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2014年高中数学竞赛综合训练题(6)


2014 年高中数学竞赛模拟试卷(6)
2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 1. 已知函数 f ( x) ? 有最大值 M, 最小值 m, 则 M+m 的值是 2 x 2 ? cos x
2. 非空集合 A,B 是 U={1,2,3,…,n}的子集,且 A 中的最大元素小于 B 中的最小 元素,则这样的(A,B)对数为 ( B ) n n-1

n n n A.2 B.n· 2 -2 +1 C n· 2 -2 +2n-1 D. n· 2n-1 3. 如果存在非负整数 x0,x1,…,x2002 及正整数 a 满足 a (A)6 个 (B)8 个 (C)10 个 (D)12 个
x0

?



? ? a xk ,则这样的 a 共有(
k ?1

2002

)

4.设点 P 在椭圆

x2 y 2 a2 ? ? 1 ( a>b >0) 上 , 直线 l 的方程为 l =-,且点 F 的坐标为(-c,0), a 2 b2 c sin ? ? sin ? ? sin ? 的最大值为 cos ? ? cos ? ? cos ?

作 PQ⊥ l 于点 Q,若点 P、Q、F 三点构成一个等腰三角形,则该椭圆的离心率为 5.若 ? , ? , ? 为锐角且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1,则

6.若关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立, 则实数 a 的取值范围为
2007

2

3

2

7.若 f(x)=

k (3 ? x)k ? ? ai x2007?i ,则 ? ak 的值为 ? (?1)k C2007 k ?0 i ?0 k ?1

2007

2007

8. 对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数.对于某个整数 k,恰存在 2008 个正整数 n1, n2,…,n2008,满足 k=[ 3 n1 ?
3

n2 ?

? 3 n2008 ],并且 k 整除 ni(i=1,2,…,2008),则 k=

解: 若 3 n -1<k≤ 3 n ,则 k3≤n,(k+1)3>n,满足 k 整除 n,则 n 可取 k3,k3+k,…,k3+3k2+3k, 共 3k+4 个,所以 3k+4=2008,k=668. 9.已知函数 f(x)=|log2(x-1)|,若实数 a,b(1<a<b)满足 f(a)= f ( 求证:4<b<3+ 2 . 10. 已 知 函 数 f ( x) ? ln?1 ? x ? ? x 在 区 间 ?0, n? n ? N

b a?b ) ,f(b)=2f( ). b ?1 2

?

?

?上的最小值为 b

n

,令

an ? ln?1 ? n? ? bn , pk ?

a1a3 ? ? ? a2 k ?1 k ? N? , a2 a4 ? ? ? a2 k

?

?

求证: p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ?

2an ? 1 ? 1.

1

11.设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 A , B , 16 12

与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 , 4 12

若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.





1.-设 D、E、F 分别为△ ABC 的顶点 A、B、C 所作对边的垂线的垂足,过点 D 分别作 AB、AC 的垂线,垂足分别为 P、Q,BE 与 DP 交于 R,CF 与 DQ 交于 S,BQ 与 CP 交于 M,PS 与 QR 交于 N.求证:M、N 和△ ABC 的垂心 H 共线.

2 2 2..已知 x>0,y>0,a=x+y,b= x ? xy ? y ,c=m xy ,问是否存在正数 m 使得对于任意正数 x,y

可以 a,b,c 为三角形的三边构成三角形,如果存在,求出 m 的值,如果不存在,请说明理由.

2

3.桌上放有 n 根火柴, 甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取, 第一次可取走至多 n ? 1 根火柴, 此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火 柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

4.已知 a1,a2,…,am 都是不等于 0 的数.证明: 如果对于任意整数 k,k=0,1,2,…,n(n<m-1),都满足: k k k a1+a2· 2 +a3· 3 +…+am· m =0,那么数列 a1,a2,…,am 中至少存在 n+1 对相邻的数符号相反.

