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【数学】2011年江苏高考热点题型聚焦:立体几何(1)


立体几何 1.如图.在组合体中, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是一个长方体, P ? ABCD 是一个四棱锥,且

AB ? 2, P ? 平面 CC1D1D , PD ? PC ? AD ? 2 .
(1)求证: PD ? 平面PBC ; (2)若 AA1 ? a ,当 a 为何值时, PC ∥平面 AB1D ; (3)求点 C 到平面

PAB 的距离; (4) (备选)在(2)的前提下,若点 P, A, D, C1 在同一球面上,求此球面的面积。 P

D

C B

A

D1 A1 【启发谈话与引导分析】 第 1 问:要证线面垂直,只需证线线垂直。据 PD ? PC ? B1

C1

2 , AB ? 2, 可得 PD ? PC ;

BC ? 平面PDC ,可得 PD ? BC ,从而得证。
第 2 问:若 PC ∥平面 AB1D ,据线面平行的性质定理可得 PC ∥ DC1 ,知

?CDC1 ? ?PCD ? 45 ,则 AA1 ? CD ? 2 即可。
第 3 问:欲求点 C 到平面 PAB 的距离,直接由点 C 作平面 PAB 的垂线,需补形,不易作出, 考虑用等积法完成,十分简洁。 第 4 问:在条件及(2)的前提下,可知 PD, PA, PC1 两两垂直,引导学生分析:点 P, A, D, C1 所在的球面就是以 PD, DC1 , AD 为相邻三条棱的长方体的外接球面, 从而可求此球面的直径, 可求出球面的面积。 【解题过程】 证明: (1)因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是一个长方体,所以 BC ? 平面CC1D 1D ,而

P ? 平面 CC1D1D ,所以 PD ? 平面 CC1D1D ,则 PD ? BC 。
因为 PD ? PC ?

2 , AB ? 2, 所以 ?PCD 为等腰直角三角形,则 PD ? PC 。 因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC ,则 PD ? 平面PBC 。 (2)当 a ? 2 时,四边形 CC1D1D 是一个正方形,所以 ?CDC1 ? 45 ,因 ?PCD ? 45 , 又 PC 和 C1D 在同一个平面内,所以 PC ∥ DC1 ,因 DC1 ? 平面 AB1D ,PC ? 平面 AB1D , 则 PC ∥平面 AB1D 。 (3)过点 P 作 PE ? CD 交 CD 于 E ,因为面 ABCD ? 面 PDC ,面 ABCD ? 面 PDC ? CD ,所以 PE ? 平面 ABCD ,可求得 PE ? 1 。连结 AC ,设点 C 到平面 PAB 的距 离为 h ,三棱锥 P ? ABC 的体积与三棱锥 C ? PAB 的体积相等,

1 1 S ?ABC PE ? S ?PAB h ,因为可求得 PA ? PD ? 2 , AB ? 2, 所以 3 3 1 1 1 1 3 6 , S?PAB ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ,S?ABC ? ? 2 ? 2 ? 2 ,则 ? 2 ?1 ? ? 3h ,h ? 2 3 3 2 2 3 6 则点 C 到平面 PAB 的距离为 。 3 (4)因为 AD ? 平面 CC1D1D , PD, DC1 在平面 CC1D1D 内, AD ? PD, AD ? DC1 ,由
则 (2)知 ?PDC1 ? 90 ,即 PD ? DC 1 ,可知 PD, PA, PC1 两两垂直,点 P, A, D, C1 所在的球 面就是以 PD, DC1 , AD 为相邻三条棱的长方体的外接球面,因为 PD ? AD ?

2,

DC1 ? 2 2 ,从而此球面的直径 2R ? 2 3 ,所以球面的半径 R ? 3 ,则所求球面的面积为
4? R2 ? 4? ( 3)2 ? 12? 。
AB ? BC ? 2 ,过 2.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中, E , F 分别是 AD, DD 1 的中点,

A1、C1、B 三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1 D1 , 40 且这个几何体的体积为 . 3 (1)求证: EF //平面 A 1 BC1 ; (2)求 A 1 A 的长; (3)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A 1 P 与 C1 D 垂直,如果存在,求线段 A 1 P 的长,
如果不存在,请说明理由. D1 A1 C1

F

D E A B

C

【启发谈话与引导分析】 第 1 问:要证线面平行,只需证线线平行,常见思路:构造三角形、平行四边形。连结 AD1 , 可证 AD1 BC1 , AD1 EF ,则 EF BC1 。 第 2 问:条件是“几何体 ABCD ? A 1C1 D 1 的体积为 体积呢?通过补形. 第 3 问: (1)探求性的问题,如何处理?分析——下结论——证明。

