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2014年高中数学易错题举例解析


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高中数学易错题举例解析
高 中 数 学 中 有 许 多 题 目 ,求 解 的 思 路 不 难 ,但 解 题 时 ,对 某 些 特 殊 情 形 的 讨 论 ,却 很 容 易 被忽略。也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。本文通过几个例 子

,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形,导致错误。
? x >1 ? x + y >3 x + y >0 ,但 ? 与 ? 不等价。 ? xy >0 ? y >2 ? xy >2 x 【 例 1】 已 知 f(x) = a x + , 若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的 范 围 。 b ? ? ?

x >0 y >0

? ?

?

错误解法

?? 3 ? a ? b ? 0 ? 由条件得 ? b ?3 ? 2a ? 2 ? 6 ?

① ②

② ×2- ①

6 ? a ? 15



① ×2- ② 得 ?

③+④得
错误分析

8 b 2 ④ ? ?? 3 3 3 10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3 x ,其 b

采 用 这 种 解 法 ,忽 视 了 这 样 一 个 事 实 :作 为 满 足 条 件 的 函 数 f ( x) ? ax ?

值 是 同 时 受 a和b 制 约 的 。 当 a 取 最 大 ( 小 ) 值 时 , b 不 一 定 取 最 大 ( 小 ) 值 , 因 而 整 个 解 题 思路是错误的。

正确解法

? f (1) ? a ? b ? 由题意有 ? b , 解得: ? f ( 2) ? 2 a ? 2 ?

1 2 a ? [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)], 3 3 b 16 5 ? f (3) ? 3a ? ? f (2) ? f (1). 把 f (1) 和 f (2) 的 范 围 代 入 得 3 9 9 16 37 ? f (3) ? . 3 3
在 本 题 中 能 够 检 查 出 解 题 思 路 错 误 ,并 给 出 正 确 解 法 ,就 体 现 了 思 维 具 有 反 思 性 。只 有 牢 固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件,导致结果错误。 【 例 2】 (1) 设 ?、? 是 方 程 x ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的 两 个 实 根 , 则 (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的 最 小 值 是
2
2 2

( A) ?
思路分析

49 4

(B) 8

(C) 18

(D)不存在

本例只有一个答案正确,设了 3 个陷阱,很容易上当。
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利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 易 得 : ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6,

?

(? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4( k ? ) 2 ? . 4 4

有的学生一看到 ?

49 , 常 受 选 择 答 案 ( A) 的 诱 惑 , 盲 从 附 和 。 这 正 是 思 维 缺 乏 反 思 性 的 4

体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正 确答案。

? 原 方 程 有 两 个 实 根 ?、? , ∴ ? ? 4k 2 ? 4(k ? 6) ? 0 ?
当 k ? 3 时 , (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的 最 小 值 是 8;
2 2

k ? ?2 或 k ? 3.

当 k ? ?2 时 , (? ? 1) ? ( ? ? 1) 的 最 小 值 是 18。
2 2

这 时 就 可 以 作 出 正 确 选 择 , 只 有 ( B) 正 确 。 (2) 已 知 (x+2) +
2 2

y2
4

=1, 求 x +y 的 取 值 范 围 。
2 2 2 2

2

2

错 解 由 已 知 得 y =- 4x - 16x- 12, 因 此 x +y =- 3x - 16x- 12=- 3(x+ ∴ 当 x=-

8 2 28 )+ , 3 3

8 28 28 2 2 2 2 时 , x +y 有 最 大 值 , 即 x +y 的 取 值 范 围 是 (- ∞ , ]。 3 3 3

分析 没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。 事 实 上 , 由 于 (x+2) +
2 2 2

y2
4

=1 ? (x+2) =1-
2 2

y2
4
2

≤ 1 ? - 3≤ x≤ - 1, 28 ]。 3
x

从 而 当 x=- 1 时 x +y 有 最 小 值 1。 ∴
2

x +y 的 取 值 范 围 是 [1,

注 意 有 界 性 : 偶 次 方 x ≥ 0, 三 角 函 数 - 1≤ sinx≤ 1, 指 数 函 数 a >0, 圆 锥 曲 线 有 界 性 等 。 ●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。 【 例 3】 已 知 : a>0 , b>0 , a+b=1,求 (a+ 1

a

) +(b+

2

1

b

) 的最小值。

2

错 解 (a+

1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 ) +(b+ ) =a +b + 2 + 2 +4≥ 2ab+ +4≥ 4 ab ? +4=8, ab a b ab a b

