当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

数学成才之路必修二4章末


第四章

圆的方程

章末归纳总结

人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

一、知识归纳 1.圆的方程 (1)标准式:圆心在点(a,b),半径为r的圆的标准方程
人 教 A 版 数 学

为(x-a)2+(y-b)2=r

2,特别的,当圆心在坐标原点时,圆
的方程为x2+y2=r2; (2)一般式:x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 0). (D2 +E2 -4F>

第四章

圆的方程

2.点与圆的位置关系 点P(x0 ,y0),圆C:F(x,y)=0的圆心C(a,b),半径r,

|PC|=d.
点P在⊙C上?F(x0,y0)=0?d=r. 点P在⊙C内?F(x0,y0)<0?d<r. 点P在⊙C外?F(x0,y0)>0?d>r. 其中F(x,y)=(x-a)2+(y-b)2-r2或F(x,y)=x2+y2+
人 教 A 版 数 学

Dx+Ey+F.

第四章

圆的方程

3.直线与圆的位置关系

(1)代数法.将直线方程与圆方程联立,消去x(或y),
得到关于y(或x)的一元二次方程,Δ>0?直线与圆相交;Δ =0?直线与圆相切;Δ<0?直线与圆相离. (2)几何法.设圆心C到直线距离为d,圆半径为r,则 d<r?直线与圆相交;d=r?直线与圆相切;d>r?直线与
人 教 A 版 数 学

圆相离.

第四章

圆的方程

4.圆和圆的位置关系 (1)代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程 组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方 .. 程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解, .. 两圆相离.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

(2)几何法:设两圆半径分别为r1 ,r2 ,两圆心分别为

C1,C2,则
当|C1C2|>r1+r2时,两圆相离; 当|C1C2|=r1+r2时,两圆外切; 当|C1C2|=|r1-r2|时,两圆内切; 当|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2时,两圆相交;
人 教 A 版 数 学

当|C1C2|<|r1-r2|时,两圆内含.

第四章

圆的方程

5.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系通常按右手规则建立.

(2)点P的坐标的确定,首先将点P向xOy平面投影为P′,
过P′作x轴、y轴的平行线与x轴、y轴各交于一点,进而确定 点的坐标. (3)空间两点的距离公式 给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)那么
|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

二、方法规律总结

1.判断点与圆的位置关系,直接将点的坐标代入圆的
方程,看结果的符号确定. 点P在圆内时,过点P的直线与圆必相交,相交弦长有 最大(小)值,其中直径最大,垂直于直径的,即以P为中点 的弦长最短.
人 教 A 版 数 学

点P在圆上时,过P点有且仅有一条圆的切线,过切点
垂直于切线的直线必过圆心.

第四章

圆的方程

点P在圆外时,圆上所有点到点P的距离有最大(小)值;

由点P向圆可引两条切线,若用点斜式求切线方程只得出一
条,则必漏掉了过P垂直于x轴的那一条;若圆心为C,则 两切点连线被PC垂直平分,切线长问题通常通过切点、圆 心和点P构成的直角三角形求解.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

2.判断直线与圆的位置关系一般用几何法,有时也用

代数法,直线与圆相交时,弦长问题主要解“半弦2+弦心
距2=半径2”;直线与圆相切时,主要通过d=r求解;直线 与圆相离时,圆上所有点到直线的距离有最大(小)值. 3.判断圆与圆的位置关系,主要用|C1C2|与R、r的关 系进行.
人 教 A 版 数 学

4.熟悉常见表达式的几何意义,熟练用数形结合法讨
论问题.

第四章

圆的方程

5.轨迹问题 通过对方程的讨论来研究曲线的性质和根据已知条件

求出曲线的轨迹方程,这是解析几何中的两大基本问题,
在高考中,为常考的内容之一. 根据已知条件,求出平面内曲线的轨迹方程,是解析 几何内容的重点、难点,因此,掌握好求轨迹方程的一般 步骤和方法是非常必要的.
人 教 A 版 数 学

求轨迹的常用方法:直接法、代入法(转移法)、待定
系数法、参数法等.