3

2014 年高中数学竞赛综合训练题(6)

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 1. 已知函数 f ( x) ? 有最大值 M,最小值 m,则 M+m 的值是( 2 x 2 ? cos x 2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x sin x ? cos x ? 2 x 2 ? x sin x ? x 4 ? 2 ?1 解: f ( x) ? = 2 2 2 x ? cos x 2 x ? cos x 2 x ? cos x sin x ? x g(x)= 2 为奇函数,g(x)max=-g(x)min,又 M= g(x)max+1,m= g(x)min+1,所以 M+m=2 2 x ? cos x

?

)

?

2. 非空集合 A,B 是 U={1,2,3,…,n}的子集,且 A 中的最大元素小于 B 中的最小 元素,则这样的(A,B)对数为 ( B ) 解:A∩B= ? ,A ? B ? U,对 A∪ B 分类,任取 U 的一个子集 X,当 A∪ B=X 时,这样的(A,
k B) 对数 显然为 │x│-1 , 当 │x│=k 时, 这样的 对数又 有 Cn 个, 故所求 的 (A , B) 对 数为
n n n n n

? (k ?1)C ? ? kC ? ? C
k ?1 k n k ?1 k n k ?1

k n

?n

?C
k ?1

k ?1 n ?1

k = n· 2n-1-2n+1 ? ? Cn k ?1

3. 如果存在非负整数 x0,x1,…,x2002 及正整数 a 满足 a

x0

? ? a xk ,则这样的 a 共有(
k ?1

2002

)

4.设点 P 在椭圆

x2 y 2 a2 ? ? 1 ( a>b >0) 上 , 直线 l 的方程为 l =,且点 F 的坐标为(-c,0),作 a 2 b2 c

PQ⊥ l 于点 Q,若点 P、Q、F 三点构成一个等腰三角形,则该椭圆的离心率为 解 设 T 为直线 l 与 x 轴交点的坐标,作 PR⊥ x 轴于点 R,由题意,∠ PFQ=900,PF=QF,

a2 a2 a2 PQ∥ PT, 则 TF=QT=PR=FR, 从而, 有 y=x+c=-c+ , 其中 P(x, y), 故 x= -2c, y= -c, c c c
代人椭圆方程得 (

a 2 ? 2c 2 2 a 2 ? c 2 2 ) ?( ) ?1 ac bc

4

即 ( ? 2? ) ?
2

a c

c a

1 1 a2 ? c2 ? 1 ,即 ( ? 2e) 2 ? 2 ? 1 ? 1 , 2 e e c
1 2 ,故 e= 2 2

整理得:2e4-3e2+1=0,因为 0<e<1,所以 e2=

5.若 ? , ? , ? 为锐角且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1,则

sin ? ? sin ? ? sin ? 的最大值为 cos ? ? cos ? ? cos ?

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) 得 a+b≤ 2( a 2 ? b 2 ) . 解:由 2 2
2 2 故 sin ? ? sin ? ≤ 2(sin ? ? sin ? ) ?

2 cos ? 2 cos ?

2 2 同理: sin ? ? sin ? ≤ 2(sin ? ? sin ? ) ?

sin ? ? sin ? ≤ 2(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? 2 cos ?
故 2( sin ? ? sin ? ? sin ? )≤ 2(cos ? ? cos ? ? cos ? ) 故

sin ? ? sin ? ? sin ? ? 2 cos ? ? cos ? ? cos ?

6.若关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立,则实数 a 的取值范 围为
2 3 2 解:由 x +25+| x -5 x |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | , 1 ? x ? 12 。

2

3

2

x

设 f ( x) ? x ?