∴ (a+

1 2 1 2 ) +(b+ ) 的 最 小 值 是 8. a b
2 2

分 析 上 面 的 解 答 中 , 两 次 用 到 了 基 本 不 等 式 a +b ≥ 2ab, 第 一 次 等 号 成 立 的 条 件 是 a=b= 第 二 次 等 号 成 立 的 条 件 是 ab= 最小值。

1 , 2

1 ,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8 不是 ab

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1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + 2 +4=( a +b )+( 2 + 2 )+4=[(a+b) - 2ab]+[( + ) - ]+4 2 a b ab a b a b 1 = (1- 2ab)(1+ 2 2 )+4, a b a?b 2 1 1 1 1 1 由 ab≤ ( )= 得 : 1- 2ab≥ 1- = , 且 2 2 ≥ 16, 1+ 2 2 ≥ 17, 2 4 2 2 a b a b 1 25 1 ∴ 原 式 ≥ ×17+4= (当 且 仅 当 a=b= 时 , 等 号 成 立 ), 2 2 2 25 1 2 1 2 ∴ (a + ) + (b + ) 的最小值是 。 2 a b
事 实 上 , 原 式 = a +b +
2 2

●不进行分类讨论,导致错误 【 例 4】 (1)已 知 数 列 ?a n ?的 前 n 项 和 S n ? 2 ? 1 , 求 a n .
n

错误解法 错误分析

a n ? S n ? S n ?1 ? (2 n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1) ? 2 n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1.
显 然 , 当 n ? 1时 , a1 ? S1 ? 3 ? 2
1?1

? 1。

错 误 原 因 : 没 有 注 意 公 式 a n ? S n ? S n ?1 成 立 的 条 件 是 。 因 此 在 运 用 a n ? S n ? S n ?1 时 , 必 须 检 验 n ? 1时 的 情 形 。 即 : a n ? ?

?S1 (n ? 1) 。 ?S n (n ? 2, n ? N )

2 (2)实 数 a 为 何 值 时 , 圆 x ? y ? 2ax ? a ? 1 ? 0 与 抛 物 线 y ?
2 2 2

1 x 有两个公共点。 2

错误解法
2

将 圆 x ? y ? 2ax ? a ? 1 ? 0 与 抛 物 线
2 2 2

y2 ?

1 x 联立,消去 y , 2

得 x ? (2a ? ) x ? a ? 1 ? 0 ( x ? 0).
2

1 2



?? ? 0 ? 1 ? 因 为 有 两 个 公 共 点 , 所 以 方 程 ① 有 两 个 相 等 正 根 , 得 ?2 a ? ? 0 2 ? 2 ? a ? 1 ? 0. ?
错误分析

, 解之得 a ?

17 . 8

( 如 图 2- 2- 1; 2- 2- 2) 显 然 , 当 a ? 0 时 , 圆 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 。 y y

O

x

O

x

图 2- 2 -1

第 3 页 ( 共 13 页 )

图 2- 2 -2

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。 当方程①有一正根、一负根时,得 ? 因此,当 a ?

?? ? 0
2 ? a ? 1 ? 0.

解 之 , 得 ? 1 ? a ? 1.

17 1 2 2 2 或 ? 1 ? a ? 1 时 , 圆 x ? y ? 2ax ? a ? 1 ? 0 与 抛 物 线 y 2 ? x 有 两 个 公 共 点 。 8 2 1 2 2 2 思 考 题 : 实 数 a 为 何 值 时 , 圆 x ? y ? 2ax ? a ? 1 ? 0 与 抛 物 线 y 2 ? x , 2
(1)有 一 个 公 共 点 ; (2)有 三 个 公 共 点 ; (3)有 四 个 公 共 点 ; (4)没 有 公 共 点 。

●以偏概全,导致错误 以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案, 从而表现出思维的不严密性。 【 例 5】 (1)设 等 比 数 列 ?an ? 的 全 n 项 和 为 S n .若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 , 求 数 列 的 公 比 q . 错误解法

? S 3 ? S 6 ? 2S 9 , ? q 3 ( 2q 6 ? q 3 ? 1 )=0.

