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【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦:解析几何(2)


解析几何题 1、已知曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 ,直线 l : kx ? y ? k ? 0 , O 为坐标原点. a

(1)若该曲线的离心率为

3 ,求该的曲线 C 的方程; 2

(2)当 a ? ?1 时,直线 l 与曲线 C 相交于两点 M , N ,试问在曲线 C 上是否存在点 Q 使得

OM ? ON ? ? OQ ?若存在,求实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由;
答案: (1)、若焦点在 x 轴上, C : x2 ? 4 y 2 ? 1 ;若焦点在 y 轴上, C : x ?
2

y2 ? 1; 2

(2) 、由题:直线 l 与曲线 C 都恒过定点 (1, 0) , M (1,0) ;

? y ? k ( x ? 1) k 2 ?1 2k 2 2 2 2 x ? ,y? 2 ,可得 , ? ( k ? 1) x ? 2 k x ? k ? 1 ? 0 ? 2 2 2 k ?1 k ?1 ? x ? y ?1
?1 ? xN ? ? xQ 假 设 存 在 满 足 条 件 的 Q , OM ? ON ? ? OQ ? ? ,代入曲线 C 可得 ? yN ? ? yQ

1

?2

( xQ 2 ? yQ 2 ) ? 1 ? ? 2 = (

2k 2 2 2 k 2 4k 2 4 ) ? ( ) = 2 ? 4? 2 ?4, 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以: ? ? ?2或? ? 2 满足条件.

2、已知双曲线 c :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且双 2 a b

曲线的离心率为 5 . (1)求双曲线的方程. (2)若有两个半径相同的圆 c1 , c2 ,它们的圆心都在 x 轴上方且分别在双曲线 c 的两渐近线上, 过双曲线的右焦点且斜率为 ?1 的直线 l 与圆 c1 , c2 都相切,求两圆 c1 , c2 圆心连线斜率的范围. 解: ( 1 )因为抛物线 y ? 4 x 的焦点为 (1, 0) ,由已知得 c ? 1 ,所以由 e ?
2

c ? 5 ,得 a

a?

5 2 1 2 2 ,b ? ,所以双曲线的方程为 5 x ? y ? 1 . 4 5 5

(2)双曲线的渐近线方程为 y ? 2 x, y ? ?2 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,由已知可设圆

c1 : ( x ? t )2 ? ( y ? 2t )2 ? r 2 ,圆 c2 : ( x ? n)2 ? ( y ? 2n)2 ? r 2 ,其中 t ? 0, n ? 0 ,
因为直线 l 与圆 c1 , c2 都相切,所以

t ? 2t ? 1 2

?

n ? 2n ? 1 2



得 t ? 2t ? 1 ? n ? 2n ? 1 或 t ? 2t ? 1 ? ?n ? 2n ? 1 ,即 n ? ?3t ,或 n ? 3t ? 2 , 设两圆 c1 , c2 圆心连线斜率为 k ,则 k ? 当 n ? ?3t 时, k ?

2t ? 6t ? ?1 , 4t 2t ? 2n 4t ? 2 2 当 n ? 3t ? 2 时,k ? = , 因为 t ? 0, n ? 0 , 所以 0 ? t ? , 故可得 ?2 ? k ? 2 , t?n 3 ?t ? 1
综上:两圆 c1 , c2 圆心连线斜率的范围为 (?2, 2) .

2t ? 2n , t?n

3、已知椭圆 C : 线

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直 2 a b 3

交椭圆 C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点。 (1)求直线 ON ( O 为坐标原点)的斜率 kON ; (2)设 M 椭圆 C 上任意一点 ,且 OM ? ?OA ? ?OB ,求 ? ? ? 的最大值和最小值

解:(1)设椭圆的焦距为 2c,因为
2 2

a2 ? b2 2 c 6 ? ,故有 a 2 ? 3b 2 。从而椭圆 ,所以有 ? 3 a 3 a2
2

C 的方程可化为: x ? 3 y ? 3b



易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ) , 据题意有 AB 所在的直线方程为: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2

② ③

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x0 , y0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?

x1 ? x2 3 2b 2 ? , y 0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4

所以 K ON ?

y0 1 ? ? ,即为所求。 x0 3

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平 面内的向量 OM ,有且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ?OA ? ?OB 成立。设

M ( x, y) ,由 1)中各点的坐标有:

( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ,所以 x ? ?x1 ? ?x2 , y ? ?y1 ? ?y2 。
又 点 在 椭 圆 C 上 , 所 以 有 (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 整 理 为

?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 2 ? 3y2 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 。
由③有: x1 ? x2 ?



3 2b 3b 2 。所以 , x1 ? x2 ? 2 4


x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x2 ? 3( x1 ? 2b)(x2 ? 2b) ? 4 x1 x2 ? 3 2b( x1 ? x2 ) ? 6b 2 ? 3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
又 A﹑B 在椭圆上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b 2 , ( x2 ? 3 y2 ) ? 3b 2 将⑤,⑥代入④可得: ? ? ? ? 1 。
2 2
2 2 2 2 1 ???? ? ? ?? ???? ? ? ? ,故有 ? ? ? 2 2 2 2 ? 2 ? 2

2

2

2

2



所以 (? ? ? )max ?

2 2 , (? ? ? ) min ? ? 2 2


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