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(人教a版)必修一同步课件:1.3.2(第1课时)函数奇偶性的概念


1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念

一、偶函数、奇函数的定义 1.偶函数:
x∈A f(-x)=f(x)

2.奇函数:
x∈A f(-x)=-f(x)

思考:对于定义在R上的函数f(x),若f(-3)=f(3),则函数f(x)
一定是偶函数吗?
<

br />提示:不一定,仅有f(-3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不
满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.

二、偶函数、奇函数图象的特征 1.偶函数图象的特征:关于__ y 轴对称; 2.奇函数图象的特征:关于_____ 原点 对称.

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.( ) )

(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.(

(3)如果一个函数的图象关于原点对称,则有f(x)-f(-x)=0. ( )

提示:(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数,故图象关于y轴对

称.
(2)正确.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

f(-0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
(3)错误.因为函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数, 故f(-x)=-f(x),则有f(x)+f(-x)=0. 答案:(1)√ (2)√ (3)×

【知识点拨】
1.函数的奇偶性与单调性的区别 (1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性 ,是相对于函数的整 个定义域来说的,奇偶性是函数的“整体”性质. (2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势 ,此区 间是定义域的子集,因此单调性是函数的“局部”性质. 2.奇函数、偶函数在x=0处的定义 若奇函数f(x)在原点处有意义,则由奇函数定义 f(-0)=-f(0),可得f(0)=0,偶函数则不一定.

3.奇函数、偶函数的图象特征 (1)

(2)由奇、偶函数的图象特征可知:偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反,奇函数在关于原点对称的区间上的单 调性相同.

类型 一

判定函数的奇偶性

【典型例题】 1.设定义在R上的函数f(x)= x , 则f(x)( A.是奇函数,又是增函数 C.是奇函数,又是减函数 )

B.是偶函数,又是增函数 D.是偶函数,但不是减函数

2.判断下列函数的奇偶性 (1)y=x3+ . (2)y= 2x- 1? 1 -2x. (3)y=x4+x.
? x 2 ? 2, x ? 0, (4) y ? ? ?0, x ? 0, ?-x 2-2, x ? 0. ?
1 x

【解题探究】1.函数的定义域应具备怎样的特点,才讨论函 数的奇偶性? 2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点? 探究提示: 1.函数的定义域必须关于原点对称. 2.把握好两个关键点,一是看定义域是否关于原点对称,二 看f(x)与f(-x)的关系.

【解析】1.选D.定义域关于原点对称,且f(-x)=|-x|= |x|=f(x),所以是偶函数,但是它既有减区间也有增区间, 故不是减函数.

2.(1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=

-f(x),奇函数.
1 (2)定义域为{ },不关于原点对称,该函数不具有奇偶性. 2

(3)定义域为R,关于原点对称,但f(-x)=x4-x≠x4+x,
f(-x)=x4-x≠-(x4+x),故其不具有奇偶性. (4)方法一:定义域为R,关于原点对称,当x>0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0;故该函数为奇函数.

方法二:画出函数图象如下:

由图象关于原点对称知为奇函数.

【拓展提升】 1.判断函数奇偶性的两个方法 方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断. 方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断. 2.定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)首先看定义域是否关于原点对称. (2)判定f(x)与f(-x)的关系.

(3)利用定义下结论.

【变式训练】函数y=x|x|+px,x∈R是(

)

A.偶函数
C.非奇非偶函数

B.奇函数
D.与p有关

【解析】选B.由题意定义域关于原点对称, f(-x)=-x|-x|+p(-x)=-x|x|-px=-f(x),所以是奇函数.

