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静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测文科


静安区 2014 学年第二学期高三年级教学质量检测

数学试卷(文科)

2015.04.

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
一. 填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知抛物线 y

2 ? 2 px 的准线方程是 x ? ?2 ,则 p ? .

2.已知扇形的圆心角是 1 弧度,半径为 5cm ,则此扇形的弧长为 3.复数

cm .

3 ? 4i ( i 为虚数单位)的模为 i




4.函数 y ? 2x ? 2x ?1 的值域为 5.若 ?

? 2 0 ?? x ? ? ?2 ? ?? ? ? ? ? ,则 x ? y ? ? 1 3 ? ?? y ? ? 10 ?
9



1 1? ? 6.在 ? x ? 2 ? 的展开式中, 3 的系数是 x x ? ?
7.方程 3 sin x ? cos x 的解集为 .



8.已知 m ? ??1, 0,1? , n ???1,1? ,若随机选取 m, n ,则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 不经过第二象限的概率 是 . .

9.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离为

? x ? 1, y ? 1 ? 10.已知 M 、 N 是不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的平面区域内的不同两点,则 M 、 N 两点之间距 ? x? y?6 ?
离 | MN | 的最大值是 .

11.把一个大金属球表面涂漆,共需油漆 2.4 公斤.若把这个大金属球熔化制成 64 个大小都相同的小金 属球,不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆,需要用漆 公斤.

文科 1

12. 设 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,AB ? (a ? 1)e1 ? e2 ,AC ? be1 ? 2e2 ,a ? 0, b ? 0 .若 A, B, C 三点共线,则

1 2 ? 的最小值是 a b



13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn ,若 a3 ? b3 , a4 ? b4 ,且

A5 ? A3 ? 7 ,则数列 ?bn ? 的公比 q ? B4 ? B2
14.已知:当 x ? 0 时,不等式



1 1 ? kx ? b 恒成立,当且仅当 x ? 时取等号,则 k ? 1? x 3



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相 应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.如图,ABCDEF 是正六边形,下列等式成立的是( (A) AE ? FC ? 0 (B) AE ? DF ? 0 )
F E D

C

(C) FC ? FD ? FB (D) FD ? FB ? 0
A B

16.已知偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,则下列函数中为奇函数的是(



(A) sin[ f ( x)] (B) x ? f (sin x) (C) f ( x) ? f (sin x) (D) [ f (sin x)]2 17. 如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是( (A)①是循环变量初始化,循环就要开始 (B)②为循环体 (C)③是判断是否继续循环的终止条件 (D)输出的 S 值为 2,4,6,8,10,12,14,16,18. )

18.定义:最高次项的系数为 1 的多项式 p ( x) = xn + an- 1xn- 1 + 鬃 ? a1x + a0 ( n ? N * )的其余系数

ai (i ? 0,1, ???, n ? 1) 均是整数,则方程 p( x ) ? 0 的根叫代数整数.下列各数不是代数整数的是(
(A)



2 2

(B) 3

(C)

1? 5 2

(D) ?

1 3 ? i 2 2

文科 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AA1 ? 6 , 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为18 3. (1)求正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的表面积; (2)求异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小.

B1 A1

C1

B A

C

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)若 f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式,并写出 g ( x) 的递增区间;

1 (2)设 f ( x) ? x ,若 g ( x) ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立,求常数 ? 的取值范围. 2 21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
某公园有个池塘,其形状为直角 ?ABC , ?C ? 900 , AB 的长为 2 百米, BC 的长为 1 百米. (1)若准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB 、 BC 、 CA 上取点 D、E、F ,如图(1),使得 EF//AB , EF ? ED ,在 ?DEF 内喂食,求当 ?DEF 的面积取最大值时 EF 的长; (2)若准备建造一个荷塘,分别在 AB 、 BC 、 CA 上取点 D、E、F ,如图(2),建造 ?DEF 连 廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使 ?DEF 为正三角形,记 ?FEC ? ? ,求 ?DEF 边长的最小值及此 时 ? 的值.(精确到 1 米和 0.1 度) A A

