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相似三角形判定巩固与提高


相似三角形判定巩固与提高
1. (2012?株洲)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线 MN 对折,使 A、C 重合,直线 MN 交 AC 于 O. (1)求证:△COM∽△CBA; (2)求线段 OM 的长度.

2、 (2013?巴中)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥ BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠ AFE=∠ B (1)求证:△ ADF∽ △ DEC; (2)若 AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求 AE 的长.

3、 (2013?徐州)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,翻折∠ C,使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处,折痕为 EF(点 E、F 分别在边 AC、BC 上) (1)若△ CEF 与△ ABC 相似. ① 当 AC=BC=2 时,AD 的长为 ; ② 当 AC=3,BC=4 时,AD 的长为 ; (2)当点 D 是 AB 的中点时,△ CEF 与△ ABC 相似吗?请说明理由.

4.如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5 是 △DEF 边上的 5 个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明三角形△ABC 为直角三角形; (2)判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由; (3)画一个三角形,它的三个顶点为中的 3 个格点并且与△ABC 相 似; (要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明)

5、 (2013?株洲)已知在△ ABC 中,∠ ABC=90°,AB=3,BC=4.点 Q 是线段 AC 上的一个动点,过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图 1)或线段 AB 的延长线(如图 2)于点 P. (1)当点 P 在线段 AB 上时,求证:△ APQ∽ △ ABC; (2)当△ PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长.

6、 (2013?苏州)如图,点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,连接 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E,连 接 BP 并延长交边 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G. (1)求证:△ APB≌ △ APD; (2)已知 DF:FA=1:2,设线段 DP 的长为 x,线段 PF 的长为 y. ① 求 y 与 x 的函数关系式; ② 当 x=6 时,求线段 FG 的长.

7、 (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠ DAB,∠ ADC=∠ ACB=90°,E 为 AB 的中点, (1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥ AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值.
2

8.如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b. (1)当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时,△ABC∽ △CDB? (2)过 A 作 BD 的垂线,与 DB 的延长线交于点 E,若△ABC∽ △CDB. 求证四边形 AEDC 为矩形(自己完成图形) .

9.如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,EF⊥EC 交 AB 于 F,连结 FC (AB>AE) . (1)△AEF 与△EFC 是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;

AB (2)设 BC =k,是否存在这样的 k 值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出 k 的值;若
不存在,说明理由.

10.如图,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD=x, CE=y (l)如果∠BAC=300,∠DAE=l050,试确定 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如果∠BAC=α ,∠DAE=β ,当α , β 满足怎样的关系时,(l) 中 y 与 x 之间的函数关系式还成立?试 说明理由.

11.如图,Rt△AB ?C ? 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的,连结 CC ? 交斜边于点 E,CC ? 的延长线 交 BB ? 于点 F. (1)证明:△ACE∽△FBE; (2)设∠ABC= ? ,∠CAC ? = ? ,试探索 ? 、 ? 满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是全等三角形,并说 明理由.
B C' E F B'

C

A

12、 如图, 在△ ABD 和 ACE 中,AB ? AD, AC ? AE, ?BAD ? ?CAE , 连接 BC , DE 相交于点 F ,BC 与 AD 相交于点 G . (1)试判断线段 BC , DE 的数量关系,并说明理由; (2)如果 ?ABC ? ?CBD ,那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗?并说明理由. B D A G F E

C

13.如图, 四边形 ABDC 中,∠ABD=∠BCD=Rt∠,AB=AC,AE⊥BC 于点 F,交 BD 于点 E.且 BD=15,CD=9.点 P 从点 A 出发沿射线 AE 方向运动,过点 P 作 PQ⊥AB 于 Q,连接 FQ,设 AP=x,(x>0). (1) 求证:△ABE∽△BCD; (2) 求线段 AF 的长; (3) 是否存在一点 P,使△PQF 是以点 P 为顶角顶点的等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的 值;若不存在,请说明理由.
A

Q

P F

C

B E

D

14.如图:四边形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交于点 M,且 AC⊥AB,BD⊥CD,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 交 BD 于点 F。 2 求证: (1)△AMB∽△DMC (2)AB =BF·BD A M F B E C D


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