25 ? | x 2 ? 5 x | , 1 ? x ? 12 。只需求得函数 f ( x) 的最小值即可。 x

下面考虑常规解法,去绝对值,利用导数求得最小值等等。 注意到 x ? 25 ? 2 x ? 25 ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;
2

x x 且 | x ? 5 x |? 0 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立; 所以, a ? [ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]min ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立; x 25 故 a ?(??,10] ; 当 x ? 取最小值时, | x2 ? 5x | 也恰好取得最小值, x
2007

7.若 f(x)=

? (?1) C
k k ?0 2007 k ?1

k 2007

(3 ? x)k ? ? ai x2007?i ,则 ? ak 的值为
i ?0 k ?1 2007 k ?0

2007

2007

解:令 x=1 得,
2007 k ?0

k k 2k ? ? C2007 (?2)k ? (1 ? 2) 2007 ? ?1 ,又 a0 为 ? ak = ? (?1)k C2007 k ?0

2007

k (3 ? x)k 展开式中最高次项的系数-1,则 ? ak =-2. ? (?1)k C2007 k ?1

2007

5

8. 对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数.对于某个整数 k,恰存在 2008 个正整数 n1, n2,…,n2008,满足 k=[ 3 n1 ?
3

n2 ?

? 3 n2008 ],并且 k 整除 ni(i=1,2,…,2008),则 k=

解: 若 3 n -1<k≤ 3 n ,则 k3≤n,(k+1)3>n,满足 k 整除 n,则 n 可取 k3,k3+k,…,k3+3k2+3k, 共 3k+4 个,所以 3k+4=2008,k=668. 9.解:f(a)=|log2(a-1)|, f (

b b 1 ) = log 2 ) ,得(a-1)(b-1)=1 ,由 f(a)= f ( b ?1 b ?1 b ?1

或 a-1=b-1(舍), 又因为 b>a>1,所以 0<a-1<1,b-1>1.所以 f(b)=|log2(b-1)|=1og2(b-1), f(

a?b a?b 1 )= log 2 ( ? 1) ? log 2 [(a ? 1) ? (b ? 1)] 2 2 2

1 1 1 1 log 2 [(b ? 1) ? ] ? log 2 (b ? 1 ? ) 2 (b ? 1) 2 b ?1
令 t=b-1(t>1),则 t=

1 1 (t ? ) , 4 t

所以 t4-4t3-2t2+1=0,(t-1)(t3-3t2-t-1)=0,所以 t3-3t2-t-1=0. t3-3t2=t+l>t-3,所以(t-3)(t2-1)>0,因为 t2-1>0,所以 t>3. 又 t3=3t2+t+1<3t2+t+ 2 ,所以(t-2- 2 )[t2+( 2 -1)t+ 2 -1]<0, 所以 t<2+ 2 .4<b<3+ 2 . 10.解: (1)因为 f ( x) ? ln?1 ? x ? ? x ,所以函数的定义域为 ?? 1,??? , 又 f ?( x) ?

1 x ?1 ? ? . 1? x 1? x

? 当 x ? ?0, n?时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 ?0, n? n ? N 上是减函数,故

?

?

bn ? f (n) ? ln?1 ? n? ? n. an ? ln?1 ? n? ? bn ? ln?1 ? n? ? ln?1 ? n? ? n ? n.

? 2k ? 1??2k ? 1? 4k 2 ? 1 因为 ? ? 1,所以 4k 2 ?2k ?2
?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?2k ? 1?? ?2k ? 1??2k ? 1? ? 1 ? 1 . 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?2k ? ? ? 2 2 ? 4 2 ? 6 2 ? ? ? ? ? 2k ? 1 2k ? 1 ?2k ?2 ? ?
2

又容易证明

1 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ,所以 2k ? 1

6

pk ?

a1a3 ? ? ? a2 k ?1 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ?2k ? 1? 1 ? ? ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 k ? N ? , a2 a4 ? ? ? a2 k 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?2k ? 2k ? 1

?

?

p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ?

? 3 ?1?? ? 5 ? 3?? ? ? ? ? ?

2n ? 1 ? 2n ? 1

?

? 2n ? 1 ? 1 ? 2a n ? 1 ? 1 .


p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 2an ? 1 ? 1.

二 试 1.-设 D、E、F 分别为△ ABC 的顶点 A、B、C 所作对边的垂线的垂足,过点 D 分别作 AB、AC 的垂线,垂足分别为 P、Q,BE 与 DP 交于 R,CF 与 DQ 交于 S,BQ 与 CP 交于 M,PS 与 QR 交于 N.求证:M、N 和△ ABC 的垂心 H 共线.