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 , 1? q 1? q 1? q

整理得

由q ? 0得方程 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0. ? (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0,? q ? ?

3

4 2

或 q ? 1。

错误分析

在错解中,由

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 , 1? q 1? q 1? q

整理得 q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )=0 时 , 应 有 a 1 ? 0 和 q ? 1 。
在 等 比 数 列 中 , a1 ? 0 是 显 然 的 , 但 公 比 q 完 全 可 能 为 1, 因 此 , 在 解 题 时 应 先 讨 论 公 比

q ? 1的 情 况 , 再 在 q ? 1的 情 况 下 , 对 式 子 进 行 整 理 变 形 。
正确解法 矛 盾 , 故 q ? 1. 若 q ? 1 ,则 有 S 3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S 9 ? 9a1 . 但 a1 ? 0 ,即 得 S 3 ? S 6 ? 2S 9 , 与 题 设

又依题意

S3 ? S6 ? 2S9 ?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) 3 6 3 ? ? 2? 1 )=0 , ? q (2q ? q ? 1 1? q 1? q 1? q
3
3 3

即 (2q ? 1)( q ? 1) ? 0, 因 为 q ? 1 , 所 以 q ? 1 ? 0, 所 以 2q ? 1 ? 0. 解 得 q ? ?
3 3

4 . 2

说 明 此 题 为 1996 年 全 国 高 考 文 史 类 数 学 试 题 第( 21)题 ,不 少 考 生 的 解 法 同 错 误 解 法 ,根 据评分标准而痛失 2 分。
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2

(2)求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y ? 2 x 仅有一个交点。 错误解法 设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 ,则它与抛物线的交点为

?y ? kx?1 2 ,消去 y 得 (kx ? 1) ? 2 x ? 0. 整理得 ? 2 y ? 2x ?

k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0.

1 1 ?直线与抛物线仅有一个交点,? ? ? 0, 解得 k ? . ?所求直线为 y ? x ? 1. 2 2
错误分析 此处解法共有三处错误: 第一,设所求直线为 y ? kx ? 1 时,没有考虑 k ? 0 与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的 斜率是存在的,且不为零,这是不严密的。 第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相切 的情况,只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。 第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系 数不能为零,即 k ? 0, 而上述解法没作考虑,表现出思维不严密。 正确解法 ①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直 x 轴,因为过点 (0,1) ,所以 x ? 0, 即 y 轴,它正 好与抛物线 y ? 2 x 相切。
2

②当所求直线斜率为零时,直线为 y = 1 平行 x 轴,它正好与抛物线 y ? 2 x 只有一个交点。
2

③一般地,设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 (k ? 0) ,则 ?

?y ? kx?1
2 ? y ? 2x



1 1 ? k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k = 2 ,∴ 所求直线为 y ? x ? 1. 2 1 综上,满足条件的直线为: y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2 《章节易错训练题》 1、 已 知 集 合 M = {直 线 } , N = {圆 } , 则 M∩ N 中 元 素 个 数 是 (A) 0 (B) 0 或 1 2、 已 知 A =

A(集 合 元 素 的 确 定 性 ) (C) 0 或 2 (D) 0 或 1 或 2

{x |

x 2 + tx + 1 = 0 } , 若 A∩ R * = ? , 则 实 数 t 集 合 T = ___。 t t ? ?2 (空

?

?

集) 2 3、 如 果 kx +2kx- (k+2)<0 恒 成 立 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 C(等 号 ) (A) - 1≤ k≤ 0 (B) - 1≤ k<0 (C) - 1<k≤ 0 (D) - 1<k<0 4、命 题 A : x ? 1 < 3,命 题 B : ( x ? 2)( x ? a) < 0,若 A 是 B 的 充 分 不 必 要 条 件 ,则 a 的 取 值 范 围 是 C(等 号 ) ( A) (4, ??) ( B) ? 4, ?? ? ( C) (??, ?4) ( D) ? ??, ?4?

