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高二数学(W)竞赛题


永济市涑北中学校

用源。为错误!未找到引用源。的极小值点

2013-2014 学年学科竞赛 高二数学试题
2014 年 5 月 4 日
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1 .下面是关于复数 z ?

C. 错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的极大值点 源。为错误!未找到引用源。

的极小值点

D.错误!未找到引用

7. 等轴双曲线错误!未找到引用源。的中心在原点,焦点在错误!未找到引用源。轴上,错误!未 找到引用源。与抛物线错误!未找到引用源。的准线交于错误!未找到引用源。两点,错误!未找 到引用源。 ;则错误!未找到引用源。的实轴长为( A .错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 误! 未找到引用源。 ) B . 错误!未找到引用源。 错 D. 错

满分 150 分

用时 120 分钟

2 的四 个命题: 其中的真命 题为 ?1 ? i
2

C. 错误! 未找到引用源。 错误! 未找到引用源。

p1 : z ? 2
A. p2 , p3

p2 : z ? 2i
B. p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为1 ? i
C. p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1 (
D. p? , p?



误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 8. 设 F1 F2 是椭圆错误!未找到引用源。的左、右焦点,错误!未找到引用源。为直线 x ?

3a 上一 2

2.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x) 为[0,1]上的增函数”是“ f ( x) 为[3, 4]上的减函数”的 A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.充要条件 则 a10 ? b10 ?( )

点, F PF 是底角为 30 的等腰三角形,则错误!未找到引用源。的离心率 错误!未找到引用源。 2 1 为( ) B .错误!未找到引用源。 错 D. 错

A .错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。

C . 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

3. 观察下列各式: a ? b ? 1, a 2 ? b 2 ? 3, a 3 ? b3 ? 4, a 4 ? b 4 ? 7, a 5 ? b5 ? 11, A .28 B .76 C.123 D .199

误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 9. 已知双曲线 C :错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1 ) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 A .错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 B.错误!未找到引用源。-错误!未找 到引用源。=1 C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 D.错误!未找到引用源。

4.函数 f (x)=2x +x3 ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 )

5.已知二次函数 y =f(x)的图像如图所示 ,则它与 X 轴所围图形的面积为(

-错误!未找到引用源。=1 10. 在空间直角坐标系中有直三棱柱错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则直线错误!

A.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.

未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。夹角的余弦值为( A . 错误!未找到引用源。 D . 错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引
高二数学(文)第 1 页

) C . 错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。 )

B .错误!未找到引用源。

6.设函数错误!未找到引用源。,则(

A. 错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的极大值点

二、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 11.若复数 z 满足 | z ? i |?

2( i 为虚数单位),则 z 在复平面内所对应的图形的面积为____.


已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

12..曲线 y=x3 -x+3 在点(1,3)处的切线方程为

(1 )求椭圆 C2 的方程; (2 )设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

13. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22,,11,3443,94249 等。显然 2 位回文 数有 9 个:11,22,33 …,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121 ,…,191,202 ,…,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有______ 个; (Ⅱ)2n+1(n∈N+ )位回文数有______ 个。

19. (本小题共 20 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE

14.设 a>0.若曲线

与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a,则 a=______。

∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1 DE 的位置,使 A1 C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1 C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1 BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1 DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

15. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F. 且与该撇物线相交于 A 、 B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60 ?. 则△OAF 的面积为 .

16.在长方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则四棱锥错 误!未找到引用源。的体积为_________cm3.

三、解答题 17.(本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? ae x ?

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

命题人:李小军
3 x ;求 a , b 的值。 2

18. (本小题满分 20 分)
高二数学(文)第 2 页

高二数学(文)答卷页
一、选择题(每空 6 分共 60 分) 二、(每小题 6 分,共 36 分) 11、 13、 ( I) 12、 (II) 15、____________________

14、_____________________ 16、__________________

三、 (14 分+20 分+20 分=54 分) 17、

高二数学(文)答卷页

高二数学(文)竞赛答案
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1 . 【解析】选 C
2.D 3.

7.

4. 答案.B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的 数学能力. 【解析】解法 1:因为 f (0)=1+0 ? 2= ? 1, f (1)=2+23 ? 2=8 ,即 f (0) ? f(1)<0 连续不断,故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.
8 解法 2:设 y1 =2x , y2 =2 ? x3 ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知 B 正确 .

8. 且函数 f (x) 在 (0,1) 内

6

9. 【答案】A 【解析】设双曲线 C :错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 的半焦距为错误!未找到引用

5. 【答案】B 【解析】由题意知, 二次函数 y =f(x)的图像与 X 轴所围图形的面积为错误!
2 4

源。 ,则错误!未找到引用源。 . 又错误!未找到引用源。 C 的渐近线为错误!未找到引用源。 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,错误! 未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 .
5 5

未找到引用源。 =
10 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 , 所以选 B.

又错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 C 的方程为错误!未找到引用 源。 -错误!未找到引用源。 =1. 10.

10

【考点定位】本小题考查利用定积分求平面图形的面积问题, 不难. 定积分是 理科生高考的热点分问题之一, 几乎年年必考, 熟练其基础知识是解决好本类

2

4

题目的关键. 6.
6

高二数学(文)答案第 1 页
8

二、填空题(每小题 6 分,共 36 分)

11. 【解析】 2?
12.. 13.

14.

15.

三、解答题

1 1 a 2t 2 ? 1 ? ?b ? y ? a? 2 ? 17. 【解析】 (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ? at at at 2
x

16.

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数 at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ? b a 1 ?b ? 2?b ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? at 1 x 当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 a 1 1 x x (II) f ( x) ? ae ? x ? b ? f ?( x) ? ae ? x ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?
高二数学(文)答案第 2 页

1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e 由题意得: ? ?? 3?? f ?(2) ? ? ? ae 2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ?
18.

? 平面 BCDE 。 ? AC 1

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , 0, 0 ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , 3, 0 ? , E ? ?2 , 2, 0? ∴ A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , ? 1, 0? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , z?

?

?

?

?

? ?A B ? n ? 0 则? 1 ? ? A1 E ? n ? 0
∴n ? ?1 ,2 , 3

?3 y ? 2 3z ? 0 ? ∴? ? ??2 x ? y ? 0

? 3 z? y ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

?

? ? ?
C (0,0,0) x

D (-2,0,0)

又∵M ?1 ,0 , 3

?

∴CM ? ?1 ,0 , 3 ∴cos ? ?

?

CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45 ? 。 (3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , a, 0? ,则 a ? ? 0 , 3?

a, 0? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 ,
设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ? ,

?

?

? ?ay ? 2 3z1 ? 0 则? 1 ? ?2 x1 ? ay1 ? 0
∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a 19.解: (1)
CD ? DE , A1 E ? DE

? 3 z ? ay ? ? 1 6 1 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 1 ? ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。

? DE ? 平面 A1CD ,

AC ? 平面 A1CD , 1 ? DE ? AC 1

又 A1C ? CD ,
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