F D C
文科 3

D F B C E
图(2)

E
图(1)

B

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分.

x2 ? y 2 ? 1 ,设 AB 是过椭圆 C 中心 O 的任意 在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C 的方程为 8
弦, l 是线段 AB 的垂直平分线, M 是 l 上与 O 不 重合的点. (1)求以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程; (2)若 MO ? 2OA ,当点 A 在椭圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹方程; 记 M 是 l 与椭圆 C 的交点,若直线 AB 的方程为 y ? kx(k ? 0) ,当△ AMB 的面积为 4 14 时, 7 求直线 AB 的方程. (3)

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 设 ?an ? 是公比为 q(q ? 1) 的等比数列, 若 ?an ? 中任意两项之积仍是该数列中的项, 那么称 ?an ? 是 封闭数列. (1)若 a1

? 2,q ? 3 ,判断 ?an ? 是否为封闭数列,并说明理由;
?1 ,使 a1 ? q m ;

(2)证明 ?an ? 为封闭数列的充要条件是:存在整数 m ? (3)记 ? n 是数列 ?an ? 的前 n 项之积, bn 否存在这样的封闭数列 ?an ? ,使 lim ? n ?? 存在,说明理由.

? log2 ?n ,若首项1 为正整数,公比 q ? 2 ,试问:是

?1 1 1 ? 11 ? ? ??? ? ? ? ,若存在,求 ?an ? 的通项公式;若不 bn ? 9 ? b1 b2

文科 4

3 区 2014 学年第二学期高三二模质量抽测(文、理)
参考答案及评分标准 说明: 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的 精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考 生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可 视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念 性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 4 ; 3. 5 ; 5. 2 ; 7.(文) { x | x ? k ? ? 2. 5 ; 4. ?1, ?? ? ; 6. 126 ; 2015.04.18

?
6

, k ?Z}

8.(文) 1 ;
3

(理) { x | x ?2k ? ?

5? , k ?Z} 6

(理) 12.8 ;

9. (文) 1 ; (理) x ? 2 y ? 1 ? 0 ; 11. 9.6 ;

10. (文) 17 ; (理) 3 ? 1 ; 12. 4 ;
文科 5

13. (文) ?2 ; (理) ?

14.

?

9 16 .

4 5

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.

A

;16.

B

; 17. D

;18.

A

.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分. 19.解:(文科)(1) 因为三棱柱的体积为 18 3 , AA1 ? 6 , 从而 S?ABC ?

3 BC 2 ? 3 3 , 因此 BC ? 2 3 . ………………………2 分 4

该三棱柱的表面积为 S全 ? 2 ? S?ABC +S侧 =6 3+36 3 ? 42 3 . ………4 分 (2)由(1)可知 BC ? 2 3 因为 CC1 // AA1 .所以 ?BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 所成的角, ………8 分 在 Rt ?BC1C 中,

tan ?BC1C ?

2 3 3 ? ? 6 3 , 所以 ?BC1C = 6 .

异面直线 BC1 与 AA1 所成的角

? ……………………………………………12 分 6

解:(理科)(1)因为 AB ⊥ BC ,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,所以 AB ? BCC1B1 ,从而 A1B1 是四棱锥 A1 ? BCC1B1 的高. ……………………………………2 分 四棱锥 A1 ? BCC1B1 的体积为 V ?

1 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? …………………………4 分 3 3

(2)如图(图略),建立空间直角坐标系.
文科 6

则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2), B1(0,0,2),C1(0,2,2), …………………………………………………6 分 设 AC 的中点为 M,? BM ? AC, BM ? CC1 ,

? BM ? 平面A1C1C, 即BM ? (1,1,0) 是平面 A1C1C 的一个法向量.
设平面 A1B1C 的一个法向量是 n ? ( x, y, z) , AC ? (?2,2,?2), A1 B1 ? (?2,0,0) …8 分

? n ? A1 B1 ? ?2x ? 0, n ? A1C ? ?2x ? 2 y ? 2z ? 0,
令 z=1,解得 x=0,y=1.? n ? (0,1,1) , …………………………………………9 分 设法向量 n 与 BM 的夹角为 ? ,二面角 B1—A1C—C1 的大小为 ? ,显然 ? 为锐角.

cos? ?| cos ? |?

| n ? BM | 1 ? ? , 解得? ? . 3 | n | ? | BM | 2

? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为 . 3

?