第 5 页 ( 共 13 页 )

5、 若 不 等 式 x - log a <0 在 (0, (A) [ 1 ,1) 16
n

2

x

1 )内 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 A(等 号 ) 2 (C) ( 1 ,1) 16 (D) ( 1 ,1)∪ (1,2) 2

(B) (1, + ?) (- 1)
n + 1

6、 若 不 等 式 (- 1) a < 2 + 号) (A) [- 2, 3 ) 2

n

对 于 任 意 正 整 数 n 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 A(等

(B) (- 2,

3 ) 2

(C) [- 3,

3 ) 2

(D) (- 3,

3 ) 2

7、 已 知 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : f (1)? 1 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 0; 对 于 任 意 ; 的 实 数 x 、 y 都 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y。 证 明 : f ( x) 为 奇 函 数 。 (特 殊 与 一 般 关 系 ) ) 8、 已 知 函 数 f(x) = 1- 2 x , 则 函 数 f ( x) 的 单 调 区 间 是 _____。 递 减 区 间 (- ?, - 1)和 (- 1, x + 1

+?) (单调性、单调区间) 9、 函 数 y =

log 0 . 5 ( x 2 - 1) 的 单 调 递 增 区 间 是 ________。 [- 2 , - 1) 定 义 域 ) (
x>0 x≤ 0 , f ( x )的 反 函 数 f
-1

?log 2 (x+2) ? 10、 已 知 函 数 f ( x )= ? x ?x - 1 ? ? 2 -2 ? ? x ?x - 1 ?
x

( x )=



x >1
0≤ x <1

(漏反函数定义域即原函数值域) 11、 函 数 f ( x ) = log △ ≥ 0 和 △ <0) (A) (- 2 2 ,2 2 ) (B) [- 2 2 ,2 2 ] (C) (- ?,- 2 2 )∪ (2 2 ,+?) (D) (- ?,- 2 2 ]∪ [2 2 ,+?) 2 12、 若 x ≥ 0, y ≥ 0 且 x +2 y =1, 那 么 2 x +3 y 的 最 小 值 为 B(隐 含 条 件 ) ( A) 2 ( B) 3 4 ( C) 2 3 ( D) 0
1 2

(x

2

+ a x + 2) 值 域 为 R, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 D(正 确 使 用

13、 函 数 y=

x 2 ? 4x ? 3 2 2 的 值 域 是 ________。 (- ∞ , )∪ ( ,1)∪ (1,+∞ ) ( 定 义 域 ) 2 5 5 x ? x?6
x
2 )的 最 小 正 周 期 是 C ( 定 义 域 ) (C) 2 ? (D) 3
x

14、 函 数 y = sin x (1 + tan x tan (A)

?
2

(B) ?

15、 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 x ? [0,1) 时 , f ( x ) = 2 , 则 f (log = D(对 数 运 算 ) (A) 23 16
3

1 2

23)

(B)

16 23
2

(C) -

16 23

(D) -

23 16

16、 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处 取 得 极 值 。
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( 1) 讨 论 f (1) 和 f (?1) 是 函 数 f (x) 的 极 大 值 还 是 极 小 值 ; ( 2) 过 点 A(0, 16) 作 曲 线 y ? f (x) 的 切 线 , 求 此 切 线 方 程 。 (2004 天 津 ) ( 求 极 值 或 最 值 推 理 判 断 不 充 分 (建 议 列 表 ); 求 过 点 切 线 方 程 , 不 判 断 点 是 否 在 曲 线 上 。 ) 17、已 知 tan ( ? - 齐次式) 18、 若 3 sin ? + 2 sin ? - 2 sin ? = 0, 则 cos ? + cos ? 的 最 小 值 是
2 2 2 2

?
3

)= -

3 5

则 tan ? =



sin ? cos ? 2 2 3cos ? - 2sin ?

=



3 2



3 3

(化

__ 。

14 (隐 9

含条件) 19、 已 知 sin ? + cos ? = 1 3 , ? ? (0, ? ), 则 cot ? = _______。 - (隐 含 条 件 ) 5 4

20、 在 △ ABC 中 , 用 a 、 b 、 c 和 A、 B、 C 分 别 表 示 它 的 三 条 边 和 三 条 边 所 对 的 角 , 若 a =2、

b? 2、 A?
( A)

?
4

,则∠B = ( B)

B(隐 含 条 件 )

? 12

? 6

( C) 1 )
2

?
6
+



5? 6
1
2

( D)

?
12



11? 12
25 (三 相 等 ) 2

21、 已 知 a >0 , b>0 , a +b=1, 则 ( a +

a

(b + 4

b

) 的 最 小 值 是 _______。

22、 已 知 x ≠ k ? (k ? Z), 函 数 y = sin x +
2

sin 2 x

的 最 小 值 是 ______。 5( 三 相 等 )

23、求 y ?