第四章

圆的方程

(1)直接法:直接法是求轨迹方程最基本的方法.通过 直接建立x、y之间的关系,构成F(x,y)=0即是.

(2)待定系数法:已知所求曲线是所学过的曲线如:直
线、圆等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件 确定其待定系数,代回所列方程即得. (3)代入法(又称转移法):若动点P(x,y)依赖于已知曲 线上的另一动点Q(x′,y′)而运动,且可求出关系式x′=f(x,
人 教 A 版 数 学

y),y′=g(x,y),于是将这个Q点坐标表达式代入已知曲线
的方程,化简后得P点的轨迹方程.

第四章

圆的方程

6.求圆的方程时,题设条件的应用 (1)圆过三个点A、B、C,则圆心为直线AB、AC的中

垂线的交点P,半径r=|PA|,或设一般式代入点的坐标解三
元一次方程组,求D、E、F. (2)圆过两点A、B,则(一)圆心在AB的中垂线上;(二) 设圆的方程将A、B点坐标代入. (3)圆心在已知直线上,(一)考虑圆心是否还在另一条
人 教 A 版 数 学

直线上,由两直线方程联立求圆心坐标;(二)设圆心坐标,
将圆心坐标用一个参变量表示,如圆心在直线x+2y-1=0 上可设圆心C(-2b+1,b).

第四章

圆的方程

(4)圆与直线相切,(一)圆心到切点距离等于圆的半径; (二)圆心到切线距离等于圆的半径;(三)圆心在过切点与切

线垂直的直线上;(四)设圆心C(a,b),若圆与x轴相切,则
r=|b|,若圆与y轴相切,则r=|a|.
(5)圆与直线相交, (一)半径 2=半弦 2+弦心距 2; (二) 相交弦长为 1+k2|x1-x2|;(三)圆心在弦的中垂线上.
人 教 A 版 数 学

(6)圆与定圆相切,要区分内切、外切,考虑|C1C2|与R、
r关系.

第四章

圆的方程

(7)过直线l:Ax+By+C=0与⊙C:(x-a)2+(y-b)2=

r2的交点的圆可设为(x-a)2+(y-b)2-r2+λ(Ax+By+C)=
0. 过两圆(x-a)2 +(y-b)2 =r2 与(x-m)2 +(y-n)2 =R2 的 交点的圆的方程可设为(x-a)2+(y-b)2-r2+λ[(x-m)2+(y -n)2-R2]=0.(不包括后一个圆且λ≠-1)
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

一、圆的方程 [例1] 求与x轴切于点(5,0),并在y轴上截取弦长为10 由于所求的圆与x轴切于点(5,0),所以圆心必
人 教 A 版 数 学

的圆的方程.
[分析] 在直线x=5上,可设所求圆的圆心坐标为(5,b),显然所求 圆半径为r=|b|. [解析] 解法1:设所求圆的方程(x-5)2+(y-b)2=b2,

它与y轴交于A(xA,yA),B(xB,yB)
?(x-5)2+(y-b)2=b2 ? 由? ?x=0 ?

得 y2-2by+25=0

第四章

圆的方程

由韦达定理得 yA+yB=2b,yA·yB=25

∵|yA-yB|=10
∴(yA-yB)2 =(yA+yB)2-4yAyB =4b2-100=100
人 教 A 版 数 学

∴b=± 2 5 故所求圆方程(x-5)2+(y± 2)2=50 5

第四章

圆的方程

解法 2:如图,过圆心 C 作 CM⊥AB,垂足 M,由平 面几何知识得|AM|=|BM|=5 又已知|MC|=5,|AC|=r,故在 Rt△AMC 中,r2=52 +52,即|r|=5 2,∴圆心 C(5,± 2),r=5 2,∴方程 5 为(x-5)2+(y± 2)2=50. 5
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

[例2]

求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+

y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程.
[解析] 解法
?x2+y2-4x-6=0 ? 1:由? 2 2 ?x +y -4y-6=0, ? ?x =-1 ? 1 ∴? ?y1=-1, ?



?y=x ? ? 2 ?x +y2-4y-6=0 ?

?x =3 ? 2 或? ?y2=3 ?

