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物理必修一第2章第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关系


第四节 匀变速直线运动的速度与位移的关系

课标定位 学习目标:1.会推导匀变速直线运动的位移与速
度的关系式 v2-v2=2ax. 0 2. 理解推论公式 v2-v2=2ax, 会用公式 v2-v2= 0 0 2ax 解决相关题目. 重点难点:1.对位移和速度关系式的理解和应用. 2.几个推论的推导和应用.

第 四 节 匀

变 速 直 线 运 动 的 速 度 与 位 移 的 关 系

课前自主学案 核心要点突破

课堂互动讲练
知能优化训练

课前自主学案

一、匀速直线运动的位移与速度的关系 1.公式:x=_______. vt 2.任何直线运动的位移均可用公式x=vt计算 平均 ,但要注意式中的v应表示时间t内的______速 度.

二、匀变速直线运动的位移与速度的关系
v2-v2=2ax 1.公式:____________. 0

2.推导:物体做匀变速直线运动时,设其初速度 为 v0,末速度为 v,则由 速度公式:v=v0+at 1 2 位移公式:x=v0t+ at 2

v2-v2=2ax 得位移与速度的关系式为______________. 0
说明:如果匀变速运动的已知量和未知量都不 涉及时间, 则利用公式 v2-v2=2ax 求解问题时, 0 往往比用其他公式解题方便.

核心要点突破

一、对位移—速度关系式的理解 1.位移与速度的关系式:v2-v2=2ax 为矢量式, 0 应用它解题时,一般先规定初速度 v0 的方向为正方 向: (1)物体做加速运动时,a 取正值,做减速运动时,a 取负值. (2)位移 x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方 向相同; x<0, 说明位移的方向与初速度的方向相反. 2.适用范围:匀变速直线运动.

3.特例 (1)当 v0=0 时,v2=2ax 物体做初速度为零的匀加速直线运动,如自由下 落问题. (2)当 v=0 时,-v2=2ax 0 物体做匀减速直线运动直到静止,如刹车问题. 特别提醒:(1)公式 v2-v2=2ax 中四个物理量 0 均是矢量, 应用它解题时要注意各物理量的正、 负值. (2)刹车问题由于末速度为零,应用此公式解题

往往很方便.

即时应用?(即时突破,小试牛刀) 1.某飞机着陆后以4 m/s2的加速度做匀减速 直线运动,飞机着陆时的速度为50 m/s,求 飞机着陆后还能在跑道上滑行多远? 解析:由 v2-v2=2ax 得: 0
v2-v2 02-502 0 x= = m=312.5 m. 2a 2×?-4?

答案:312.5 m

二、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系 1.1T 末、2T 末、3T 末…、nT 末、瞬时速度之比 v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n 2.1T 内、2T 内、3T 内、…、nT 内的位移之比 x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2 3.第一个 T 内,第二个 T 内,第三个 T 内,…,第 n 个 T 内位移之比 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn=1∶3∶5∶…∶(2n-1) 4.通过前 x、前 2x、前 3x…时的速度之比 v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶ 2∶ 3∶…∶ n

5.通过前 x、前 2x、前 3x…的位移所用时间之比 t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶ 2∶ 3∶…∶ n 6.通过连续相等的位移所用时间之比:tⅠ∶tⅡ∶t Ⅲ ∶…∶tn =1∶( 2-1)∶( 3- 2)∶…∶( n- n-1)

特别提醒:(1)以上比例成立的前提是物体做初 速度为零的匀加速直线运动. (2)对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它 看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,应用 比例关系,可使问题简化.

即时应用?(即时突破,小试牛刀) 2.汽车刹车后做匀减速直线运动,经 30 秒后停 止运动,那么在这连续的三个 10 秒内汽车所用时 间之比为( ) A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶( 2-1)∶( 3- 2) D.( 3- 2)∶( 2-1)∶1

答案:D

三、追及和相遇问题

1.追及问题
“追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在

同一位置,常见的情形有三种:
(1)初速度为零的匀加速直线运动的物体甲追赶同

方向的匀速运动的物体乙时,一定能追上,在追
上之前两者有最大距离的条件是两物体的速度相 等,即v甲=v乙.

