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2014年高考数学(理)二轮热点专题突破讲练:第十讲 数列求和及数列的综合应用(含新题详解)


第十讲

数列求和及数列的综合应用

与不等式的综合应用 与实际生活问题的综合应用

1. (等差数列的前 n 项和)(2013· 上海高考)若等差数列的前 6 项和为 23, 前 9 项和为 57, 则数列的前 n 项和 Sn=________. 【解析】 设 Sn=An2+Bn,则有?
? ?36A+6B=

23, ?81A+9B=57, ?

?A=6, 解得? 7 ?B=-6,
5 7 故 Sn= n2- n. 6 6 【答案】 5 2 7 n- n 6 6 1 ,若前 n 项和为 10,则项数 n= n+ n+1

5

2.(裂项求和)数列{an}的通项公式是 an= ________.

n+1- n 【解析】 由 an= = n+1- n,所以 a1+a2+…+an=( 2 ? n+ n+1?? n+1- n? -1)+( 3- 2)+…+ ( n+1- n)=10,即 n+1-1=10,即 n+1=11,解得 n+1=121,n=120. 【答案】 120 3.(错位相减法求和)化简 Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n 2+2n
- -1

的结果是

________. 【解析】 Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n 2+2n 1,
- -

2Sn=2n+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n 1+2n,


两式作差 Sn=2n+2n 1+2n 2+…+2-n=2n 1-2-n.
- - +

【答案】 2n 1-2-n


4.(数列的通项公式)如果数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为 1,公比为 3 的等比数列,则 an=________.

【解析】 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= 【答案】 3n-1 2

1-3n 3n-1 = . 2 1 -3

5.(数列的实际应用)(2013· 江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________. 【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,其前 n 项和 Sn= a1?1-qn? 2?1-2n? n+1 + + = =2 -2.由 2n 1-2≥100,得 2n 1≥102.由于 26=64,27=128,则 n+ 1-q 1-2 1≥7,即 n≥6. 【答案】 6

裂项相消法求和 【命题要点】 ①求和式的值;②已知和式的值,求项数.

(2013· 潍坊模拟)已知数列{an}的各项排成如图 3-2-1 所示的三角形数 阵,数阵中每一行的第一个数 a1,a2,a4,a7,…构成等差数列{bn},Sn 是{bn}的前 n 项和, 且 b1=a1=1,S5=15.

图 3-2-1 (1) 若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数 列,且公比相等,已知 a9=16,求 a50 的值. 1 1 1 8 (2)设 Tn= + +…+ ,当 m∈[-1,1]时,对任意 n∈N*,不等式 t2-2mt- > S2n 3 Sn+1 Sn+2 Tn 恒成立,求 t 的取值范围. 【思路点拨】 (1)先求 bn 及公比 q, 再确定 a50 在数阵中的位置, 再根据等比数列求 a50. (2)先用裂项法求 Tn, 再利用导数求 Tn 的最大值, 最后把问题转化为关于 m 的函数求解. 【自主解答】 (1)因为{bn}为等差数列,设公差为 d,b1=1,S5=15,所以 S5=5+10d =15,d=1, 所以 bn=1+(n-1)×1=n. 设从第 3 行起,每行的公比是 q,且 q>0,a9=b4q2,4q2=16,q=2, 1+2+3+…+9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 则 a50=b10q4=10×24=160. (2)因为 Sn=1+2+…+n= n?n+1? , 2

1 1 1 所以 Tn= + +…+ S2n Sn+1 Sn+2 = 2 2 2 + +…+ ?n+1??n+2? ?n+2??n+3? 2n?2n+1?

1 1 1 1 1 1 =2?n+1-n+2+n+2-n+3+…+2n-2n+1? ? ? 1 1 2n =2?n+1-2n+1?= ? ? ?n+1??2n+1?. 2x 令 f(x)= (x≥1), ?x+1??2x+1? 2-4x2 f′(x)= , ?x+1?2?2x+1?2 当 x≥1 时,f′(x)<0,f(x)在[1,+∞)上为减函数, 1 所以 Tn 为递减数列,Tn 的最大值为 T1= . 3 所以不等式变为 t2-2mt-3>0 恒成立, 设 g(m)=-2tm+t2-3,m∈[-1,1],
?g?-1?>0, ?2t+t2-3>0, ? ? 则? 即? 2 ?g?1?>0, ?-2t+t -3>0, ? ?

解得 t>3 或 t<-3. 即 t 的取值范围为(-∞,-3)∪(3,+∞).

1.裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时,其关键在于裂项后系数的 确定. 2.裂项求和的几种常见类型: 1 11 1 (1) = ( - ); n?n+k? k n n+k 1 1 (2) = ( n+k- n); n+k+ n k 1 1 1 1 (3) = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 1 1 1 (4)若{an}是公差为 d 的等差数列,则 = ( - ). anan+1 d an an+1 变式训练 1 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和. bn 【解】 (1)设数列{an}的公比为 q. 1 2 2 2 由 a2 3=9a2a6,得 a3=9a4,所以 q = . 9

1 1 由条件可知 q>0,故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an n?n+1? =-(1+2+…+n)=- . 2 1 2 1 1 1 1 1 故 =- =-2( - ), + +…+ bn n b b b n?n+1? n+1 1 2 n 1 1 1 1 1 2n =-2[(1- )+( - )+…+( - )]=- . 2 2 3 n n+1 n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1

错位相减法求和 【命题要点】 ①求和式的值;②证明等式成立.