………………………………………………12 分

20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 20.解:(1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;

? g ( x) ? cos2 x ………………………………………………………………4 分
递增区间为 ? ? ? k? , ? ? k? ? ,( k ? Z )(注:开区间或半开区间均正 确) ……………………………………………………………………………6 分 (2)(文)

?1 ?2

? ?

?1 ? , ?? ? 时, ? ? 1 ? x ………8 分 g ( x) ? x ? ( x ? ? ) ? 1 ,当 x ? ? ?2 ? x

令 h( x ) ?

?1 ? 1 ? x ,则函数 y ? h( x) 在 x ? ? , ?? ? 上递减………………10 分 ?2 ? x
1 2 3 ………………………12 分 2

所以 h( x) max ? h( ) ?

??
因而,当

?1 ? 3 x ? ? , ?? ? ?2 ? 上恒成立………………………14 分 2 时, g ( x) ? 1 在

文科 7

(理)? g ( x) ? ? 2 x ?

? ?

1 ? ? x ?? 1 ? 2 ? x ?? x ? ? 2 ? ? 2
1
x 2

1 ? ? ? x 1? ? ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? 2 ? 2 ? ? x ? ,………8 分 2 ? ? 2 ?2 ? ? ?

g ( x) ? 2? ? ? 2 x ? ?
2

2? ? ? 2

?

? 2? ?

1 1 ? 2? ? ? ? 2 ? 6 …………………10 分 ? 2 2

解得 2? ? 2 ? 3 … ……………………………………………………………12 分 所以 ? ? log 2 2 ? 3 ………………………………………………………………14 分 21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分.
3? x? x x ,故 BE ? 1 ? ,所以 DE ? ?1 ? ? ,……2 分 2 ? 2? 2 2

?

?

21.解:(1)设 EF ? x ,则 CE ?

S?DEF ?

3 ? x? x ?1 ? ? , x ? (0, 2) ,……………………………………………………4 分 4 ? 2?
3 x? x? 3 1? x x? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 当且仅当 x ? 1 时等号成立, 2 2? 2? 2 4? 2 2?
3 .………………………………………………………6 分 8
? ?
2

因为 S?DEF ?

即 ? S ?DEF ? max ?

? ?? (2)在 Rt ?ABC 中, ?A ? 300 ,设 ?FEC ? ? , ? ? ? 0, ? ,则 2

?EFC ? 900 ? ? , ?AFD ? 1800 ? 600 ? (900 ? ? ) ? 300 ? ? ,…………………………8 分

所以 ?ADF ? 1800 ? 300 ? (300 ? ? ) ? 1200 ? ? 设 CF ? x ,则 AF ? 3 ? x ,在 ?ADF 中,
DF 3?x ? ,………………10 分 sin 300 sin(1200 ? ? )

又由于 x ? EF sin ? ? DF sin ? ,所以

DF 3 ? DF sin ? ? ………………………11 分 0 sin 30 sin(1200 ? ? )

化简得 DF ? 此时 tan ? ?

3 2sin ? ? 3 cos ?

?

3 7

? 0.65 百米=65 米………………………………13 分

3 , ? ? 40.90 , ? ? 49.10 …………………………………………………14 分 2

解法 2:设等边三角形边长为 EF ? ED ? DF ? y ,
文科 8

在△ EBD 中, ?B ? 60 , ?EDB ? ? ,…………………………………………8 分 由题意可知 CE ? y cos ? ,…………………………………………………………9 分 则 EB ? 1 ? y cos ? ,所以 即y?
3 2sin ? ? 3 cos ? ?

y 1 ? y cos ? ,……………………………………11 分 ? sin 60 sin ?
3 7 ? 0.65 ,………………………………………………13 分

此时 tan ? ?

