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3 金陵中学2016届高三最后阶段强化训练(三)


2016 届高三最后阶段强化训练(三)
班级___________ 姓名____________ 一.填空题: 1.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),其中cosφ= 5 π ,φ∈(- ,0).在直角坐标系xOy中, 5 2

10 π π 若函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ,则f( )的值为_______.- 3 12 1

0

2 . 已 知 函 数 f ( x)( x? R )满 足 f (1) ? 1, 且 f ( x) 在 R 上 的 导 数 f '(x )?

f (lg x) ?

lg x ? 1 的解集为______________________.(10,+∞) 2

1 ,则不等式 2

3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,2),若 P(x,y)是坐标平面内一点,且满 足 AP · OA ≤0, BP · OB ≥0,则 OP · AB 的最小值为_________.3
→ → → → → →

1 m 4.已知等差数列{an}中,a2=5,a6=21.记数列{ }的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤ 对任 an 15 意的n∈N*都成立,则正整数m的最小值为___________.5

二.解答题: 8bc 5.在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2-c2=b2- ,a=3,△ABC的 5 面积为6, (1)求sinA; (2)求b,c的值; (3)设D为△ABC内任一点,且到三边距离之和为d,求d的取值范围.

6.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB=1,AD= 3,AB⊥BC,CD⊥BD,如图(1).把△ ABD沿BD翻折,使得平面A'BD⊥平面BCD,如图(2). (1)求证:CD⊥A'B. A' D A (2)求三棱锥A'-BDC的体积.
D B 图(1) C B 图(2) C

(第6题)

x2 y2 3 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 2 A1,A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a,过点 A1 作圆 A2 的切线,切 点为 P,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q. (1)求直线 OP 的方程; (2)求 PQ 的值; QA1 A1 Q B O A2 C x y P

(3)设 a 为常数. 过点 O 作两条互相垂直的直线, 分别交 1 1 椭圆于 E 点 B,C,求 2+ 2的值(用 a 表示). OB OC

8.(理科做) 已知甲盒有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球 中恰有 1 个红球的概率; (2)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

课后强化训练: 一.填空题: 1.若集合U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则A∩(?UB)=___________. 2 +m为奇函数,则实数m的值为___________. 2x+1

2.若函数f(x)=

3.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题: ①若m?β,α⊥β,则m⊥α;②若m∥α,m⊥β,则α⊥β; ③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β. 其中真命题是___________.(填所有真命题的序号) 1 4.已知数列{an}的首项为 a1=2,且 an+1= (a1+a2+…+an) (n∈ N*),记 Sn 为数列{an}的前 2 n 项和,则 Sn=________,an=________. x2 y2 5.在平面直角坐标系xOy中,设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若以F为圆心 a b 的 圆 x2 + y2 - 6x + 5 = 0 与 此 双 曲 线 的 渐 近 线 相 切 , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 大 小 为 _______________. 二.解答题: 6.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b,x∈R,a≠0)满足f(-1)=0,且值域为区间[0,+∞).若
?f(x),x>0, F(x)=? ?-f(x),x<0,

(1)求F(x)的表达式; (2)当x∈[-2,2]时,若g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.

7.如图所示,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该块土地 P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3km, 5km.现要过点P修 建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用 面积,问: (1)分别求出点P到直线AM,AN的距离; (2)如何确定B点的位置,才能使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C α A (第7题) B M P

x2 y2 8.椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,P 为椭圆 C a b → → 上任意一点.已知PF1?PF2的最大值为 3,最小值为 2. (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于点 M,N 两点(M,N 不是左、右顶点) ,且AM?AN =0,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

9.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,都有Sn=2-an, (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=1, 且对任意的n∈N*, 都有bn+1=bn+an, 求数列{bn}的通项公式.

10.(理科做) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).设 k 为 非零实数,矩阵 M=?