人 教 A 版 数 学

∴两圆 x2+y2-4x-6=0 和 x2+y2-4y-6=0 的交点分 别为 A(-1,-1)、B(3,3). 线段 AB 的垂直平分线方程为 y-1=-(x-1).

第四章

圆的方程
?x=3 ? 得? ?y=-1, ?
人 教 A 版 数 学

?y-1=-(x-1) ? 由? ?x-y-4=0, ?

∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为 (3-3)2+(3+1)2=4. ∴所求圆的方程为 (x-3)2+(y+1)2=16.

第四章

圆的方程

解法2:同解法1求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则
?a-b-4=0 ? 2 2 2 ?(-1-a) +(-1-b) =r ?(3-a)2+(3-b)2=r2, ? ?a=3 ? ??b=-1 ?r2=16 ?
人 教 A 版 数 学

∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.

第四章

圆的方程

解法3:设经过已知两圆的交点的圆的方程为 x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1).
? 2 2λ ? ? 则其圆心坐标为?1+λ,1+λ?, ? ? ?
人 教 A 版 数 学

∵所求圆的圆心在直线 x-y-4=0 上, 2 2λ 1 ∴ - -4=0,λ=-3, 1+λ 1+λ 1 2 2 ∴所求圆的方程为 x +y -4x-6-3(x +y -4y-6)
2 2

=0,即 x2+y2-6x+2y-6=0.

第四章

圆的方程

解法4:所求圆经过两圆的交点A,B.故圆心必在线段 AB的中垂线(即连心线)上,两圆圆心C1(2,0),C2(0,2), x y 连心线方程2+2=1.即 x+y=2.

又圆心在直线 x-y-4=0 C(3,-1).

?x+y-2=0 ? 上,由? ?x-y-4=0 ?

得圆心

人 教 A 版 数 学

由 x2+y2-4x-6=0 与 x2+y2-4y-6=0 相减得直线 AB 方程 x-y=0,圆 x2+y2-4x-6=0,圆心 C1(2,0),半 径 r= 10,C1 到 AB 距离 d= 2,

第四章

圆的方程

1 ∴半弦长 |AB|=2 2, 圆心(3, -1)到直线 AB 距离 2 |3+1| d′= =2 2,∴半径 R=4, 2 ∴圆方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

总结评述:解法1是求出两已知圆的交点、所求圆的 圆心及半径,得出了圆的方程.解法2求出了两已知圆的交

点,设出圆的标准方程,用待定系数法求出了圆的方
程.解法3是利用过两曲线交点的曲线系方程的特点,利用 待定系数法求出λ得出圆的方程.解法4运用平面几何知识 求圆心,在不求圆的方程只求圆心时,用此法较为方便. 本例给出以上解法,目的是帮助学生拓展思路,融汇
人 教 A 版 数 学

知识.

第四章

圆的方程

二、直线与圆的位置关系 [例3] 求过圆x2 +y2 -2x+4y-15=0上一点P(-1,2)
人 教 A 版 数 学

的切线方程.
[解析] 解法1:设l:y-2=k(x+1)
?y-2=k(x+1) ? 由? 2 2 ?x +y -2x+4y-15=0 ?

消去 y 得,

(k2+1)x2+2(k2+4k-1)x+(k2+8k-3)=0 1 由 Δ=16(2k-1) =0 得 k=2
2

第四章

圆的方程

∴切线方程为 x-2y+5=0 解法 2:将圆方程化为(x-1)2+(y+2)2=(2 5)2,得 圆心坐标 A(1,-2),∴kPA=-2, 1 故过 P 点切线斜率为 , 2 ∴切线方程 x-2y+5=0.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

解法 3:设切线方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+2+k=0,由题意知圆心 A(1,-2)到切线的距离 |2k+4| 等于圆的半径 2 5.∴ 2=2 5, 1+k 1 解得 k= .故所求切线方程为 x-2y+5=0. 2
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

总结评述:求过定点的圆的切线方程时,首先要判断 定点在圆上还是在圆外.若用切线的点斜式方程,不要忽 略斜率不存在的情况,如求过 P(1,2)的圆 x2+y2=1 的切线 |2-k| 方程时,若设切线方程为 y-2=k(x-1),则由 2=1, 1+k 3 只能求出 k= ,从而只能求出一条切线方程 3x-4y+5= 4 0.但由图可知 x=1 也是圆的一条过点 P 的切线, 应补全. 遇 直线与圆相切,最优方法就是用圆心到直线距离等于半径.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

[例4]

已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,点P(2,-1),

过P点作圆C的切线PA、PB,A、B为切点.