类型 二

利用奇函数、偶函数图象的对称性解题

【典型例题】 1.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方 程f(x)=0的所有实根之和是( A.0 B.1 C.2 ) D.4

2.如果奇函数f(x)在区间[-5,-3]上是增函数,且最大值 为-4,那么f(x)在区间[3,5]上是( A.增函数且最大值为4 C.减函数且最大值为4 )

B.增函数且最小值为4 D.减函数且最小值为4

【解题探究】1.奇函数、偶函数的图象各具有怎样的特征? 2.奇函数在对称区间内的单调性和最值有什么关系? 探究提示: 1.(1)函数是奇函数?函数的图象是以坐标原点为对称中心的 对称图形,即图象关于原点对称. (2)函数是偶函数?函数的图象是以y轴为对称轴的对称图 形,即图象关于y轴对称.

2.奇函数在对称区间内具有相同的单调性,且最值互为相反数 .

【解析】1.选A.偶函数的图象关于y轴对称,f(x)图象与x轴 的4个交点也关于y轴对称,所以f(x)=0的4个根的和为0. 2.选B.作一个符合条件的图象,如下:

由图象知,f(x)在区间[3,5]上是增函数且最小值为4.

【拓展提升】奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一:巧作函数图象 ①奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称. ②根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶 函数在某区间的部分图象,画出其关于原点或y 轴对称的另一 部分的图象问题.

应用二:求函数最值、单调性问题 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图象解 决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题 ,也可以解决关 于原点对称的区间上的函数的单调性问题 ,同时可以简化解题 过程.

【变式训练】已知y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象 的对称轴是( A.x=1 C.x=-2 ) B.x= -1 D.y轴

【解析】选A.y=f(x+1)是偶函数,其图象关于y轴对称,而 y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的, 所以y=f(x)的图象关于x=1对称.

类型 三

利用函数的奇偶性求参数值

【典型例题】
1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],

则a=______,b=______.
2 ax 2.已知函数 f ? x ?= ? 1 (a,b,c∈Z)是奇函数,又f(1)=2, bx ? c

f(2)<3.求a,b,c的值.

【解题探究】1.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数的条件是什么? 2.一次函数y=ax+b为奇函数的条件是什么? 探究提示: 1.若二次函数y=ax2+bx+c为偶函数,图象关于y轴对称,则b=0, a≠0, c∈R. 2.若一次函数y=ax+b为奇函数,图象过原点,则a≠0, b=0.

【解析】1.因为定义域为[a-1,2a]关于原点对称, 所以a-1+2a=0,所以a= . 又因为f(-x)=f(x),
1 2 1 所以 x -bx+1+b= x2+bx+1+b, 3 3 1 3

由对应项系数相等得,-b=b,所以b=0. 答案:
1 3

0

2 ax 2.∵函数 f ? x ?= ? 1 (a,b,c∈Z)是奇函数, bx ? c 2 2 ax ? 1 ax ?1 ∴f(-x)=-f(x),即 =- , -bx ? c bx ? c 2 -bx+c=-bx-c,∴c=0.∴f(x)= ax ? 1. bx a ?1 又f(1)=2,故 = 2. b 4a ? 1 4a ? 1 ? 3, 而f(2)<3,即 ? 3,即 a ? 1 2b

∴-1<a<2. 又由于a∈Z,∴a=0或a=1. 当a=0时,b=
1 (舍);当a=1时,b=1. 2

综上可知,a=b=1,c=0.

【互动探究】若将题2中奇函数改为偶函数,f(2)<3改为 f(2)<6,求a,b,c的值.
ax 2 ? 1 【解析】∵函数 f ? x ?= (a,b,c∈Z)是偶函数, bx ? c 2 2 ax ? 1 ax ? 1 即-bx+c=bx+c,故b=0, ∴f(-x)=f(x),故 = , -bx ? c bx ? c 2 a ?1 ax ? 1 a ?1 f(x)= 又 f(1)=2 ,∴ =2 , c= 代入f(2)<6得, , 2 c c 4a ? 1 ? 6, 解得-1<a<2, a ?1 2

又由于a∈Z,∴a=0或a=1.

1 当a=0时,c= (舍);当a=1时,c=1. 2

综上可知,a=c=1,b=0.

【拓展提升】利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略 (1)定义域含参:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b], 根据定义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数. (2)解析式含参:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系 数可解.