40 ” ,怎样求几何体 ABCD ? A 1C1 D 1的 3

(2)若在线段 BC1 上存在点 P ,使 A 1 P 与 C1 D 垂直。由三点 D 1, A 1 , P 确定的平面交

CC1 于 Q 。由于 C1 D 与 A1D1 垂直,只要 C1 D 与 D1Q 垂直即可。 (3)在直角梯形 A 1 PQD 1 中可求线段 A 1 P 的长。
【解题过程】 解: (1)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,可知 AB D 1C1 , AB ? D 1C1 ,则四边形 ABC1D 1是 平行四边形,所以 AD1 BC1 。因为 E , F 分别是 AD, DD1 的中点,所以 AD1 EF ,则

EF BC1 ,又 EF ? 面 A1BC1 , BC1 ? 面 A1BC1 ,则 EF //平面 A1BC1 。 (2) VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1
1 1 10 40 ? 2 ? 2 ? AA1 ? ? ? 2 ? 2 ? AA1 ? AA1 ? , ? AA1 ? 4 . 3 2 3 3 (3)在平面 CC1 D1 D 中作 D1Q ? C1 D 交 CC1 于 Q ,过 Q 作 QP // CB 交 BC1 于点 P ,则

A1 P ? C1 D . 因为 A1 D1 ? 平面CC1 D1 D, C1 D ? 平面CC1 D1 D,?C1 D ? A1 D1 ,而 QP // CB, CB // A1 D1 ,?QP // A1 D1 , 又 A D1Q ? D1 ,? C1 D ? 平面A1 PQC1 , 1D 1 且A 1 P ? 平面A 1 PQC1 ,? A 1 P ? C1 D . CQ DC 1 1 ?D1C1Q ∽ Rt ?C1CD,? 1 ? 1 1 ,? C1Q ? 1, 又 PQ // BC,? PQ ? BC ? . CD C1C 4 2
1 29 . 四边形A1 PQD1 为直角梯形,且高 D1Q ? 5,? A1 P ? (2 ? )2 ? 5 ? 2 2

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? BC ? 1 , AB ? 2 , AB // DC , ?BCD ? 90? 。 (1)求证: PC ? BC ; P (2)在线段 PB (不包括端点)上能否找到一点 M , 使 AM // 平面 PDC ; (3)求点 A 到平面 PBC 的距离; (4)求四棱锥 P ? BCD 的外接球的表面积。 D C

【启发谈话与引导分析】 A 第 1 问: PD ? 平面 ABCD 可得到哪些结论?欲证 PC ? BC ,可从两个角度入手: 方案一:计算△ PCB 的三边长,用勾股定理判定。 PB 怎么求?

B

方案二:先证线面垂直。 BC ? 平面 PDC 吗? 第 2 问:从形上直观感觉不存在,可考虑用反证法说明理由。若 AM // 平面 PDC ,又 AB // 平面 PDC ,则平面 PAB // 平面 PDC ,与题设矛盾。 第 3 问:方案一:直接作出垂线段。点 A 到平面 PBC 的距离与 AB 中点 E 到平面 PBC 的距 离有什么关系? E 到平面 PBC 的距离与 D 到平面 PBC 的距离相等吗?如何作出 D 到平面 PBC 的垂线段? 方案二:类比平面几何中利用三角形等积法求高,立体几何中利用三棱锥等积法求高。 VA? PBC ? VP? ABC 吗?△ PCB 面积如何求? 第 4 问:外接球的球心到四个顶点的距离相等,利用△ PBD 与△ PBC 均为直角三角形,分 析出球心是线段 PB 的中点。 【解题过程】 (1)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC 。 由 ?BCD ? 90? ,得 CD ? BC 。又 PD ? CD ? D , PD, CD ? 平面 PDC , 所以 BC ? 平面 PDC 。因为 PC ? 平面 PDC ,故 PC ? BC 。 (2)假设 AM // 平面 PDC 因为 AB // DC , DC ? 平面 PDC , AB ? 平面 PDC ,所以 AB // 平面 PDC 。 又 AM ? AB ? A, AM , AB ? 平面 PAB ,所以平面 PAB // 平面 PDC 。 这与平面 PAB ? 平面 PDC 于点 P 矛盾,所以在线段 PB (不包括端点)上不能找到点 M 满 足题意。 (3)设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 。

1 1 1 1 S ABC ? PD ? ? ( ? 2 ? 1) ? 1 ? 。 3 3 2 3 1 2 △ PBC 的面积为 S PBC ? ? 1 ? 2 ? 。 2 2 由 VA? PBC ? VP? ABC ,得 h ? 2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离为 2 。
三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ? (4)因为△ PBD 与△ PBC 均为直角三角形,故球心是线段 PB 的中点,半径 R ?
2 所以 S ? 4?R ? 3? 。

3 。 2


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