2 8 的最小值。 ? 2 sin x cos2 x
y? 2 8 2 8 8 ? ? 2? ? ? 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x | sin x cos x |

错解 1

?
错解 2

16 ? 16,. ? y min ? 16. | sin 2 x |

y?(

2 8 ? sin 2 x) ? ( 2 ? cos2 x) ? 1 ? 2 2 ? 2 8 ? 1 ? ?1 ? 6 2. 2 sin x cos x 2 8 ? 且 | sin 2 x |? 1. 2 sin x cos2 x

错误分析 在解法 1 中, y ? 16 的充要条件是 即 | tan x |?

1 且 | sin x |? 1. 这是自相矛盾的。? y min ? 16. 2

在解法 2 中, y ? ?1 ? 6 2 的充要条件是

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2 8 ? sin 2 x且 ? cos2 x,即sin 2 x ? 2, cos2 x ? 2 2 , 这是不可能的。 2 sin x cos2 x
正确解法 1 y ? 2 csc x ? 8 sec x
2 2

? 2(1 ? cot 2 x ) ? 8(1 ? tan 2 x ) ? 10 ? 2(cot 2 x ? 4 tan 2 x ) ? 10 ? 2 ? 2 cot 2 x ? 4 tan 2 x ? 18 .
其中,当 cot x ? 4 tan x,即 cot x ? 2时,y ? 18. ? y min ? 18.
2 2 2

正 确 解 法 2 取正常数 k ,易得

y?(

2 8 ? k sin 2 x) ? ( ? k cos2 x) ? k ? 2 ? 2k ? 2 ? 8k ? k ? 6 ? 2k ? k. 2 2 sin x cos x

其中“ ? ”取“=”的充要条件是

2 8 1 ? k sin 2 x且 ? k cos2 x,即 tan 2 x ? 且k ? 18. 2 2 2 sin x cos x
因 此 , 当 tan x ?
2

1 时,y ? 6 ? 2k ? k ? 18, ? y min ? 18. 2
n- 1 n

24、 已 知 a 1 = 1, a n = a n - 1 + 2 (n≥ 2), 则 a n = ________。 2 - 1(认 清 项 数 ) 25、 已 知 - 9、 a 1 、 a 2 、 - 1 四 个 实 数 成 等 差 数 列 , - 9、 b 1 、 b 2 、 b 3 、 - 1 五 个 实 数 成 等 比 数 列, 则 b 2 ( a 2 - a 1 ) = A(符 号 ) (A) - 8 (B) 8 (C) - 9 8 (D) 9 8

26、 已 知 {a n } 是 等 比 数 列 , S n 是 其 前 n 项 和 , 判 断 S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k 成 等 比 数 列 吗 ? 当 q = - 1, k 为 偶 数 时 , S k = 0, 则 S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k 不 成 等 比 数 列 ; 当 q≠ - 1 或 q = - 1 且 k 为 奇 数 时 , 则 S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k 成 等 比 数 列 。 ( 忽 视 公 比 q = - 1) 27、 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 和 数 列 {a n } 满 足 下 列 条 件 :

a1 ? a, an ? f (an?1 )( n ? 2, 3, 4, ...), a2 ? a1 ,f(a n )- f(a n - 1 ) = k(a n - a n - 1 )(n = 2,3,┄ ),
其 中 a 为 常 数 ,k 为 非 零 常 数 。 1)令 bn ? a n ?1 ? a n (n ? N *) ,证 明 数 列 {bn } 是 等 比 数 列 ; 2) ( ( 求 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 ; 3) 当 | k |? 1 时 , 求 lima n 。 (2004 天 津 ) (
n??

( 等 比 数 列 中 的 0 和 1, 正 确 分 类 讨 论 ) 2 2 2 28、 不 等 式 m - (m - 3m) i < (m - 4m + 3) i + 10 成 立 的 实 数 m 的 取 值 集 合 是 ________。 {3}(隐 含条件) 29、 i 是 虚 数 单 位 ,

(- 1+ i )(2+ i )

i3

的虚部为(

) C(概 念 不 清 )

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祝 同 学 们 2014 年 高 考 成 功 !

