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2013届高三六校高考模拟考试文科数学试题


2013 届高三六校高考模拟考试
文科数学试题
命题学校:深圳实验 2013,5,17

本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | y ? log2 ( x ? 2)} ,则 A. (?2 , 1) B. (?2 , 1]
B

A?
D. [?2 , 1]

C. [?2 , 1)

2.已知 i 为虚数单位, a 为实数,复数 z ? (a ? 2i)i 在复平面内对应的点为 M , 则“ a ? ?2 ”是“点 M 在第四象限”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
D

3.已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 0 ,若 a2 ? 4 , 则 a1 ? a2 ? a3 的最值情况为 A.有最小值 ? 4 C.有最小值 12 B.有最大值 ? 4
A

C

D.有最大值 12

4.由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主)视图、侧(左)视图、俯视图相同,如右图所示, 其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,则该几何体 的表面积为 A. 4 3 C. 2 3 B. 3 3 D. 3
开始

B

第 4 题图

S ? 0 , n ?1

n ? 2013 ?




5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是 A. 0 C. 1 B.

1 2 D. ?1
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n? S ? S ? cos 3
n ? n ?1

输出S

结束

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第 5 题图 第 1 页 共 6 页

6.下列四个命题中,正确的有 ①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低;
2 ②命题 p : ?x0 ? R , x0 ? x0 ?1 ? 0 ”的否定 ? p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “ “ ;

③用相关指数 R 来刻画回归效果,若 R 越大,则说明模型的拟合效果越好; ④若 a ? 0.3 , b ? 2 , c ? log0.3 2 ,则 c ? a ? b .
2 0.3

2

2

A.①③

B.①④

C.②③

D.③④

7.把正奇数数列按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括 号一个数,第五个括号两个数,第六个括号三个数,?.依次划分为 (1) , (3 , 5) ,

(7 , 9 , 11) , (13) , (15 , 17) , (19 , 21 , 23) , (25) ,?.则第 50 个括号内各数之和为
A. 396 B. 394 C. 392 D. 390

8.已知函数 y ? f (x) 的定义域是 R ,若对于任意的正数 a ,函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a) 都是其定义域上的减函数,则函数 y ? f (x) 的图象可能是
y y y y

O O

x
O

x

x

O

x

A.

B.
2

C.
2

D.

9.已知定点 A(?2 , 0) , B(2 , 0) , N 是圆 O : x ? y ? 1上任意一点,点 A 关于点 N 的 对称点为 M ,线段 AM 的中垂线与直线 BM 相交于点 P ,则点 P 的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆

10.设函数 f (x) 在区间 I 上可导,若 ?x0 , x ? I ,总有 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) , 则称 y ? f (x) 为区间 I 上的 U 函数.
2 在下列四个函数 y ? x , y ? x ?

1 x , y ? ?e , y ? cos 2 x 中,在区间 (?1 , 0) 上为 U x
C. 3 D. 4

函数的个数是 A. 1 B. 2

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第 2 页 共 6 页

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:11、12、13 题为必做题. 11.如图,菱形 ABCD 的边长为 2 , ?A ? 60? ,
D

M

C

M 为 DC 的中点,则 AM ? AB 的值为


A B

第 11 题图 ?y ? x ?1 ? 12. x , y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 , 设 若目标函数 z ? mx ? y( m ? 0 ) 的最大值为 35 , ?x ? 0 , y ? 0 ?

则 m 的值为



13. a ? 1 ,则当 y ? a x 与 y ? loga x 两个函数图象有且只有一个公共点时,ln ln a ? 设
(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能从中选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)



1 ? ?x ? ? 2 t ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) 以原点 O , 3 ? y ? ?2 ? t ? 2 ?
为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,则 l 上 的动点 P 与 C 上的动点 Q 间的最短距离为 15.(几何证明选讲选做题) 如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,以 D 为圆心, DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的圆 O 交于点 F ,连接 CF 并延长 CF 交 AB 于 E .则线段 BF 的长为 A . D .

E

F

B

?

O
第 15 题图

C

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第 3 页 共 6 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定) ,进 行了如下的调查研究.全年级共有 630 名学生,男女生人数之比为 11 : 10 ,现按分层抽样方 法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为

1 . 6

(1)求抽取的男学生人数和女学生人数; (2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下 2 ? 2 列联表: 否定 男生 女生 总计 ①完成列联表; ②能否有 97.5% 的把握认为态度与性别有关? (3)若一班有 5 名男生被抽到,其中 4 人持否定态度, 1 人持肯定态度;二班有 4 名女 生被抽到,其中 2 人持否定态度, 2 人持肯定态度. 现从这 9 人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因,求其中恰有一人持肯定态 度一人持否定态度的概率.
解答时可参考下面临界值表:

肯定 10

总计

30

P(K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的三个内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 已知 sin( A ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

?
6

) ? cos A .

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第 4 页 共 6 页

18. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,?ABC ? ?ACD ? 90? ,?BAC ? ?CAD ? 60? , PA ? 面

ABCD , E 为 PD 的中点, PA ? 2 AB ? 4 .
(1)求证: PC ? AE ; (2)求证: CE // 面 PAB ; (3)求三棱锥 P ? ACE 的体积 V .

P

E

A B
D

C
第 18 题图

19. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 2 , n ? a n ?1 ? S n ? n?n ? 1? , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式: (2)令 Tn ?

Sn , n ? N *. 2n

①当 n 为何正整数值时, Tn ? Tn ?1 ; ②若对一切正整数 n ,总有 Tn ? m ,求 m 的取值范围.

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20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点,点 A , B 分别是椭圆的左顶点 a 2 b2 1 和上顶点,椭圆的离心率为 ,点 C 在 x 轴上,且 BF ? BC ,过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的 2 1 2 直线 l 与由三点 B , F , C 确定的圆 M 相交于 D , E 两点,满足 MD ? ME ? ? a . 2
如图,点 F 是椭圆 (1)若 ?BOF 的面积为 3 ,求椭圆的方程; (2)直线 l 的斜率是否为定值?证明你的结论.
y

B D
A

E

l

F

O

?

M

C

x

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分)

a ( x ? 1) 2 ( a ? R , a ? 0 ) g ( x) ? x ? x . , x ?1 a ( x ? 1) ? g ( x) 的单调区间,并确定其零点个数; (1)求函数 h( x) ? a ln x ? x ?1
已知函数 f ( x) ? ln x ? (2)若 f (x) 在其定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (3)证明不等式

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ln n ? 1 ( n ? N * ) . 3 5 7 2n ? 1

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