(2013· 山东高考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an +1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列 2 {cn}的前 n 项和 Rn. 【思路点拨】 (1)利用等差数列的通项公式,前 n 项和公式,建立方程组求解.

(2)由已知求 Tn,进而求 bn,cn,用错位相减法求{cn}的前 n 项和. 【自主解答】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,得 ?4a1+6d=8a1+4d, ?
? ? ?a1+?2n-1?d=2a1+2?n-1?d+1. ? ?a1=1, 解得? ?d=2. ? 因此 an=2n-1,n∈N*. n (2)由题意知 Tn=λ- n-1, 2

n-1 n-2 n 所以当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2 2n-2 1?n-1 * 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)? ?4? ,n∈N . 2 1?0 ?1?1 ?1?2 ?1?3 ?1?n-1 所以 Rn=0×? ?4? +1×?4? +2×?4? +3×?4? +…+(n-1)×?4? ,

1?1 1 ?1?2 ?1?3 ?1?n 则 Rn=0×? ?4? +1×?4? +2×?4? +…+(n-1)×?4? . 4 两式相减得 1 ?1?n - 1 1 1 1 1 1 3 ?1+? ?2+? ?3+? ?4+…+? ?n-1-(n-1)×? ?n=4 ?4? -(n-1)×?1?n Rn=? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 4 1 1- 4 1 1+3n?1?n = - , 3 3 ?4? 1? 3n+1? 整理得 Rn= ?4- n-1 ?. 9? 4 ? 1? 3n+1? 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= ?4- n-1 ?. 9? 4 ?

1.错位相减只是实现求和的途径,其本质是相减后利用等比数列求和公式求和.在构 造方程时,Sn 的左右两边同乘以等比数列的公比. 2.错位相减法的难点在于运算,为力求运算准确,要注意两式相减时幂指数相同的项 要对齐,同时注意剩余的项. 3.当{an}为等差数列,{bn}为等比数列时,求数列{anbn}的前 n 项和,可用错位相减法. 变式训练 2 (2013· 济南模拟)已知数列{an}满足 a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*),数列{bn} an 满足 bn= n. 3 (1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式. (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. an+1 an 【解】 (1)由 bn= n,得 bn+1= n+1, 3 3 an+1 an 1 所以 bn+1-bn= n+1- n= , 3 3 3 1 所以数列{bn}是等差数列,首项 b1=1,公差为 , 3 n+2 1 所以 bn=1+ (n-1)= (n∈N*). 3 3 (2)an=3nbn=(n+2)×3n 1,


所以 Sn=a1+a2+…+an =3×1+4×3+…+(n+2)×3n 1,①


所以 3Sn=3×3+4×32+…+(n+2)×3n.② ①-②得

-2Sn=3×1+3+32+…+3n 1-(n+2)×3n


=2+1+3+32+…+3n 1-(n+2)×3n




3n+3 -(n+2)×3n, 2

3n+3 ?n+2?3n 所以 Sn=- + . 4 2

数列与不等式的综合应用 【命题要点】 ①证明不等式;②比较大小;③数列的单调性.

(2013· 宁波模拟)设公比大于零的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1 =1,S4=5S2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,满足 b1=1,Tn=n2bn,n∈N*. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn=(Sn+1)(nbn-λ),若数列 cn 是单调递减数列,求实数 λ 的取值范围. 【思路点拨】 (1)求 an 时,先求公比 q;求 bn 时,先根据前 n 项和求 bn 与 bn-1 的关系, 再用累乘法求 bn. (2)把数列{cn}是单调递减数列转化为 cn+1-cn<0 恒成立问题, 再分离 λ, 转化为求最值 问题. 1-q4 5?1-q2? - 【自主解答】 (1)由 S4=5S2,a1=1 得 = ,又 q>0,所以 q=2,an=2n 1-q 1-q
1

.
?Tn=n2bn, ? bn n-1 由? 得 = (n>1),又 b1=1. 2 bn-1 n+1 ?Tn-1=?n-1? bn-1, ?



bn bn-1 bn-2 b2 n-1 n-2 n-3 2 1 2 · · · …· = · · · …··= . b1 n+1 n n-1 4 3 n?n+1? bn-1 bn-2 bn-3

2 2 所以 n>1 时,bn= ,当 n=1 时,b1=1 也满足,故 bn= (n∈N*). n?n+1? n?n+1? 2 (2)Sn=2n-1,所以 cn=2n?n+1-λ?,若数列{cn}是单调递减数列,

?

?