(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的
物体乙时,恰好追上或恰好追不上的临界条件是两

物体速度相等,即v甲=v乙.
判断此种追赶情形能否追上的方法是:假定在追赶

过程中两者在同一位置,比较此时的速度大小,若
v甲>v乙,则能追上;v甲<v乙,则追不上,如果始终

追不上,当两物体速度相等即v甲=v乙时,两物体
的间距最小.

(3)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(

如匀速运动)
①两者速度相等,追者位移仍小于被追者位移,则 永远追不上,此时二者间有最小距离. ②若速度相等时,有相同位移,则刚好追上,也是 二者相遇时避免碰撞的临界条件.

③若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度,则
被追者还能有一次追上追者,二者速度相等时,二

者间距离有一个最大值.

2.追及问题的解题思路 (1)分清前后两物体的运动性质; (2)找出两物体的位移、时间关系; (3)列出位移的方程; (4)当两物体速度相等时,两物体间距离出现极值.

3.相遇问题 (1)相遇的特点:在同一时刻两物体处于同一位置.

(2)相遇的条件:同向运动的物体追及即相遇;相向
运动的物体,各自发生的位移的绝对值之和等于开

始时两物体之间的距离时即相遇.
(3)临界状态:避免相碰撞的临界状态是两个运动物

体处于相同的位置时,两者的相对速度为零.

课堂互动讲练

位移一速度关系式的应用
例1 (2011年滕州质检)有些航空母舰上装有帮助飞

机起飞的弹射系统,已知某型号的战斗机在跑道上 加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2,当飞机的 速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞.设航空 母舰处于静止状态.问: (1)若要求该飞机滑行160 m后起飞,弹射系统必须 使飞机具有多大的初速度? (2)若某舰上不装弹射系统,要求该型号飞机仍能在 此舰上正常起飞,问该舰身长至少应为多长?

【思路点拨】 本题没有涉及时间,也不需求时 间,故可根据位移—速度关系式求解. 【精讲精析】 (1)设经弹射系统帮助起飞时初 速度为 v0,由运动学公式 v2-v2=2ax, 0 可知 v0= v2-2ax=30 m/s. (2)不装弹射系统时,飞机从静止开始做匀加速 直线运动. 由公式 v2=2ax v2 可知该舰身长至少应为 x= =250 m. 2a 【答案】 (1)30 m/s (2)250 m

【方法总结】

公式 v2-v2=2ax 为矢量式,应用 0

时要注意各量的符号.
变式训练1 做匀加速直线运动的列车出站时, 车头经过站台时的速度为1 m/s,车尾经过站台 的速度为7 m/s,则车身的中部经过站台的速度 为( ) A.3.5 m/s B.4.0 m/s C.5 m/s D.5.5 m/s

解析:选 C.设列车长度为 x,加速度为 a,由 v2-v2=2ax 得 0
?72-12=2ax ? ? 2 x 2 ?v中-1 =2a 2 ?

解得:v 中=5 m/s,故 C 对.

巧用比例关系解题
例2

汽车刹车后做匀减速直线运动,经过3 s停止 )

运动,那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的 位移之比x1∶x2∶x3为(

A.1∶2∶3
C.1∶4∶9 【思路点拨】 分析简化.

B.5∶3∶1
D.3∶2∶1 可通过研究刹车过程的逆过程而使

【精讲精析】 刹车过程的逆过程是初速度为零 的匀加速直线运动.根据初速度为零的匀加速直 线运动的特点,该逆过程在三个连续1 s内的位移 之比为1∶3∶5.所以刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为5∶3∶1. 【答案】 B 【方法总结】 本题分析中应用了逆向转换 法.逆向转换法的应用使得末速度为零的匀减速 直线运动也可以应用初速度为零的匀加速直线运 动的推导来进行分析.