(1)求PA、PB所在直线的方程;
(2)求切线长|PA|; (3)求AB的方程. [解析] (1)设切线的方程为y+1=k(x-2),
即 kx-y-2k-1=0,又 C(1,2),半径 r= 2, |k-2-2k-1| 由点到直线的距离公式得: 2= k2+1
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

解之得:k=7或k=-1. 故所求切线PA、PB的方程分别是x+y-1=0和7x-y

-15=0.
(2)连结AC、PC,则AC⊥AP,在Rt△APC中,
|AC|= 2. |PC|= (2-1)2+(-1-2)2= 10 ∴|PA|= |PC|2-|AC|2= 10-2=2 2
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

(3)解法1:A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (x1-1)2+(y1-2)2=2,

(x2-1)2+(y2-2)2=2.

y1-2 y1+1 ∵CA⊥AP,∴kCA·AP=-1,即 k · =-1 x1-1 x1-2
变形得(x1-1)2+(y1-2)2+3y1-x1-5=0 ∵(x1-1)2+(y1-2)2=2

人 教 A 版 数 学

∴上式可化简为x1-3y1+3=0
同理可得:x2-3y2+3=0 ∵A、B两点的坐标都满足方程x-3y+3=0, ∴直线AB的方程是x-3y+3=0.

第四章

圆的方程

解法2:∵∠CAP=∠CBP=90° ∴A、B两点在以CP为直径的圆上.
CP
?3 1? 1 ? , ?,又 |CP|= 的中点坐标为 2 2 2 ? ?

10 2

∴以 CP 为直径的圆的方程为:
? 3?2 ? 1?2 ? ?x- ? +?y- ? =? 2? ? 2? ? ? ?

10?2 ? 2 ? ?

人 教 A 版 数 学

即x2+y2-3x-y=0
x2+y2-2x-4y+3=0




又圆C:(x-1)2+(y-2)2=2的一般方程为:

第四章

圆的方程

②-①得:x-3y+3=0为直线AB的方程. 解法3:以P为圆心PA为半径的圆方程为(x-2)2+(y+ 1)2=8,与⊙C的方程作差得公共弦AB所在直线方程为x- 3y+3=0.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

三、数形结合法

[例 5]

直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且仅有一 ( )
人 教 A 版 数 学

公共点,则 b 的取值范围是 A.|b|= 2 B.-1<b≤1,或 b=- 2 C.-1≤b≤1 D.以上结论均不对

第四章

圆的方程

[分析]

作出曲线 x= 1-y2和直线 y=kx+b, 利用图

形直观考查它们的关系,寻找到问题的解决办法.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

[解析]

将曲线 x= 1-y2变为 x2+y2=1(x≥0),当直
人 教 A 版 数 学

|0-0-b| 2 2 线 y=x+b 与曲线 x +y =1 相切时,则满足 =1, 2 |b|= 2,b=± 2,观察右图,可得当 b=- 2或-1<b≤1 时,直线与曲线 x= 1-y2 有且仅有一个公共点.∴应选 B.

第四章

圆的方程

[例6]

(09~10学年湖南邵阳二中高一期末)在圆x2+y2 )
人 教 A 版 数 学

=4上与直线4x+3y-12=0距离最近的点是(
8 6 A.( , ) 5 5 8 6 C.(5,-5) 8 6 B.(- , ) 5 5 8 6 D.(-5,-5)

第四章

圆的方程

[解析]

如图,过圆心(0,0)作直线 4x+3y-12=0 的

垂线,垂线方程为 3 y=4x.① ? 3 ?y= x, 解方程组? 4 ?x2+y2=4. ? 8 6 解得 x=± ,y=± . 5 5 8 6 8 6 故交点为(-5,-5)或(5,5).
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

8 6 点(- ,- )是与直线 4x+3y-12=0 距离最远时的 5 5 8 6 点,而点(5,5)是与直线 4x+3y-12=0 距离最近的点.∴ 应选 A.