4 2 则 cn+1-cn=2n?n+2-n+1-λ?<0 对 n∈N*都成立, ? ? 即 4 2 4 2 - -λ<0?λ>?n+2-n+1?max, ? ? n+2 n+1 , 2 n+3+ n 2

4 2 2n - = = n+2 n+1 ?n+1??n+2?

4 2 1 1 当 n=1 或 2 时,?n+2-n+1?max= ,所以 λ> . 3 3 ? ?

1 ? 即系数 λ 的取值范围为? ?3,+∞?

1.本例(1)中求数列{bn}的通项公式时利用累乘法,但需注意验证 n=1 时,b1 是否满足 通项公式. 2.数列与不等式的综合应用问题主要涉及两种题型: (1)比较大小,常采用作差比较法和放缩法; (2)证明不等式及不等式的应用,常采用比较法、分析综合法、基本不等式法、放缩法、 最值法、反证法等. 变式训练 3 (2013· 潍坊模拟)各项均为正数的数列{an}中,前 n 项和 Sn=? (1)求数列{an}的通项公式. (2)若 1 1 1 + +…+ <k 恒成立,求 k 的取值范围. a1a2 a2a3 anan+1 an+1?2 ? 2 ?, an+1?2 ? 2 ?.

【解】 (1)因为 Sn=? 所以 Sn-1=?

?

an-1+1?2 ,n≥2, 2 ? an+1?2 ?an-1+1?2 ? 2 ? -? 2 ? ,n≥2,

两式相减得 an=?

整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 因为数列{an}的各项均为正数, 所以 an-an-1=2,n≥2,所以{an}是公差为 2 的等差数列. 又 S1=? a1+1?2 ? 2 ? ,得 a1=1,所以 an=2n-1.

1 1 1 (2)由题意得 k>?a a +a a +…+a a ?max, ? 1 2 2 3 n n+1? 1 ? 1 1 1 1 - 因为 = = ? , anan+1 ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1 1 1 所以 + +…+ a1a2 a2a3 anan+1 1 1 ?? 1 1 1 1 - 1- ?+? - ?+…+? = ?? 3? ?3 5? 2?? ?2n-1 2n+1?? 1 1 1 1 = ?1-2n+1?< ,所以 k≥ . 2? 2 ? 2

1 ? 即 k 的取值范围为? ?2,+∞?.

数列求和是历年高考必考内容之一,同时数列与不等式,数列与函数、方程的综合应用 也是课标区高考的热点,这类题目往往涉及面较广,运算比较复杂,方法比较灵活,较好地 考查了学生分析问题、 解决问题的能力, 其中利用函数的思想求数列的最大项与最小项问题 应引起高度重视.

利用单调性求数列问题的最值 3 (12 分)已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n 2 ∈N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn 【规范解答】 (1)设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数

a5 1 列,所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2= = . a3 4 3分 1 3 1 3 - ? 又{an}不是递减数列且 a1= , 所以 q=- , 故等比数列{an}的通项公式为 an= ×? 2 2 2 ? 2?
n-1
- 3 =(-1)n 1·n. 2

6分 1

1+ ,n为奇数, 1? ? 2 ? (2)由(1)得 S =1-?-2? =? 1 ?1-2 ,n为偶数.
n n n n

3 当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,所以 1<Sn≤S1= ,故 2 1 1 3 2 5 0<Sn- ≤S1- = - = ; Sn S1 2 3 6 9分 3 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大,所以 =S2≤Sn<1,故 4 1 1 3 4 7 0>Sn- ≥S2- = - =- .11 分 Sn S2 4 3 12

5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12

12 分 【阅卷心语】 易错提示 (1)不会处理 Sn 中的(-1)n,导致思维受阻,无法求解.

1 (2)不能根据 Sn 的范围,求 Sn- 的范围,解答失误或无法求解. Sn 防范措施 (1)当 an 或 Sn 中含有(-1)n 时,n 的奇偶性影响结果,故应分类讨论.

1 1 (2)把 Sn 看作自变量,则 Sn- 是增函数(或减函数),故可根据 Sn 的范围,求 Sn- 的 Sn Sn 范围.

1 1.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6=9,则 log (a5+a7+ 3 a9)的值是( 1 A.- 5 ) B.-5 C.5 1 D. 5

an+1 【解析】 由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 log3an+1-log3an=1,即 log3 =1,解 an an+1 得 =3,所以数列{an}是公比为 3 的等比数列.因为 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以 a5 an +a7+a9=9×33=35. 1 所以 log1(a5+a7+a9)=log 35=-log335=-5. 3 3 【答案】 B 2.在如图 3-2-2 的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一 纵列成等比数列,则 a+b+c 的值为________. 1 0.5 2 1 a b c 图 3-2-2 1 1 【解析】 由题意知 2a=1,所以 a= ,第三列和第五列的公比都为 ,所以 b 右边的 2 2

1?3 3 1 3 5 5 1 5 ?1?4 3 数字为 3×? ?2? =8,所以 2b=4+8=8,即 b=16,c=3×?2? =16,所以 a+b+c=2+16+ 3 =1. 16

【答案】 1


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