?k 0 ?,N=?0 1?,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到 ? ? ? ?0 1? ?1 0?

点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值.

参考答案: 1.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),其中cosφ= 5 π ,φ∈(- ,0).在直角坐标系xOy中, 5 2

π π 若函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ,则f( )的值为_______. 3 12 - 10 [解析]考查三角函数定义、图象、性质及两角和公式.由角φ的终边过点P(1,-2)知 10 2 1 π ,cosφ= ,由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象相邻对称轴之间的距离为 ,知 3 5 5

sinφ=-

2π π π 2 10 函数的周期为 ,从而知ω=3,所以f( )=sin( +φ)= (sinφ+cosφ)=- . 3 12 4 2 10

2 . 已 知 函 数 f ( x)( x? R )满 足 f (1) ? 1, 且 f ( x) 在 R 上 的 导 数 f '(x )?

f (lg x) ?

lg x ? 1 的解集为______________________.(10,+∞) 2
→ → → →

1 ,则不等式 2

3.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,2),若P(x,y)是坐标平面内一点,且满足


AP · OA ≤0, BP · OB ≥0,则 OP · AB 的最小值为_________.
→ → → →



3[解析]由已知得 AP · OA =(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,且 BP · OB =(x,y-2)· (0, 2)=2(y-2)≥0,即x≤1且y≥2,所以 OP · AB =(x,y)· (-1,2)=-x+2y≥-1+4=3.
→ →

1 m 4.已知等差数列{an}中,a2=5,a6=21.记数列{ }的前n项和为Sn,若S2n+1-Sn≤ 对任 an 15 意的n∈N*都成立,则正整数m的最小值为___________. 21-5 1 5[解析]由条件得公差d= =4,从而首项a1=1,通项an=4n-3,数列{ }的前n项 4 an 1 1 1 1 1 m 1 和为Sn=1+ +…+ ,原不等式可化为 + +…+ ≤ .记f(n)= 5 4n-3 4n+1 4n+5 8n+1 15 4n+1 + 1 1 1 1 1 +…+ . 因为f(n+1)-f(n)= + - <0, 故f(n)为单调递减数列, 4n+5 8n+1 8n+9 8n+5 4n+1

1 1 14 m 14 14 从而f(n)max=f(1)= + = ,由条件得 ≥ ,m≥ ,所以正整数m的最小值为5. 5 9 45 15 45 3 三.解答题: 8bc 5.在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2-c2=b2- ,a=3,△ABC的 5 面积为6, (1)求sinA; (2)求b,c的值; (3)设D为△ABC内任一点,且到三边距离之和为d,求d的取值范围.

b2+c2-a2 4 8bc 4 3 (1)由a -c =b - ,得 = ,即cosA= .因为A∈(0,π),所以sinA= . 5 2bc 5 5 5
2 2 2

1 1 3 (2)因为S△ ABC= bcsinA= bc· =6, 2 2 5 b2+c2-a2 4 所以bc=20.由 = 及bc=20与a=3,解得b=4,c=5或b=5,c=4. 2bc 5 1 (3)设点D到三边的距离分别为x,y,z,则S△ ABC= (3x+4y+5z)=6, 2 12 1 所以d=x+y+z= + (2x+y). 5 5

? ?3x+4y≤12, 12 又x,y满足?x≥0, 画出不等式表示的平面区域可知d的取值范围是{d| <d<4}. 5 ? ?y≥0.
6.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB=1,AD= 3,AB⊥BC,CD⊥BD,如图(1).把△ ABD沿BD翻折,使得平面A'BD⊥平面BCD,如图(2). (1)求证:CD⊥A'B. (2)求三棱锥A'-BDC的体积.