[点评]

画出直线与圆的草图观察知距离最小的点应

人 教 A 版 数 学

在第一象限,故选A.

第四章

圆的方程

四、直接法求动点的轨迹方程 [例7] 在正三角形ABC内有一动点P,已知P到三个顶
人 教 A 版 数 学

点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|且满足|PA|2 =|PB|2 +|PC|2 ,
求点P的轨迹方程.

[解析] 以 BC 的中点为原点, 所在的直线为 x 轴, BC BC 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,设点 M(x,y)是轨 迹上的任意一点,B、C 的坐标分别为 B(-a,0)、(a,0)(如 右图),则点 A 的坐标为(0, 3a)

第四章

圆的方程

所求的轨迹就是集合 M={P||PA|2=|PB|2+|PC|2}, ∴x2+(y- 3a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2 化简得 x2+(y+ 3a)2=(2a)2 ∴(y+ 3a)2=4a2-x2≤4a2 ∴-2a- 3a≤y≤2a- 3a, 由图可知 y>0, 从而 0<y≤(2- 3)a,故所求的轨迹方程为 x2+(y+ 3a)2 =4a2(0<y≤(2- 3)a).
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

五、代入法求动点的轨迹方程

[例8]

已知△ABC,A(-2,0),B(0,2),C在曲线y=3x2
由于A、B是定点,C是动点,重心G的运动是
人 教 A 版 数 学

-1上运动,求△ABC的重心的轨迹方程. [分析] 由C的运动引起的,而C的轨迹方程已知,故考虑代入法.

第四章

圆的方程

[解析]

设△ABC 的重心为 G(x, C 的坐标为(x1, 1), y), y
?x =3x+2 ? 1 ∴? ?y1=3y-2 ?

? -2+0+x1 ?x= , 3 ? 则? ? 0+2+y1 ?y= 3 ?

∵C(x1,y1)在曲线 y=3x2-1 上运动, 13 ∴3y-2=3(3x+2) -1,∴y=9x +12x+ 3
2 2

人 教 A 版 数 学

∵AB 方程为 y=x+2. ?y=x+2 ? -11± 37 由? 13 得 x= 2 18 ?y=9x +12x+ 3 ?

第四章

圆的方程

-11± 37 当 x= 时,A、B、C 共线不合题意, 18 -11± 37 ∴x≠ 18 -11± 37 13 所求轨迹方程 y=9x +12x+ 3 (x≠ ). 18
2
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

六、几何法求轨迹方程 [例9] 互相垂直的两条直线l1 和l2 的交点为P(a,b),
人 教 A 版 数 学

长为2r的线段MN的两端点分别在l1和l2上滑动,求线段MN
的中点Q的轨迹.

[解析]

由题意,△MPN 为直角三角形,PQ 为斜边

1 MN 上的中线,∴|PQ|=2|MN|=r,(P,M,N 共线时,此 结论亦对),∴点 Q 的轨迹是以 P 为圆心,以 r 为半径的 圆.其方程为 (x-a)2+(y-b)2=r, 即(x-a)2+(y-b)2=r2.

第四章

圆的方程

总结评述:求轨迹问题不仅要求出轨迹方程,还要
指出曲线形状.
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

七、新定义题型 [例10] (08·上海文)如图,在平面直角坐标系中,Ω
人 教 A 版 数 学

是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的
定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分 点.若点P(x,y)、点P′(x′,y′)满足x≤x′且y≥y′,则称P优于 P′.如果Ω中的点Q满足:不存在Ω中的其它点优于Q,那么 所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )

第四章

圆的方程

人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

八、综合问题

[例11]
求m的值.

已知圆x2 +y2 +x-6y+m=0与直线x+2y-3
教 A 版 数 学

=0的两个交点分别为P、Q,O为坐标原点,满足OP⊥OQ,人

第四章

圆的方程

[解析]

方法

? 1? 2 1:将圆的方程变形为?x+2? +(y-3)2 ? ?