3 , ? ? 40.90 , ? ? 49.10 …………………………………………………14 分 22.(本题满分 16 2

分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 7 分. 22.解:(1)椭圆一个焦点和顶点分别为 ( 7,0),(2 2,0) ,………………………1 分
2 y2 所以在双曲线 x 2 ? 2 ? 1 中, a 2 ? 7 , c 2 ? 8 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 , a b

因而双曲线方程为 x ? y 2 ? 1 .……………………………………………………4 分 7 (2)设 M ( x ,y ) , A(m ,n) ,则由题设知: OM ? 2 OA , OA ? OM ? 0 . 即?
? x 2 ? y 2 ? 4(m2 ? n2 ) , ?mx ? ny ? 0 ,

2

………………………………………………………………5 分

?m2 ? 1 y 2 , ? 4 解得 ? ……………………………………………………………………7 分 ?n2 ? 1 x 2. ? 4
y m 2 2 因为点 A(m ,n) 在椭圆 C 上,所以 ? x ? n ? 1 ,即… 8 2 8
2

? ? ? ? ? 1,
2 2

亦即

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 .所以点 M 的轨迹方程为 ? ? 1 .…………………9 分 4 32 4 32

(3)(文)因为 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) .
? x2 2 8k 2 ? ? y ? 1, 8 2 解方程组 ? 8 得 xA2 ? , , y ? A 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 ? y ? kx , ?

所以 OA2 ? xA2 ? yA2 ?

8 8k 2 8(1 ? k 2 ) 32(1 ? k 2 ) 2 2 , . ? ? AB ? 4 OA ? 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2

文科 9

? x2 ? y 2 ? 1, ? 8k 2 8(1 ? k 2 ) 8 ?8 又? 解得 xM 2 ? 2 , yM 2 ? 2 ,所以 OM 2 ? 2 .………… 11 分 k +8 k +8 k +8 ? y ? ? 1 x, ? k ?

由于 S△ AMB 2 ?

64(1 ? k 2 ) 2 32 1 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 1 ? ? ……………14 分 ? AB2 ? OM 2 ? ? 2 2 2 2 (1 ? 8k )(k +8) 7 4 4 1 ? 8k k +8

解得 (6k 2 ? 1)(k 2 ? 6) ? 0 ? k 2 ? 1 或k 2 ? 6 即 k ? ? 6 或k ? ? 6 6 6
6 x 或 y ? 6x ………………………………… 16 分 又 k ? 0 ,所以直线 AB 方程为 y ? 6

(3)(理)(方法 1)因为 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) .
? x2 2 8k 2 ? ? y ? 1, 8 2 解方程组 ? 8 得 xA2 ? , , y ? A 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 ? y ? kx , ?

所以 OA2 ? xA2 ? yA2 ?

8 8k 2 8(1 ? k 2 ) 32(1 ? k 2 ) 2 2 , . ? ? AB ? 4 OA ? 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 8k 2 8(1 ? k 2 ) 8 ?8 又? 解得 xM 2 ? 2 , yM 2 ? 2 ,所以 OM 2 ? 2 .………… 11 分 k +8 k +8 k +8 ? y ? ? 1 x, ? k ?

由于 S△ AMB 2 ?
?

1 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 1 ? 2 AB2 ? OM 2 ? ? 4 4 1 ? 8k 2 k +8

64(1 ? k 2 )2 392 256 ?8? ? ……………………………………………14 分 2 2 8 (1 ? 8k )(k +8) 8k 2 ? 2 ? 65 81 8k

或?

1 ? 8k 2 ? k 2 +8 2 当且仅当 1 ? 8k 2 ? k 2 ? 8 时等号成立,即 k=1 时等号成立,

?

64(1 ? k 2 )2

?

2

?