变式训练2

一个由静止开始做匀加速直线运动的

物体,从开始运动起连续发生3段位移,在这3段位

移中所用的时间分别是1 s,2 s,3 s,这3段位移的
大小之比和这3段位移上的平均速度之比分别为(

)
A.1∶8∶27;1∶2∶3

B.1∶8∶27;1∶4∶9
C.1∶2∶3;1∶1∶1

D.1∶3∶5;1∶2∶3

解析:选 B.根据初速度为零的匀加速直线运动的 位移特点, 在连续 6 个 1 s 内的位移之比为 1∶3∶ 5∶7∶9∶11,所以在题中所说 3 个位移之比为 x1∶x2∶x3=1∶(3+5)∶(7+9+11)=1∶8∶27, x1 x2 x3 平均速度之比: 1∶ v 2∶ v 3= ∶ ∶ =1∶4∶ v t1 t2 t3 9,选项 B 正确.

追及相遇问题的求解方法
例3 一小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶,

恰有一自行车以6 m/s的速度从车边匀速驶过. (1)汽车从开动后在追上自行车之前,要经多长时间 两者相距最远?最远距离是多少? (2)什么时候追上自行车,此时汽车的速度是多少? 【自主解答】 法一:(1)汽车开动后速度由零逐渐 增大,而自行车速度是定值,当汽车的速度还小于 自行车的速度时,两者距离越来越大,当汽车的速 度大于自行车的速度时,两者距离越来越小,所以 当两车的速度相等时,两车之间距离最大.

v自 有 v 汽=at=v 自,t= a =2 s 1 2 1 Δx=v 自· at =6×2 m- ×3×4 m=6 m. t- 2 2 (2)追上时,两车位移相等,即: 1 at′2=vt′ 2 2v 2×6 t′= a = s=4 s 3 v 汽′=at′=3×4 m/s=12 m/s.

法二: (1)设汽车在追上自行车之前经时间 t 相距最远. 1 2 32 Δx=x 自-x 汽=v 自· at =6t- t . t- 2 2 利用二次函数求极值条件知 b 6 当 t=- =- s=2 s 时,Δx 最大, 2a 3 2?- ? 2 3 故 Δxmax=6×2 m- ×22 m=6 m. 2 (2)汽车追上自行车时,两车位移相等. 1 v 自· t′= at′2 代入数值得 t′=4 s 2 v 汽′=a· t′=3×4 m/s=12 m/s

法三:如图 2-4-1 所示,作出 v-t 图. (1)设相遇前 t s 两车速度相等 v 汽=a· t=6 m/s,即 3t =6,解得 t=2 s 时两车相距最远. 1 两车的位移差 Δx= ×6×2 m=6 m. 2 (2)由图知,t=2 s以后,若两车位 移相等,即v-t图象与时间轴所夹 的“面积”相等. 图2-4-1 由几何关系知,相遇时间为t′=4 s, 此时v汽=2v自=12 m/s.

【答案】

(1)2 s

6m

(2)4 s

12 m/s

【方法总结】

解决追及相遇问题时,主要从以下

三个方面分析:(1)明确每个物体的运动性质,(2) 确定两物体运动时间的关系,(3)确定两物体的位

移关系.
变式训练3 一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加 速到最大速度50 m/s,并能保持这个速度匀速行

驶.在平直的高速公路上,该巡逻车由静止开始启
动加速,追赶前方2 000 m处正以35 m/s的速度匀

速行驶的一辆卡车,至少需要多少时间才能追上?

解析:若经时间 t 正好追上,在 t 时间内,卡车位 1 2 移 x1=v1t,巡逻车位移 x2= at1+v2t2,t1+t2=t,a 2 v2 = , 且由题意 x2=x1+2000 m, 由以上式子可得: t1 t=150 s.

答案:150 s


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