A B 图(1)

D C B

A' D C 图(2)

(第6题)

(1)因为 平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD?平面BCD,CD⊥BD, 所以 CD⊥平面A'BD. 又因为 A'B?平面A'BD, 所以 CD⊥A'B. (2)如图(1),在Rt△ ABD中,BD= AB2+AD2=2. 因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC=30° . 在Rt△ BDC中,因为DC=BDtan30° = 2 3 1 2 3 ,所以S△ BDC= BD· DC= . 3 2 3

如图(2),在Rt△ A'BD中,过点A'作A'E⊥BD于点E,所以A'E⊥平面BCD. 因为A'E= A'B·A'D 3 1 1 2 3 3 1 = ,所以VA'BCD= S△ BDC· A'E= × × = . BD 2 3 3 3 2 3 y P Q B A1 O A2 C x

x2 y2 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E: 2+ 2= a b 1(a>b>0)的离心率 e= 3 ,A1,A2 分别是椭圆 E 的 2

左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a,过点 A1 作圆 A2 的 切线,切点为 P,在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q. (1)求直线 OP 的方程;

(2)求

PQ 的值; QA1

1 1 (3)设 a 为常数. 过点 O 作两条互相垂直的直线, 分别交椭圆于 E 点 B, C, 求 2+ 2 OB OC 的值(用 a 表示). 答案:(1)直线 OP 的方程为 y= 3x. (2) (3) PQ 3 = . QA1 4 5 . a2

8.(理科做) 已知甲盒有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球 中恰有 1 个红球的概率; (2)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望. 7 7 答案:(1) ;(2) . 15 6 课后强化训练: 二.填空题: 1.若集合U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则A∩(?UB)=___________. (-2,1)[解析]由题知?UB=(-∞,1),于是A∩(?UB)=(-2,1). 2 +m为奇函数,则实数m的值为___________. 2x+1

2.若函数f(x)=

2 -1[解析]由题知函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,即有f(0)= 0 +m=0,解得m= 2 +1 -1. 3.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题: ①若m?β,α⊥β,则m⊥α;②若m∥α,m⊥β,则α⊥β; ③若α⊥β,α⊥γ,则β⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β. 其中真命题是___________.(填所有真命题的序号) ②[解析]①错,m与α位置关系不确定;②对,若m∥α,m⊥β,则存在n?α且m∥n,因为 n⊥β,所以α⊥β;③错,由α⊥β,α⊥γ,β与γ垂直没有传递性,则β⊥γ为假命题;④错,由 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,得α∥β或α与β相交. 1 4.已知数列{an}的首项为 a1=2,且 an+1= (a1+a2+…+an) (n∈N*),记 Sn 为数列{an}的前 2 n 项和,则 Sn=________,an=________. 3?n-1 2×? ?2? 2 ?n=1?, ? ? ??3?n-2 ?n≥2?. ? ??2?

x2 y2 5.在平面直角坐标系xOy中,设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若以F为圆心 a b 的 圆 x2 + y2 - 6x + 5 = 0 与 此 双 曲 线 的 渐 近 线 相 切 , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 的 大 小 为 _______________. 3 5 x2 [解析]圆x2+y2-6x+5=0可以化为(x-3)2+y2=4,其圆心F(3,0),半径r=2.双曲线 2 5 a y2 b 3b + 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x,即bx-ay=0,所以 2 2=2,整理得5b2 b a a +b c2 9 3 5 =4a2.又因为b2=c2-a2,所以5(c2-a2)=4a2,即5c2=9a2,所以 2= ,所以离心率e= . a 5 5 二.解答题: 6.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b,x∈R,a≠0)满足f(-1)=0,且值域为区间[0,+∞).若
?f(x),x>0, F(x)=? ?-f(x),x<0,

(1)求F(x)的表达式; (2)当x∈[-2,2]时,若g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. 解:(1)因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.
?a>0, 因为f(x)的值域为[0,+∞),所以? 2 ?△=b -4a=0

所以b2-4(b-1)=0,解得b=2,a=1,所以f(x)=(x+1)2.
?(x+1)2>0,x>0, 所以F(x)=? 2 ?-(x+1) ,x<0.

