得结果; 解答: 解: (Ⅰ )lg24﹣(lg3+lg4)+lg5 =lg24﹣lg12+lg5 =lg =1; (Ⅱ ) =
2 3



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=lg10

×

+



﹣1

=3 ×2 +3﹣2﹣1 =72. 点评: 本题考查对数的运算性质、指数幂的运算性质,考查学生的运算能力,属基础题. 14.求下列各式的值: (1)

(2)



考 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 点: 专 计算题. 题: 分 根据对数和指数的运算法则进行求解即可. 析: 解 解: (1)原式= 答: (2)原式 = = .

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=log

﹣9=log39﹣9=2﹣9=﹣7.

=

=

点 本题主要考查对数和指数幂的计算,要求熟练掌握对数和指数幂的运算法则. 评:
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www.jyeoo.com 15. (1)计算 (2)若 xlog34=1,求 4 +4
x
﹣x

的值.

考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 分析: (1)利用指数幂的运算性质即可; (2)利用指数式和对数式的互化和运算性质即可. 解答: 解: (1)原式= = =3. (2)由 xlog34=1,得 x=log43, ∴ 4 =3, ∴ 4 +4 =
x
﹣x

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x

, = .

点评: 熟练掌握对数和指数幂的运算性质是解题的关键.

16.求值:



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据有理数指数幂的定义,及对数的运算性质,即可求出
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的值. 解答: 解:原式 …(4 分)

…(3 分) = …(1 分) 点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,有理数指数幂的化简求值,其中掌握指数的运算性质和对数的运算 性质,是解答本题的关键. 17.计算下列各式的值 (1)0.064
2

﹣(﹣ ) +16
2

0

0.75

+0.25

(2)lg 5+lg5?lg4+lg 2. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数幂的运算性质可求; (2)利用对数运算性质可求;

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www.jyeoo.com 解答: 解: (1)原式= =0.4﹣1+8+ = ;
2 2

(2)原式=lg 5+2lg5?lg2+lg 2 2 =(lg5+lg2) 2 =(lg10) =1 点评: 本题考查对数的运算性质、有理数指数幂的运算,属基础题,熟记有关运算性质是解题基础.

18.求值:

+



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 直接利用对数的运算法则,求出表达式的值即可. 解答: 解:原式= =3+9+2000+1=2013.
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点评: 本题考查对数的运算法则的应用,基本知识的考查.

19. (1)已知 a>b>1 且 (2)求 的值.

,求 logab﹣logba 的值.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)通过 a>b>1 利用
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,平方,然后配出 logab﹣logba 的表达式,求解即可. 的值 , ,可得 ,

(2)直接利用对数的运算性质求解 解答: 解: (1)因为 a>b>1, 所以 a>b>1,所以 logab﹣logba<0. 所以 logab﹣logba=﹣ (2) = =﹣4.

点评: 本题考查对数与指数的运算性质的应用,整体思想的应用,考查计算能力.

20.计算(1)

(2) (lg5) +lg2×lg50

2

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www.jyeoo.com 考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)把根式转化成指数式,然后利用分数指数幂的运算法则进行计算. (2)先把 lg50 转化成 lg5+1,然后利用对数的运算法则进行计算. 解答: 解: (1) = = = (6 分)
2 2

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(2) (lg5) +lg2×lg50=(lg5) +lg2×(lg5+lg10) 2 =(lg5) +lg2×lg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2=1(12 分) 点评: 本题考查对数的运算法则和根式与分数指数幂的互化,解题时要注意合理地进行等价转化.

21.不用计算器计算:



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析:

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,lg25+lg4=lg100=2, 的值. 解答: 解:原式= = = (8 分) (12 分) (4 分)

, (﹣9.8) =1,由此可以求出

0

点评: 本题考查对数的运算性质,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用. 22.计算下列各题 (1) ;

(2)



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)直接利用对数的运算性质求解表达式的值. (2)利用指数的运算性质求解表达式的值即可. 解答: 解: (1)
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= =9+ ﹣1=

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www.jyeoo.com (2)

= = =﹣45. 点评: 本题考查指数与对数的运算性质的应用,考查计算能力. 23.解下列方程: (1)lg(x﹣1)+lg(x﹣2)=lg(x+2) ; (2)2?(log3x) ﹣log3x﹣1=0. 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据对数运算性质求出 x,再根据对数的真数一定大于 0 检验即可.
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2

(2)设 log3x=y,得出 2y ﹣y﹣1=0,求出 y 的值,再由对数的定义求出 x 的值即可. 解答: 解: (1)原方程可化为 lg(x﹣1) (x﹣2)=lg(x+2) 所以(x﹣1) (x﹣2)=x+2 即 x ﹣4x=0,解得 x=0 或 x=4 经检验,x=0 是增解,x=4 是原方程的解. 所以原方程的解为 x=4 (2)设 log3x=y,代入原方程得 解得 y1=1, log3x=1,得 x1=3; 由 ,得 . 都是原方程的解. . 2y ﹣y﹣1=0.
2 2

2

经检验,x1=3,

点评: 本题主要考查对数的运算性质和对数函数的定义域问题.属基础题.