证明:如图所示,设以 CP 为直径的圆为 Tl,以 BQ 为直径的圆为 T2.首先注意 E、F、B、C 四点共圆,H 为 BE 与 CF 的交点,所 以 HB· HE=HC· HF,而 E、F 分别在圆 T1 与 T2 上,故点 H 在圆 T1 与 T2 的根轴上. 其次,因 A、D、P、Q 四点共圆,所以∠ PQ==1800-∠ AQP=∠ ADP=∠ CBA,从而 B、C、 P、Q 四点共圆,于是 MQ· MB=PM· MC,这说明点 M 也在圆 Tl 与 T2 的根轴上. 现在设直线 PS 与圆 T1 的第二个交点为 S/,直线 QR 与圆 T2 的第二个交点为 R/,则易 知 Q、S/、C、S 四点共圆(在 Q、S/处都是直角),于是,∠ QS/P=∠ OS/S=∠ QCS=900-∠ BAC, 同理,∠ QS/P=900-∠ BAC,这样,P、Q、R/、S/四点共圆,进而 QN· NR/=PN· NS/, 所以,点 N 同样也在圆 T1 与 T2 的根轴上. 综上所述,M、N、H 三点共线.
2 2 2.已知 x>0,y>0,a=x+y,b= x ? xy ? y ,c=m xy ,问是否存在正数 m 使得对于任意正数 x,y

可以 a,b,c 为三角形的三边构成三角形,如果存在,求出 m 的值,如果不存在,请说明理由.
2 2 解:因为 x>0,y>0,所以 a=x+y= x ? 2 xy ? y >b,a=x+y≥2 xy .

当 m≤2 时,有 a≥c 若要使 a,b,c 为三角形
2 2 2 2 的三边,则应有 b+c>a,即 m xy + x ? xy ? y >x+y= x ? 2 xy ? y ,整理

得 m>

x y x y ?2? ? ?1? y x y x

7

设 t=

x y ? ,则 t≥2.即要使 m> t ? 2 ? t ? 1 ,对所有 t≥2 恒成立. y x 1 恒成立· t ? 2 ? t ?1 1 1 )min= ? 2 ? 3 (t=2 时取得).所以 2- 3 <m≤2. t ? 2 ? t ?1 4? 3

即 m>

m>(

当 m>2 时,若要使 a,b,c 为三角形的三边,则应有 b+c>a,a+b>c 同时成立.由 b+c>a
2 2 可得 m>2- 3 . 由 a+b>c, 即 x+y+ x ? xy ? y >m xy , 得 m<

x y x y ?2? ? ?1? y x y x

t=

x y ? ,则 t≥2,即要使 m< t ? 2 ? t ? 1 ,对所有 t≥2 恒成立.所以有 m<2+ 3 . y x

所以 2<m<2+ 3 .综上所述,存在正数 m∈ (2- 3 ,2+ 3 )使得对于任意正数 x,y 可使 a, b,c 为三角形的三边构成三角形. 3. 解: 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为:n1 ,n2 ,n3 , …, 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) ?ni ? 满足 ni ?1 ? ni ? ni ?1 ; (2)当 n ? ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ?1 ; (3)当 ni ? n ? ni ?1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ? ni . 设 k ? n ? ni ( i ? 4 ) ,注意到 ni ? 2 ? 当1 ? k ? 当

ni ? ni ?1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni ? 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ? k ? ni ?1 时, ni ?2 ? k ? ni ?1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此 2

时所取的火柴数目 ? ni ? 2 ,剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,乙无法获胜. 当 k ? ni ?1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ? k ,则乙可取走所有剩小的火柴;若

m ? k ,则根据归纳假设,乙总可以取到第 k 根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ? ni ? 2 ,
剩余 ni ? 2ni ?2 根火柴,甲无法获胜. 综上可知, ni ?1 ? ni ? ni ?1 .因为 100 不在数列 ?ni ? ,所以当 n ? 100 时,甲有获胜策略.
8

4.

9


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