2-k 2 (2-k)2 (2)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1=(x+ ) +1- , 2 4 k-2 k-2 所以当 ≥2或 ≤-2时g(x)是单调函数,即实数k的取值范围是(-∞,-2]∪[6, 2 2 +∞).

7.如图所示,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.在该块土地 P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3km, 5km.现要过点P修 建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用 面积,问: (1)分别求出点P到直线AM,AN的距离; (2)如何确定B点的位置,才能使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C α A P

解:(1)如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连接PA. 设AB=x,AC=y.因为点P到AM,AN的距离分别为3, 5, 所以PE=3,PF= 5.
N C

(第7题)

B

M

P F AE (第7题) B M

1 1 1 (2)由S△ ABC=S△ ABP+S△ APC= · x· 3+ · y· 5= (3x+ 5y).① 2 2 2 因为tanα=-2,所以sinα= 所以 2 . 5 ②

1 2 S△ ABC= · x· y· . 2 5

1 2 1 由①②可得 · x· y· = (3x+ 5y). 2 5 2 即3 5x+5y=2xy.③ 因为3 5x+5y≥2 15 5xy,所以2xy≥2 15 5xy.解得xy≥15 5. 当且仅当3 5x=5y时取“=”,结合③解得x=5,y=3 5. 1 2 所以S△ ABC= · x· y· 有最小值15. 2 5 答:当AB=5km时,该工业园区的面积最小,最小面积为15km2. x2 y2 8.椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,P 为椭圆 C a b → → 上任意一点.已知PF1?PF2的最大值为 3,最小值为 2. (1)求椭圆 C 的方程; → (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于点 M,N 两点(M,N 不是左、右顶点) ,且AM → ?AN=0, 求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. x2 y2 答案: (1)椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 2 (2)直线 l 过定点( ,0) . 7 9.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,都有Sn=2-an, (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足b1=1, 且对任意的n∈N*, 都有bn+1=bn+an, 求数列{bn}的通项公式. 解:(1)因为当n=1时,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1. 因为Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2. 所以an+1+Sn+1-(an+Sn)=0,即(an+1-an+(Sn+1-Sn)=0,即an+1-an+an+1=0,故有 2an+1=an. an+1 1 因为an≠0,所以 = (n∈N*). an 2 1 1 n-1 所以数列{an}是首项a1=1,公比为 的等比数列,所以an=? ? (n∈N*). 2 ?2? 1 n-1 (2)因为bn+1=bn+an(n=1,2,3,…),所以bn+1-bn=? ? . ?2?

1 1 2 1 n-2 从而有b2-b1=1,b3-b2= ,b4-b3=? ? ,…,bn-bn-1=? ? (n=2,3,…). 2 ?2? ?2? 将这n-1个等式两边相加,得
n-1 ? 1? 1 - ? 2? 1 1 2 1 n-2 1 n-1 bn-b1=1+ +? ? +…+? ? = =2-2? ? . 2 ?2? 1 ?2? ?2? 1- 2

1 n-1 又因为b1=1,所以bn=3-2? ? (n∈N*). ?2? 10.(理科做) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,

?k 0 ? ?0 ?,N=? 1).设 k 为非零实数,矩阵 M=? ?0 1? ?1

1? ?,点 A、B、C 在矩阵 MN 0?

对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值. 解 ?0 由? ?1 ?k 0 ? ?0 ? ? 由题设得,MN=? ?0 1? ?1 k ? ?0 ? ? 0? ?0 -2 0 -2? ?0 ?=? 1 ? ?0 0 -2 1? ?0 k ? ?=? ?, 0? ?1 0? k ? ?,可知 A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(k, -2?

-2). 计算得△ABC 的面积是 1, △A1B1C1 的面积是|k|, 则由题设知: |k|=2×1 =2. 所以 k 的值为 2 或-2.


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