(A) - 1
2

(B) - i

(C) - 3

(D) - 3 i

30、实数 m ,使方程 x ? (m ? 4i) x ? 1 ? 2mi ? 0 至少有一个实根。 错误解法 ?方程至少有一个实根,

? ? ? (m ? 4i) 2 ? 4(1 ? 2mi ) ? m 2 ? 20 ? 0 ? m ? 2 5 , 或 m ? ?2 5.
错误分析 实数集合是复数集合的真子集,所以在实数范围内成立的公式、定理,在复数范围内不一 定成立,必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的,而此 题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中,造成解法错误。 正确解法 设 a 是方程的实数根,则

a 2 ? (m ? 4i)a ? 1 ? 2mi ? 0,? a 2 ? ma ? 1 ? (4a ? 2m)i ? 0.
由于 a、m 都是实数,?

?a 2 ? ma ? 1 ? 0 ,解得 ? ?4 a ? 2 m ? 0

m ? ?2.

31、 a = (3,- 4)平 行 的 单 位 向 量 是 _________; a = (3,- 4)垂 直 的 单 位 向 量 是 _________。 和 和 ( 3 4 3 4 4 3 4 3 , - )或 (- , ); ( , )或 (- ,- )(漏 解 ) 5 5 5 5 5 5 5 5
/ /

32、 函 数 y= 4x- 8 的 图 象 L 按 向 量 a 平 移 到 L , 的 函 数 表 达 式 为 y= 4x, 向 量 a =______。 将 L 则 a = (h, 4h+8) (其 中 h ? R)(漏 解 ) 33、 已 知 | a |= 1, | b |=

?

?

? ? ? ? 2 , 若 a // b , 求 a · b 。 ? ? ? ?
2, 2 。 (漏 解 )

① 若 a , b 共 向 , 则 a · b = | a |?| b |=

?

?

② 若 a , b 异 向 , 则 a · b = - | a |?| b |= -

?

?

?

?

?

?

34、 在 正 三 棱 锥 A- BCD 中 , E、 F 是 AB、 BC 的 中 点 , EF⊥ DE, 若 BC = a , 则 正 三 棱 锥 A- BCD 的 体 积 为 ____________。 2 24

a 3 (隐 含 条 件 )

35、 在 直 二 面 角 ?- AB- ? 的 棱 AB 上 取 一 点 P, 过 P 分 别 在 ?、 ? 两 个 平 面 内 作 与 棱 成 45° 的 斜 线 PC、 PD, 那 么 ∠ CPD 的 大 小 为 D(漏 解 ) (A) 45? (B) 60? (C) 120? (D) 60? 或 120?

36、 如 图 , 在 四 棱 锥 P— ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 侧 棱 PD⊥ 底 面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的 中 点 , 作 EF⊥ PB 交 PB 于 点 F。 ( 1) 证 明 PA//平 面 EDB; ( 2) 证 明 PB⊥ 平 面 EFD; ( 3) 求 二 面 角 C— PB— D 的 大 小 。 (2004 天 津 ) (条 件 不 充 分 (漏 PA ? 平 面 EDB, DE ? 平 面 PDC, DE ∩ EF = E 等 ); 运 算 错 误 , 锐 角 钝 角 不 分。)

x2 37、 若 方 程 + y m

2

= 1 表 示 椭 圆 , 则 m 的 范 围 是 _______。 (0, 1)∪ (1, + ?)(漏 解 )
2

x2 38、 已 知 椭 圆 + y m

= 1 的离心率为

3 ,则 m 的值为 2

____ 。 4 或

1 (漏 解 ) 4

第 9 页 ( 共 13 页 )

39、 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 椭 圆 短 轴 的 一 个 顶 点 B 与 两 焦 点 F 1 、 F 2 组 成 的 三 角 形 的 周 长 为 4 + 2 3 且 ∠ F 1 BF 2 = + 2? ,则椭圆的方程是 3 。

x
4

2

+ y

2

= 1或 x

2

y
4

2

= 1(漏 解 )

40、 椭 圆 的 中 心 是 原 点 O, 它 的 短 轴 长 为 2 2 , 相 应 于 焦 点 F( c, 0) c ? 0 ) 的 准 线 l 与 x ( 轴 相 交 于 点 A, |OF|=2|FA|, 过 点 A 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 P、 Q 两 点 。 ( 1) 求 椭 圆 的 方 程 及 离 心 率 ; 2) 若 OP ? OQ ? 0 , 求 直 线 PQ 的 方 程 ; ( ( 3) 设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) 过 点 P 且 平 行 于 准 线 l 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 另 一 点 M, 证 明 ,