【易错误区】函数奇偶性判断中的误区

【典例】以下说法中:(1)函数f(x)=x3+

1 是奇函数.(2)函数 3 x

f(x)=3x2,x∈(-2,2] 是偶函数.(3)函数f(x)=|x-5|是偶函

数.(4)函数f(x)=0,x∈[-2,2]既是奇函数,又是偶函数.正
确的序号是______.

【解析】对于(1),函数f(x)=x3+

1 的定义域为(-∞,0)∪ x3

(0,+∞),且能满足f(-x)=-f(x),所以是奇函数,故(1)正确. 对于(2),函数f(x)=3x2,x∈(-2,2]的定义域不关于原点对 称①,故该函数是非奇非偶函数,故(2)错误. 对于(3),函数f(x)=|x-5|是由f(x)=|x|的图象向右平移了五个 单位得到的,图象不关于y轴对称,所以(3)错误. 对于(4),函数f(x)=0,x∈[-2,2]图象既关于原点对称又关 于y轴对称,所以(4)正确.

答案:(1)(4)

【类题试解】函数f(x)=|x-2|-|x+2|是______函数(填“奇”
或“偶”).

【解析】函数f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为实数集R,关于原
点对称.因为f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2| =-(|x-2|-|x+2|)=-f(x), 所以函数f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数. 答案:奇

【误区警示】

【防范措施】 1.定义域优先的原则 由奇偶函数的定义,“对于函数定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)”,不难得到,具有奇偶性的函 数的定义域必是关于原点对称.因此,判断函数的奇偶性,必 先判定函数的定义域是否关于原点对称.

2.注意图象的变换 一些常用的图象平移、变换要牢记,如本例中函数 f(x)=|x-5|,就是要根据 y=|x|的图象特征来平移得到,因 为函数y=|x|的图象关于y轴对称,而向右平移5个单位后图象 就不再关于y轴对称,故可得结论.

1.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有(
A.f(x)-f(-x)>0

)

B.f(x)-f(-x)≤0

C.f(x)·f(-x)≤0

D.f(x)·f(-x)>0

【解析】选C.奇函数满足f(-x)=-f(x),

所以f(-x)·f(x)≤0.

2.y=f(x)(x∈R)是奇函数,则它的图象经过点( A.(-a,-f(-a))
1 C.(a,f( )) a

)

B.(-a,f(a)) D.(-a,-f(a))

【解析】选D.y=f(x)(x∈R)是奇函数,则它的图象经过 (-a,f(-a)),又f(-a)=-f(a),所以函数图象过 (-a,-f(a)).

3.设函数f(x)(x∈R)为奇函数,x>0时,f(x)=-x,则f(-1)

等于(
A.0

)
B.1
5 C. 2

D.5

【解析】选B.f(-1)=-f(1)=-(-1)=1.

4.偶函数f(x)的定义域为[t-4,t],则t=______.

【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以
(t-4)+t=0,即t=2.

答案:2

5.函数 f ? x ? ? ? ? “偶函数”).

? x ?1 ? x ? , x ? 0 ? ? x ?1 ? x ? , x ? 0

为______(填“奇函数”或

【解析】定义域关于原点对称,且
? ? ?-x ?1 ? x ? ,-x ? 0 ?-x ?1 ? x ? , x ? 0 f ?-x ? ? ? ? ? ? -f ? x ?, -x ? ,-x ? 0 -x ? , x ? 0 ? ? ?-x ?1 ?-x ?1

所以是奇函数. 答案:奇函数

6.已知函数f(x)=x2+4x+3,若g(x)=f(x)+cx为偶函数,求c. 【解析】由已知得g(x)=f(x)+cx=x2+(4+c)x+3,

所以g(-x)=(-x)2+(4+c)(-x)+3=x2-(4+c)x+3.
因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=g(x),

所以2(4+c)x=0.因为x是任意实数,所以4+c=0得c=-4.


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