64(1 ? k 2 )2 256 , ? 81 (1 ? k 2 )2 81 4

此时△AMB 面积的最小值是 S△AMB= 16 .………………………………………… 15 分
9

AB 所在直线方程为 y ? x .

………………………………………………… 16 分

? ? x)(? ? R,? ? 0) , (方法 2)设 M ( x,y ) ,则 A(? y,

因为点 A 在椭圆 C 上,所以 ? 2 ( y 2 ? 8 x 2 ) ? 8 ,即 y 2 ? 8 x 2 ? 又 x 2 ? 8 y 2 ? 8 (ii)
文科 10

8

?2

(i)

(i)+(ii)得 x2 ? y 2 ? 8 1 ? 12 ,………………………………………………11 分 9 ? 所以 S?AMB ? OM ? OA ?| ? | ( x 2 ? y 2 ) ? 8 | ? | ? 1 ≥ 16 .……………………………14 分 9 9 ? 当且仅当 ? ? ?1 (即 k AB ? ?1 )时, ? S?AMB ?min ?
16 . 又k ? 0 9

?

?

?

?

AB 所在直线方程为 y ? x .………………………………………………… 16 分 23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 23.解:(1) ?an ? 不是封闭数列,因为 an ? 2 ? 3n?1 ,…………………………………… 1 分 对任意的 m, n ? N ? ,有 an ? am ? 4 ? 3m?n?2 ,…………………………………… 2 分 若存在 p ,使得 an ? am ? ap ,即 3 p ?m?n?1 ? 2 , p ? m ? n ? 1 ? log3 2 ,该式左边为整数,右边是无理 数,矛盾.所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4 分 (2) 证明: (必要性) 任取等比数列的两项 as , at ? s ? t ? ,若存在 ak 使 as at ? ak ,则 a1 ? qs ?t ?2 ? qk ?1 , 解得 a1 ? qk ?s?t ?1 .故存在 m ? k ? s ? t ? 1? Z ,使 a1 ? q m ,…… 6 分 下面证明整数 m ? ?1 . 对 q ? 1 ,若 m ? ?1 ,则取 p ? ?m ? 2 ,对 a1 , a p ,存在 au 使 a1a p ? au , 即 q m ? q p ?1 ? qu ?1 , q?1 ? qu ?1 ,所以 u ? 0 ,矛盾, 故存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? q m .…………………………………… 8 分 (充分性)若存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? q m ,则 an ? q n?m?1 , 对任意 s, t ? N * ,因为 as at ? q( s ?t ?m?1)?m?1 ? as ?t ?m?1 , 所以 ?an ? 是封闭数列. …………………………………… 10 分

文科 11

(3)由于 ?n ? a1 ? a2 ??? an ? a1n ? 2

n (n ?1) 2

,所以 bn ? n log 2 a1 ?

n(n ? 1) ,……………11 分 2

因为 ?an ? 是封闭数列且 a1 为正整数,所以,存在整数 m ? 0 ,使 a1 ? 2m ,

若 a1 ? 1 ,则 bn ?

1 1 1 n( n ? 1) lim( ? ? 2 ,此时 b1 不存在.所以 n?? b1 b2 1 1 n( n ? 1) lim( ? ? n ?? b1 b2 2 ,所以
1 2 n(n ? 3) ? ,于是 bn n(n ? 3) , 2

?

1 ) bn 没有意义…12 分

若 a1 ? 2 ,则 bn ?

?

1 11 )?2? bn 9 ,………………… 13 分

若 a1 ? 4 ,则 bn ?

所以 n??

lim(

1 1 ? ? b1 b2

?

1 11 )? bn 9 ,…………………………………… 16 分

若 a1 ? 4 ,则 bn ?

1 2 n(n ? 3) ? ,于是 bn n(n ? 3) , 2 1 11 )? bn 9 ,…………………………………… 17 分

所以 n??

lim(

1 1 ? ? b1 b2

?

综上讨论可知: a1 ? 4 , an ? 4 ? 2n?1,(n ? N * ) ,该数列是封闭数列.……… 18 分
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

文科 12


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