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恒成立与存在性问题专题


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快速提升成绩题型训练——恒成立与存在性问题专题 1. (1)若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 的解集为 (??,??) ,求实数 a 的取值范围;
2

( 2 ) 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? ax ? a ? ?3 的 解 集 不 是 空 集 , 求 实 数 a 的 取

值 范
2

围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2.

2 设 a ? R , 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的 解 集 为 A ,

B ? ?x |1 ? x ? 3?, A B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

3. 若函数 y ?

mx2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。

4. 对于满足|a| ? 2 的所有实数 a,求使不等式 x +ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围。
2

1

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变式:对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2 ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。

5. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,⑴在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑵若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑶若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

6.若对任意的实数 x , sin x ? 2k cos x ? 2k ? 2 ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
2

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1, g ( x) ?

a ,其中 a ? 0 , x ? 0 . x

对任意 x1 ?[1,2], x2 ?[2,4] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

2

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变式:已知两函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ? ? ? m ,对任意 x1 ? ?0,2? ,存在 x2 ? ?1,2? ,使得

?1? ? 2?

x

f ( x1 ) ? g ?x2 ? ,则实数 m 的取值范围为

8.若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________

2 9.已知函数 f ? x ? ? x ? 2kx ? 2 ,在 x ? ?1 恒有 f ? x ? ? k ,求实数 k 的取值范围。

2 10.存在实数 x ,使得不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 有解,则实数 a 的取值范围为______。

3

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11.不等式 ax ?

x ? 4 ? x ? 在 x ??0,3? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

?x ? y ? 0 ? 12.若任意满足 ? x ? y ? 5 ? 0 的实数 x , y ,不等式 a( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立,则实数 a 的最大 ?y ? 3 ? 0 ?
值是___。

变式: ① 设函数 h( x) ? 实数 b 的取值范围

a 1 1 ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立,求 x 4 2

② 设不等式 ax2 ? 2ax ? 4 ? 2 x 2 ? 4 x 对任意实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围。



x ? [?1,1] 时,函数 f ( x) ? (t 2 ? 3) x ? 2t 的值恒为负的,则实数 t 的取值范围为____.



2x 2 ? a x 2 ? 1 ? 3 ? 0

对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

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恒成立、存在性问题、恰成立问题知识点梳理
1、恒成立问题的转化: a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; a ? f ? x ? 恒成立 ? a ? f ? x ?min 2、能成立问题的转化: a ? f ? x ? 能成立 ? a ? f ? x ?min ; a ? f ? x ?能成立 ? a ? f ? x ?max
x 在 M 上 恰 成 立 ? a ? f? ? x的 解 集 为 3 、 恰 成 立 问 题 的 转 化 : a ? f? ?

M??

?a ? f ? x ? 在 M 上恒成立 ? ? ?a ? f ? x ? 在CR M 上恒成立

另一转化方法:若 x ? D, f ( x) ? A 在 D 上恰成立,等价于 f ( x) 在 D 上的最小值

f mi n( x) ? A ,若 x ? D, f ( x) ? B 在 D 上恰成立,则等价于 f ( x) 在 D 上的最大值

f max ( x) ? B .
4、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,对任意的 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? , 则 f min ?x? ? g min ?x? 5、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,对任意的 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? , 则 f max ?x? ? g max ?x? 6 、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,存在 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则
f max?x ? ? g mi n?x ?

7 、设函数 f ?x ? 、 g ?x ? ,存在 x1 ? ?a , b? ,存在 x2 ? ?c , d ? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,则
f mi n?x ? ? g max?x ?

8、若不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上函数 y ? f ? x ? 和

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图象在函数 y ? g ? x ? 图象上方; 9、若不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上函数 y ? f ? x ? 和 图象在函数 y ? g ? x ? 图象下方; 恒成立与有解的区别: 恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用, 等价转化,切不可混为一体。 ①不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? ②不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ?
f max ( x) ? M?,x ? I

。即 f ? x ? 的上确界小于或等于 M ;

f min ( x) ? M?, x ? I

。 或 f ? x ? 的下确界小于或等于 M ; 。即 f ? x ? 的下确界大于或等于 M ;

③不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时恒成立 ? ④不等式 f ? x ? ? M 对 x ? I 时有解 ?

f min ( x) ? M?,x ? I

f max ( x) ? M

,x ? I .。 或 f ? x ? 的上确界大于或等于 M ;

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