? 1 ? 37 = 4 -m.则圆心为 O1?-2,3?,半径长为 ? ?

37 4 -m,如图

所示,设 M(x0,y0)为弦 PQ 的中点,设 P(x1,y1),Q(x2, y2),则由垂径定理可得:O1M⊥PQ.将直线方程与圆方程 联立,消去 y 可得:5x2+10x+4m-27=0,故 x1+x2=- 2.

人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

x1+x2 ∵M 为 PQ 的中点,∴x0= =-1, 2 又点 M 在直线 x+2y-3=0 上,故 y0=2. ∴M 点的坐标为(-1,2). 故|O1M|=
? 1 ? ?- +1?2+(3-2)2= ? 2 ?
人 教 A 版 数 学

5 . 2

由 OP⊥OQ,可得△OPQ 为直角三角形. 由平面几何知识可知: |PM|=|MQ|=|OM|= (-1)2+22= 5.

第四章

圆的方程

在 Rt△PMO1 中,|O1M|2+|PM|2=|O1P|2.
? 即? ? ?

5?2 ? +( 2? ?

37 5) = 4 -m.解得 m=3.
2

人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

方法 2:由方法 1,直线方程与圆的方程联立,消去 y 得,5x2+10x+4m-27=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2).由根 4m-27 1 与系数的关系可得,x1·2= 5 ,x1+x2=-2,∴y1y2=2 x 1 1 1 (3-x1)· (3-x2)= [9-3(x1 +x2)+x1x2]= [9-3×(-2)+ 2 4 4 4m-27 m+12 由已知 OP⊥OQ 得,1x2+y1y2=0, x1·2 x 将 x 5 ]= 5 , 4m-27 m+12 = 5 ,y1·2= 5 代入可得,m=3. y
人 教 A 版 数 学

第四章

圆的方程

人 教 A 版 数 学


相关文章:
高中数学必修二、第4章 章末检测
高中数学必修二、第4章 章末检测_理化生_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学必修二、第4章 章末检测_理化生_高中教育_教育专区。...
数学必修四成才之路2章末
2 章末一、选择题 1.(2009·湖南)如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则( ) →→→ A.AD+BE+CF=0 →→→ B.BD-CF+DF=0 →→...
数学:第二章章末归纳总结习题 成才之路(人教A版必修2)
数学:第二章章末归纳总结习题 成才之路(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 89份文档 爆笑大撞脸 超爆笑笑话 有趣及爆笑图片汇集 绝对经典搞笑照片...
成才之路人教A版数学必修2-2.1.3、4
成才之路人教A版数学必修2-2.1.3、4_数学_高中教育_教育专区。第二章一、选择...α. 正确的个数为( A.1 个 C.3 个 [答案] B ) B.2 个 D.4 个 ...
成才之路人教A版数学必修2-2.3.4
成才之路人教A版数学必修2-2.3.4_数学_高中教育_教育专区。第二章一、选择题...第二章一、选择题 1.在空间中,下列命题正确的是( ) 2.3 2.3.4 A.若...
北师大版数学必修二章末检测卷 (4)
北师大版数学必修二章末检测卷 (4)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 北师大版数学必修二章末检测卷 (4)_数学_高中教育_教育专区...
必修二4章末
高一数学必修二成才之路4-... 4页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...必修二 4 章末 一、选择题(每小题 3 分,共 60 分) 选择题 每小题 1....
成才之路人教A版数学必修2-2.1.2
成才之路人教A版数学必修2-2.1.2_数学_高中教育_教育专区。第二章一、选择题...2 2 1 2 EF 2 4 10 在等腰△EBF 中,cos∠FEB= ==, BE 5 10 2 ∴...
数学必修二第四章测试题
数学必修二四章测试题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数学必修二四章测试...(x+1)2+(y+1)2=4 ). 3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的...
高中数学成才之路必修4。模块综合素质检测题
7页 1财富值 数学成才之路必修四2章末 5页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
更多相关标签:
成才之路数学必修一 | 成才之路数学必修四 | 成才之路数学必修五 | 成才之路物理必修二 | 物理必修一成才之路 | 数学成才之路答案 | 成才之路数学 | 成才之路 |