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海安高级中学2010届高考模拟试卷二(数学)


数 学 试 题 (本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1.复数 z =i2(1+i)的虚部为___ _ __. 2.已知 α

∈ (?

π

3 , 0),sin α = ? , ,则 cos(π ? α ) =_________. 2 5


3.若曲线

f ( x) = x 4 ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 的坐标为

4.如图所示,墙上挂有一边长为

a 的正方形木板,它的四个角的空白部分
a 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 2
___.

都是以正方形的顶点为圆心,半径为

上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是__

5.设

? x 2 ? 2 x ? 1, f ( x) = ? ?? 2 x + 6,

x ≥ 0 ,若 f (t ) > 2 ,则实数 t 的取值范围是 x<0



6.若椭圆

x2 y 2 + = 1( a > b > 0) 的 a 2 b2

S← 1 For I from 1 to 9 step 2 S←S + I End for

左、右焦点分别为

F1 , F2 ,线段 F1 F2 被抛物线 y 2 = 2bx


的焦点 F 分成 5﹕3 的两段,则此椭圆的离心率为 7.左面伪代码的输出结果为 8.公差为 d ( d .

≠ 0) 的等差数列 {a n } 中, S n 是 {a n } 的前 n 项和,则数列 S20 ?S10, S30 ?S20, S40 ?S30也成等差数列,且

公差为

100d ,类比上述结论,相应地在公比为 q ( q ≠ 1) 的等比数列 {bn } 中,若 Tn 是数列 {bn } 的前 n 项积,则




9.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c ,则方程 10. 将正奇数排列如下表其中第 i 行第

x 2 + bx + c = 0 有实根的概率为
1 3 7 13 15 9 …… 5 11



j 个数表示 a ij (i ∈ N * , j ∈ N * ) ,例如

a32 = 9,若 aij = 2009 ,
则i

17 19

+ j=



11.已知点 O 为

?ABC 的外心,且 AC

= 4, AB = 2 ,则 AO ? BC =



12.在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么 液体体积的取值范围是 .

13.对于函数

f (x ) ,在使 f (x ) ≥M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大值称为函数 f (x )

的“下确界”,则函数

1

f ( x) =

x2 +1 ( x + 1) 2

的下确界为



14.三位同学合作学习,对问题“已知不等式

xy ≤ ax 2 + 2 y 2 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [ 2,3] 恒成立,求 a 的取值范围”提

出了各自的解题思路. 甲说:“可视

x 为变量, y 为常量来分析”.乙说:“不等式两边同除以 x 2,再作分析”. a 单独放在一边,再作分析”. a 的取值范围是


丙说:“把字母

参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本题满分 14 分,第 1 问 7 分,第 2 问 7 分)

已知向量 a=(sin(

π
2

+x),

3 cosx),b =(sinx,cosx), f(x)=a·b.
3 2
,求角 A 的值.

⑴求 f(x)的最小正周期和单调增区间;⑵如果三角形 ABC 中,满足 f(A)=

16. . (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x2-x+alnx

(1)当

x ≥ 1时, f ( x) ≤ x 2 恒成立,求 a 的取值范围;

(2)讨论

f ( x ) 在定义域上的单调性;

17. (本小题满分 14 分)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力,加速城市之间的流通。根据测 算,如果一列火车每次拖 4 节车厢,每天能来回 16 次;如果每次拖 7 节车厢,则每天能来回 10 次。每天来回次数是每次拖挂 车厢个数的一次函数,每节车厢一次能载客 110 人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多?并求出每天最多的 营运人数。(注: 营运人数指火车运送的人数)

18. (本题满分 16 分,第 1 问 6 分,第 2 问 10 分) 已知函数 f ( x ) = 2 a + 1 ?

1 a x
2

,常数 a

>0

. (1)设 m ? n

> 0 ,证明:函数 f ( x ) 在 [ m ,] 上单调递增; n

a

(2)设 0

< m < n 且 f ( x ) 的定义域和值域都是 [ m , ] ,求常数 a 的取值范围. n

19. (本题满分 16 分,第 1 问 4 分,第 2 问 6 分,第 3 问 6 分)

2

已知数列

{a n } 中, a1 = 1, 且点 P ( an , an+1 ) ( n ∈ N? ) 在直线 x ? y + 1 = 0 上. {a n }的通项公式;
f ( n) = 1 1 1 1 (n ∈ N , 且n ≥ 2 ), 求函数 + + +L+ n + a1 n + a 2 n + a 3 n + an

(1)求数列 (2)若函数

f (n) 的最小值;

(3)设 bn

=

1 , S n 表示数列 {bn }的前项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g (n ) ,使得 an

S1 + S 2 + S 3 + L + S n ?1 = (S n ? 1) ? g (n ) 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在,写出 g
明;若不存在,试说明理由.