FM ? ?? FQ 。 (2004 天 津 )
(设 方 程 时 漏 条 件 a > 2 , 误 认 短 轴 是 b = 2 2 ; 要 分 析 直 线 PQ 斜 率 是 否 存 在 (有 时 也 可 以 设 为 x = ky + b)先 ; 对 一 元 二 次 方 程 要 先 看 二 次 项 系 数 为 0 否 , 再 考 虑 △ >0, 后 韦 达 定 理 。 ) 41、 已知双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点 F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程。

错解 1

?x ?

a2 x2 y2 ? 4, c ? 10,? a 2 ? 40,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 60. 故 所 求 的 双 曲 线 方 程 为 ? ? 1. c 40 60

错解 2

由 焦 点 F (10,0) 知 c ? 10, ? e ?

c ? 2,? a ? 5, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 75. a

故所求的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 75

错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点,而题中并没有告诉中心在原点 这 个 条 件 。由 于 判 断 错 误 ,而 造 成 解 法 错 误 。随 意 增 加 、遗 漏 题 设 条 件 ,都 会 产 生 错 误 解 法 。 正解 1 设 P( x, y ) 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 因 为 双 曲 线 的 右 准 线 为 x ? 4 , 右 焦 点 F (10,0) ,

离心率 e ? 2,由双曲线的定义知 正解 2

( x ? 10 ) 2 ? y 2 ? 2. | x?4|

整理得

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48
y

依 题 意 , 设 双 曲 线 的 中 心 为 (m,0) ,

?a2 ? ?m?4 ?c ? 则 ?c ? m ? 10 ?c ? ? 2. ?a ?

解得

?a ? 4 ? ?c ? 8 ,所 以 ?m ? 2. ?

M

·P N · C(3,0)

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 64 ? 16 ? 48,

故所求双曲线方程为

( x ? 2) y ? ? 1. 16 48
2 2

O

x

第 10 页 ( 共 13 页 )

图 3- 2 -1

蓄势待发,一鸣惊人!

祝 同 学 们 2014 年 高 考 成 功 !
2 2

42、 求 与 y 轴 相 切 于 右 侧 , 并 与 ⊙ C : x ? y ? 6 x ? 0 也 相 切 的 圆 的 圆 心 的轨迹方程。 错误解法 如 图 3- 2- 1 所 示 , 已 知 ⊙ C 的 方 程 为 ( x ? 3) ? y ? 9.
2 2

设 点 P( x, y)( x ? 0) 为 所 求 轨 迹 上 任 意 一 点 , 并 且 ⊙ P 与 y 轴 相 切 于 M 点 , 与⊙C 相切于 N 点。根据已知条件得

| CP |?| PM | ?3 , 即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? x ? 3 , 化 简 得 y 2 ? 12 x ( x ? 0).
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性(即所求的轨迹上的点都满足条件) 而没有 , 考虑所求轨迹的完备性(即满足条件的点都在所求的轨迹上) 事实上,符合题目条件的点的 。 坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切,可以发现以 x 轴正半轴上任一点为圆心, 此 点 到 原 点 的 距 离 为 半 径 ( 不 等 于 3) 的 圆 也 符 合 条 件 , 所 以 y ? 0 ( x ? 0且x ? 3) 也 是 所 求 的 方 程 。 即 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 y = 12x(x>0)和 y ? 0 ( x ? 0且x ? 3) 。 因 此 , 在 求 轨 迹 时 ,
2

一定要完整的、细致地、周密地分析问题,这样,才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 43、 如 图 3- 2- 2) ( ,具 有 公 共 y 轴 的 两 个 直 角 坐 标 平 面 ? 和 ? 所 成 的 二 面 角 ? ? y轴-? 等 于

60? .已 知 ? 内 的 曲 线 C ? 的 方 程 是 y 2 ? 2 px? ( p ? 0) , 求 曲 线 C ? 在 ? 内 的 射 影 的 曲 线 方 程 。
错误解法 依 题 意 , 可 知 曲 线 C? 是 抛 物 线 ,

在 ? 内 的 焦 点 坐 标 是 F ?(

p ,0), p ? 0. 2

?
x?

