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3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念


第三章 3. 1

导数及其应用 变化率与导数
变化率问题 导数的概念

3.1.1 3.1.2

一、基础达标 1.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy), Δy 则Δx等于( A.4 C.4+2Δx 答案 解析 C
2 Δy f?1+Δx?-f?1? 2?1+Δx? -2 = =4+2Δx. Δx= Δx Δx

) B.4x D.4+2(Δx)2

2.如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变化率是(

)

A.1 C.2 答案 解析 B Δy f?3?-f?1? 1-3 Δx= 3-1 = 2 =-1.

B.-1 D.-2

3.如果某物体的运动方程为 s=2(1-t2) (s 的单位为 m,t 的单位为 s),那么其 在 1.2 s 末的瞬时速度为( A.-4.8 m/s ) B.-0.88 m/s

1

C.0.88 m/s 答案 解析 A

D.4.8 m/s

物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数,利用导数的定

义即可求得. 4.设函数 f(x)可导,则 lim
Δx→0

f?1+3Δx?-f?1? 等于( 3Δx

)

A.f′(1) 1 C.3f′(1) 答案 解析 A lim
Δx→0

B.3f′(1) D.f′(3)

f?1+3Δx?-f?1? =f′(1). 3Δx

2 5.已知函数 y=x +3,当 x 由 2 变到 1.5 时,函数的增量 Δy=________. 答案 解析 1 3 2 2 4 1 Δy=f(1.5)-f(2)=1.5-2=3-1=3.

6.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体的初速 度是________. 答案 解析 3 v 初=s′|t=0= lim
Δt→0

s?0+Δt?-s?0? = lim (3-Δt)=3. Δt Δt→0

7.利用定义求函数 y=-2x2+5 在 x=2 处的瞬时变化率. 解 因为在 x=2 附近,Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,
2

Δy -8Δx-2?Δx? 所以函数在区间[2,2+Δx]内的平均变化率为 = =-8-2Δx. Δx Δx 故函数 y=-2x2+5 在 x=2 处的瞬时变化率为 lim (-8-2Δx)=-8.
Δx→0

二、能力提升 8. 甲、 乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示, 治污效果较好的是( )

2

A.甲 C.相同 答案 解析 B 在 t0 处,虽然 W1(t0)=W2(t0),

B.乙 D.不确定

但是,在 t0-Δt 处,W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt), ?W1?t0?-W1?t0-Δt?? ?W2?t0?-W2?t0-Δt?? ?<? ?, 即? Δt Δt ? ? ? ? 所以,在相同时间 Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较 好. 9.过曲线 y=f(x)=x2+1 上两点 P(1,2)和 Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当 Δx =0.1 时, 割线的斜率 k=________, 当 Δx=0.001 时, 割线的斜率 k=________. 答案 解析 2.1 2.001

∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)

Δy =2Δx+(Δx)2,∴Δx=2+Δx, ∴割线斜率为 2+Δx, 当 Δx=0.1 时,割线 PQ 的斜率 k=2+0.1=2.1. 当 Δx=0.001 时,割线 PQ 的斜率 k=2+0.001=2.001. 10.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x, 有 f(x)≥0,则 答案 解析 2 由导数的定义, f?Δx?-f?0? Δx f?1? 的最小值为________. f′?0?

得 f′(0)= lim
Δx→0

a?Δx?2+b?Δx?+c-c = lim Δx Δx→0

3

= lim [a·(Δx)+b]=b.
Δx→0 2 ?Δ=b -4ac≤0 b2 又? ,∴ac≥ 4 ,∴c>0. ?a>0



f?1? a+b+c b+2 ac 2b = b ≥ ≥ b =2. b f′?0?

11.求函数 y=f(x)=2x2+4x 在 x=3 处的导数. 解 Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)

=12Δx+2(Δx)2+4Δx=2(Δx)2+16Δx,
2 Δy 2?Δx? +16Δx ∴Δx= =2Δx+16. Δx

Δy ∴y′|x=3= lim Δx= lim (2Δx+16)=16. Δx→0 Δx→0 12.若函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a 的值. 解 ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c

=a(Δx)2+2aΔx. ∴f′(1)= lim
Δx→0

f?1+Δx?-f?1? a?Δx?2+2aΔx = lim Δx Δx Δx→0

= lim (aΔx+2a)=2a,即 2a=2,∴a=1.
Δx→0

三、探究与创新 13.已知 f(x)=x2,g(x)=x3,求满足 f′(x)+2=g′(x)的 x 的值. 解 由导数的定义知,

?x+Δx?2-x2 f′(x)= lim =2x, Δx Δx→0 g′(x)= lim
Δx→0

?x+Δx?3-x3 =3x2. Δx

∵f′(x)+2=g′(x),∴2x+2=3x2. 即 3x2-2x-2=0, 解得 x= 1- 7 1+ 7 或 x = 3 3 .

4


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