(n) 的解析式,并加以证

20. (本题满分 16 分,第 1 问 4 分,第 2 问 6 分,第 3 问 6 分) 已知函数

f ( x) = x +

t ( x > 0) ,过点 P(1,0)作曲线 y = f (x ) 的两条切线 PM,PN,切点分别为 M,N. x

(1)当

t = 2 时,求函数 f (x ) 的单调递增区间;
g (t ) 的表达式;

(2)设|MN|= g (t ) ,试求函数

(3)在(2)的条件下,若对任意的正整数

n ,在区间 [2, n + 64 ] 内,总存在 m+1 个数 a1 , a 2 ,L, a m , a m +1 , 使
n

得不等式 g ( a1 ) +

g (a 2 ) + L + g (a m ) < g (a m+1 ) 成立,求 m 的最大值.

3

一、填空题: 1. -1 2. ?

4 5

3. (1,0) 4. 1 ?

π
4

5. ( ?∞ ,0) (3, +∞ ) ∪

6.

2 5 5

7.26

8. T20 T30 T 40

T10 T20 T30
13.0.5

,

,

也成等比数列 , 且公比为 q 100

9.

19 36

10.60 11.6 12. (

1 5 , ) 6 6

14. [ ?1,+∞ )

二、解答题:15.解:⑴f(x)= sinxcosx+

3 + 3 cos2x = sin(2x+ π )+ 3 2 2 3 2

T=π,2 kπ-

π
2

≤2x+

π
3

≤2 kπ+

π
2

,k∈Z,

最小正周期为 π,单调增区间[kπ-

5π π ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π π π 7π ⑵由 sin(2A+ )=0, <2A+ < , 3 3 3 3 π π 5π ∴2A+ =π 或 2π,∴A= 或 3 3 6

16.(1)解:由 当 当

f ( x) ≤ x 2 恒成立,得: a ln x ≤ x 在 x ≥ 1 时恒成立
-----------------------2 分 ,

x =1时 a∈ R x > 1 时即 a ≤
x ,令 x g ( x) = ln x ln x

g ′( x) =

ln x ? 1 ln 2 x

--------4 分

x ≥ e 时 g ′( x ) ≥ 0 , g ( x ) 在 x > e 时为增函数, g ( x ) 在 x < e 时为减函数


g min ( x) = e



a≤e

-------------------------------6 分

(2)解:f(x)=x2-x+alnx,f′(x)=2x-1+

a 2x 2 ? x + a = ,x>0 x x
----8 分

(1)当△=1-8a≤0,a≥

1 时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上为增函数. 8

(2)当 a<

1 时 8 1 ①当 0<a< 时, 8
2

1 ? 1 ? 8a 1 + 1 ? 8a 上为减函数, 1 + 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , ] > > 0 ,f(x)在 [ 2 2 2 2
----------------------11 分

f(x)在 (0, 1 ? 1 ? 8a ],[1 + 1 ? 8a , +∞) 上为增函数.

2

②当 a=0 时,f(x)在(0,1]上为减函数,f(x)在[1,+∞)上为增函数. ----------12 分 ③当 a<0 时,

1 ? 1 ? 8a < 0 ,故 f(x)在(0, 1 + 1 ? 8a ]上为减函数, 2 2

4

f(x)在[ 1 + 1 ? 8a ,+∞)上为增函数. 2

------------------------14 分

18、 (12 分)设这列火车每天来回次数为 t 次, 每次拖挂车厢 则设

n节
解得 ?k = ?2

2分

t = kn + b

由?

16 = 4k + b ? ?10 = 7k + b

? ?b = 24

∴ t = ?2n + 24
设每次拖挂 则

4分 1分 2分 2分

n 节车厢每天营运人数为 y 人
2

y = tn × 110 × 2 = 2(?220n + 2640n)
= 2640 = 6 时,总人数最多为 15840 人 440

当n

答:每次应拖挂 6 节车厢才能使每天的营运人数最多为 15840 人. 1 17.解:(1)任取

x1 , x2 ∈ [m, n] ,且 x1 < x2 ,
1 a
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

?

x1 ? x2 x1 x2



因为

x1 < x2 , x1 ,x2 ∈ [m, n] ,所以 x1 x2 > 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,故 f (x ) 在 [m , n ] 上单调递增.或
n ] 上单调递增,