因 为 二 面 角 ? ? y轴-? 等 于 60? ,

y
且 x?轴 ? y轴,x轴 ? y轴, 以 ?xox? ? 60?. 所 设 焦 点 F ? 在 ? 内 的 射 影 是 F ( x, y ) , 那 么 , F 位 于 x 轴 上 , 从 而 y ? 0, ?F ?OF ? 60?, ?F ?FO ? 90?, O

F? ·

x

?

p 1 p p ? ? . 所 以 点 F ( ,0 ) 是 所 求 射 影 的 焦 点 。 图 3 - 2 2 2 4 4 -2 依 题 意 , 射 影 是 一 条 抛 物 线 , 开 口 向 右 , 顶 点 在 原 点 。 所 以 曲 线 C?
所 以 OF ? OF ? ? cos 60? ? 在 ? 内 的 射 影 的 曲 线 方 程 是 y ? px.
2

错误分析 上述解答错误的主要原因是,凭直观误认为 F 是射影 / (曲 线 )的 焦 点 , 其 次 , 没 有 证 明 默 认 C 在 ? 内 的 射 影 (曲 线 ) 是一条抛物线。 正确解法 在 ? 内 ,设 点 M ( x?, y ?) 是 曲 线 上 任 意 一 点

?
x?

( 如 图 3- 2- 3) 过 点 M 作 MN ? ? , 垂 足 为 N , 过 N 作 NH ? y 轴 , 垂 足 为 H . 连 接 MH ,
第 11 页 ( 共 13 页 )

y
O H

F ? ·M
N

x

?

图 3- 2

则 MH ? y 轴 。 所 以 ?MHN是 二 面 角

? ? y轴-? 的 平 面 角 , 依 题 意 , ?MHN ? 60? .
在 Rt?MNH中, HN ? HM ? cos 60? ? 又 知 HM // x? 轴 ( 或 M 与 O 重 合 ) ,

1 x?. 2

, HN // x 轴 ( 或 H 与 O 重 合 ) 设 N ( x, y ) ,



1 ? ? x ? x? 2 ? ? y ? y? ?

?x? ? 2 x ?? ? y ? ? y.
2 2

因 为 点 M ( x?, y ?) 在 曲 线 y ? 2 px ? ( p ? 0) 上 , 所 以 y ? 2 p(2 x). 即所求射影的方程为

y 2 ? 4 px( p ? 0).

44、 设 椭 圆 的 中 心 是 坐 标 原 点 , 长 轴 x 在 轴 上 , 离 心 率 e ?

3 3 , 已 知 点 P (0, ) 到 这 个 椭 圆 上 2 2

的最远距离是

7 ,求这个椭圆的方程。
依题意可设椭圆方程为

错误解法

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2



c2 a2 ? b2 b2 3 e ? 2 ? ? 1? 2 ? , 4 a a2 a
2

所以

b2 1 ? ,即 a2 4

a ? 2b.

设椭圆上的点 ( x, y ) 到点 P 的距离为 d , 则

3 d 2 ? x2 ? ( y ? )2 2
y2 9 ) ? y 2 ? 3y ? 2 4 b 1 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3. 2 ? a 2 (1 ?

所以当 y ? ?

1 2 时, d 有最大值,从而 d 也有最大值。 2

所以

4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,由此解得: b 2 ? 1, a 2 ? 4.
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于是所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的, 但这种解法却是错误的。 结果正确只是碰巧而已。 由当 y ? ?

1 2 时,d 有最大值, 这步推理是错误的, 没有考虑 y 到的取值范围。 事实上, 由于点 ( x, y ) 2
2

在椭圆上,所以有 ? b ? y ? b ,因此在求 d 的最大值时,应分类讨论。即: 若b ?

1 2 ,则当 y ? ?b 时, d (从而 d )有最大值。 2 3 2 7? 3 1 1 ? , 与b ? 矛盾。 2 2 2

于是 ( 7 ) 2 ? (b ? ) 2 , 从而解得 b ? 所以必有 b ?
2

1 1 2 ,此时当 y ? ? 时, d (从而 d )有最大值, 2 2
2

所以 4b ?3 ? ( 7 ) ,解得 b ? 1, a ? 4.
2 2

于是所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。以已知的真实 数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的 一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性 等) ,做到思考缜密、推理严密。

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