24.求值: (1) (2)2log525﹣3log264. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)首先变根式为分数指数幂,然后拆开运算即可. (2)直接利用对数式的运算性质化简求值. 解答: 解: (1)
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= =
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(2)2log525﹣3log264 = =4﹣3×6 =﹣14. 点评: 本题考查了对数式的运算性质,考查了有理指数幂的化简求值,解答的关键是熟记有关性质,是基础题. 25.化简、求值下列各式: (1) ?(﹣3 )÷ ;

(2)

(注:lg2+lg5=1) .

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数幂的运算性质化简即可; (2)利用对数的运算性质化简即可. 解答: 解: (1)原式=﹣ b ÷(4
﹣3

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)…..3 分

=﹣

…..7 分

(2)解原式=

…..2 分

=

…..4 分

= = ….7 分.

…..6 分

点评: 本题考查对数的运算性质,考查有理数指数幂的化简求值,熟练掌握其运算性质是化简的基础,属于基础 题. 26.计算下列各式 (1) ;

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(2)

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考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则和换底公式即可得出. 解答:
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解: (1)原式=

﹣1﹣

+

=



(2)原式=

+lg(25×4)+2+1=

=



点评: 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式,属于基础题.

27. (1)计算 (2)设 log23=a,用 a 表示 log49﹣3log26.



考点: 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: (1)把第一、三项的底数写成平方、立方的形式即变成幂的乘方运算,第二项不等于 0 根据零指数的法则 等于 1,化简求值即可; 3 (2)把第一项利用换底公式换成以 2 为底的对数,第二项利用对数函数的运算性质化简,log2 整体换成 a 即可. 解答:
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解: (1)原式=

+1+

= +1+ =4;

(2)原式=

﹣3log2

2×3

=log2 ﹣3(1+log2 )=a﹣3(1+a)=﹣2a﹣3.

3

3

点评: 本题是一道计算题,要求学生会进行根式与分数指数幂的互化及其运算,会利用换底公式及对数的运算性 质化简求值.做题时注意底数变乘方要用到一些技巧. 28.计算下列各题: (1) (2)lg 5+lg2lg50. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数的运算法则,直接求解表达式的值即可. (2)利用对数的运算性质,直接化简求解即可. 解答:
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2

解: (1)原式

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www.jyeoo.com = = = . (5 分)
2

(2)原式 lg 5+lg2lg50 2 2 =lg 5+2lg2lg5+lg 5 2 =(lg2+lg5) =1 (5 分) 点评: 本题考查对数的运算性质,有理数指数幂的化简求值,考查计算能力. 29.计算: (1)lg 5+lg2?lg50; (2)3 +
0 2

+3 ×3 ﹣(3 ) .

2

4

2

3

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用对数的运算性质即可求解 (2)直接根据指数的运算性质即可求解 2 2 解答: 解: (1)原式=lg 5+lg2(1+lg5)=lg 5+lg2lg5+lg2 =lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2=1
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(2)原式=1+3+3 ﹣3 =4.…(14 分) 点评: 本题主要考查了对数的运算性质及指数的运算性质的简单应,属于基础试题

6

6

30. (1)计算: (2)解关于 x 的方程: .



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的运算性质;有理数指数幂的化简求值;函数的零点. 专题: 计算题. 分析: (1)根据分数指数幂运算法则进行化简即可. (2)利用对数函数的性质和对数的运算法则进行计算即可. 解答: 解: (1)原式= = ﹣ 3;

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(2)原方程化为 log5(x+1)+log5(x﹣3)=log55, 从而(x+1) (x﹣3)=5,解得 x=﹣2 或 x=4, 经检验,x=﹣2 不合题意, 故方程的解为 x=4. 点评: 本题主要考查分数指数幂和对数的运算,要求熟练掌握分数指数幂和对数的运算法则.

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