求导方法. (2)因为 f (x ) 在 [m ,

f (x ) 的定义域、值域都是 [m , n ] ? f (m) = m, f (n) = n ,
即 m, n 是方程

2 a +1 ? 1 a a2 x

= x 的两个不等的正根
有 两 个 不 等 的 正 根 . 所 以

? a 2 x 2 ? ( 2a 2 + a ) x + 1 = 0
2a + a
2

? = ( 2a 2 + a ) 2 ? 4a 2 > 0



a

2

>0?

a>

1 2

19.解: (1)由点 P ( a n , a n +1 ) 在直线

x ? y + 1 = 0 上,即 a n +1 ? a n = 1 ,且 a1 = 1 ,数列{ a n }是以 1 为首项,1

为公差的等差数列 (2)

a n = 1 + (n + 1) ? 1 = n(n ≥ 2) , a1 = 1 同样满足,所以 a n = n

f (n ) =

1 1 1 + +L+ n +1 n + 2 2n

f (n + 1) =

1 1 1 1 1 + + L+ + n+2 n+3 n+4 2 n + 1 2n + 2

f ( n + 1) ? f ( n) =

1 1 1 1 1 1 + ? > ? =0 2n + 1 2 n + 2 n + 1 2 n + 2 2 n + 2 n + 1

所以

f (n) 是单调递增,故 f (n) 的最小值是 f ( 2) =

7 12 nS n ? ( n ? 1) S n ?1 = S n ?1 + 1 ,

(3) bn

=

1 1 1 1 ,可得 S = 1 + + + L + , S ? S = 1 ( n ≥ 2) n n n ?1 n 2 3 n n

(n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 = S n ? 2 + 1

S 2 ? S 1 = S1 + 1
5

nS n ? S1 = S1 + S 2 + S 3 + L + S n ?1 + n ? 1
S1 + S 2 + S 3 + L + S n ?1 = nS n ? n = n( S n ? 1) ,n≥2

g ( n) = n

故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立 20. 解: (1)当 t

= 2时, f ( x ) = x +

2 , x

f ′( x) = 1 ?

x2 ? 2 2 = >0 x2 x2

解得 x > 2 , 或 x < ? 2 .则函数 f (x ) 有单调递增区间为 ( ?∞ ,? 2 ), ( 2 ,+∞ ) (2)设 M、N 两点的横坐标分别为 1 、

x

x2 ,

Q f ′( x) = 1 ?

t t t ,∴ 切线PM的方程为 : y ? ( x1 + ) = (1 ? 2 )( x ? x1 ). x1 x2 x1 t t ) = (1 ? 2 )(1 ? x1 ). x1 x1

又 Q 切线PM 过点P(1,0),∴ 有0 ? ( x1 + 即x12 + 2tx1 ? t = 0. (1)

同理,由切线 PN 也过点(1,0) ,得

2 x 2 + 2tx 2 ? t = 0. 2

(2)

由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x 2 是方程x

+ 2tx ? t = 0 的两根,

? x + x 2 = ?2t ∴? 1 ? x1 ? x2 = ?t.

(*)
t t t 2 ? x 2 ? ) 2 = ( x1 ? x 2 ) 2 [1 + (1 ? ) ] x1 x2 x1 x 2

| MN |= ( x1 ? x 2 ) 2 + ( x1 +

[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ][1 + (1 ?

t 2 ) ] x1 x2

把(*)式代入,得 |

MN |= 20t 2 + 20t ,
20t 2 + 20t (t > 0)

因此,函数 g (t )的表达式为 g (t ) = (3)易知 g (t )在区间[2, n +

64 上为增函数, ] n

∴ g (2) ≤ g (ai )(i = 1, 2,L , m + 1). 则m ? g (2) ≤ g (a1 ) + g (a2 ) + L + g ( am ). Q g (a1 ) + g (a2 ) + L + g (am ) < g (am+1 )对一切正整数n成立,

∴ 不等式m ? g (2) < g ( n +

64 )对一切的正整数n恒成立 n

m 20 × 2 2 + 20 × 2 < 20(n +
即m < Qn + ∴m <

64 2 64 ) + 20( n + ) , n n

1 64 64 [(n + ) 2 + (n + )]对一切的正整数n恒成立 6 n n 1 2 136 [16 + 16] = . 6 3

64 1 64 64 ≥ 16,∴ [(n + ) 2 + ( n + )] ≥ n 6 n n 136 . 3

由于 m 为正整数,

∴m ≤ 6 .
6

又当 m = 6时, 存在a = a = L = a = 2, a 1 2 m m +1 = 16, 对所有的n满足条件. 因此,m 的最大值为 6.

7


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