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常见递推数列求通项公式方法


递推数列通项求解方法举隅 类型一: a n ? 1 ? p a n ? q ( p ? 1 ) 思路 1(递推法) a n ? p a n ?1 ? q ? p ( p a n ? 2 ? q ) ? q ? p ? p ? p a n ? 3 ? q ? ? q ? ? q ? : ? ? …… ? p
n ?1

a1 ? q (1 ? p ?

p ? … ? p
2

n?2

? q ? q n ?1 ) ? ? a1 ? ? 。 ?? p p ?1? 1? p ?
q p ?1

思路 2(构造法) :设 a n ? 1 ? ? ? p ? a n ? ? ? ,即 ? ? p ? 1 ? ? q 得 ? ?

,数列

?an

? ? ? 是以 a 1 ? ? 为首项、 p 为公比的等比数列,则 a n ?

? q ? n ?1 ? ? a1 ? ? p ,即 p ?1 ? p ?1? q

? q ? n ?1 q a n ? ? a1 ? ? 。 ? p p ?1? 1? p ?

例1

已知数列 ? a n ? 满足 a n ? 2 a n ?1 ? 3 且 a1 ? 1 ,求数列 ? a n ? 的通项公式。

解:方法 1(递推法) :
a n ? 2 a n ? 1 ? 3 ? 2 ( 2 a n ? 2 ? 3) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 a n ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? …… ? ?

? 2

n ?1

? 3(1 ? 2 ? 2 ? … ? 2
2

n?2

3 ? n ?1 3 ? n ?1 ) ? ?1 ? ? ? 2 ? 3。 ??2 2 ?1? 1? 2 ?

方法 2 (构造法) a n ? 1 ? ? ? 2 ? a n ? ? ? , ? ? 3 , 数列 ? a n ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 :设 即 ? 为首项、 2 为公比的等比数列,则 a n ? 3 ? 4 ? 2 类型二: a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 思路 1(递推法) :
a n ? a n ?1 ? f ( n ? 1) ? a n ? 2 ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 1) ? a n ? 3 ? f ( n ? 3) ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 1) ?
n ?1

? 2

n ?1

,即 a n ? 2

n ?1

? 3。

… ? a1 ?

?

n ?1

f (n) 。

i ?1

思路 2(叠加法) a n ? a n ?1 ? f ( n ? 1) ,依次类推有: a n ?1 ? a n ? 2 ? f ( n ? 2 ) 、 :
1

a n ? 2 ? a n ? 3 ? f ( n ? 3) 、…、 a 2 ? a1 ? f (1) ,将各式叠加并整理得 a n ? a 1 ?

?

n ?1

f ( n ) ,即

i ?1

a n ? a1 ?

?

n ?1

f (n) 。

i ?1

例 2 已知 a1 ? 1 , a n ? a n ? 1 ? n ,求 a n 。 解: 方法 1 (递推法) a n ? a n ?1 ? n ? a n ? 2 ? ( n ? 1) ? n ? a n ? 3 ? ( n ? 2) ? ( n ? 1) ? n ? : …… ? a1 ? [2 ? 3 ? … ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 1) ? n ] ?

?n?
i ?1

n

n ( n ? 1) 2



方法 2 (叠加法) a n ? a n ? 1 ? n , : 依次类推有:a n ?1 ? a n ? 2 ? n ? 1 、a n ? 2 ? a n ? 3 ? n ? 2 、 …、
a 2 ? a1 ? 2 ,将各式叠加并整理得 a n ? a 1 ?

? n ,a
i?2

n

n

? a1 ?

?n??n?
i?2 i ?1

n

n

n ( n ? 1) 2



类型三: a n ? 1 ? f ( n ) ? a n 思路 1(递推法) :
a n ? f ( n ? 1) ? a n ?1 ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 2) ? a n ? 2 ? f ( n ? 1) ? f ( n ? 2) ? f ( n ? 3) ? a n ? 3 ? …

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) ? a1 。
an a n ?1 ? f ( n ? 1) ,依次类推有: a n ?1 an?2 an a1 ? f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) 、

思路 2(叠乘法) :

an?2 an?3

? f ( n ? 3) 、…、

a2 a1

? f (1) ,将各式叠乘并整理得

? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) ,即 a n ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 1) ? a1 。

例 3 已知 a1 ? 1 , a n ?

a n ? 1 ,求 a n 。 n ?1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1 n ? 2 n ? 3 a n ?1 ? ? an?2 ? ? ? an?3 ? … 解: 方法 1 (递推法) a n ? : n ?1 n ?1 n n ?1 n n ?1

n ?1

?

2 n ( n ? 1)


2

方法 2 叠乘法) ( :

an

?

n ?1 n ?1

, 依次类推有:

a n ?1

?

n?2 n



an?2 an?3

?

n?3 n ?1

、 …、

a3

?

2 4



a n ?1 a2 a1 ? 1 3

an?2 ?

a2

,将各式叠乘并整理得

an a1

2 1 n ?1 n ? 2 n ? 3 ? ? ? … ? ? ,即 n ?1 n n ?1 4 3

an ?

n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?…? ? ? 。 n ?1 n n ?1 4 3 n ( n ? 1)

类型四: a n ? 1 ? p a n ? q a n ?1 思路(特征根法) :为了方便,我们先假定 a1 ? m 、 a 2 ? n 。递推式对应的特征方程
2 为 x ? p x ? q ,当特征方程有两个相等实根时, a n ? ? cn ? d ? ? ?

? p? ? ? 2 ?

n ?1

( c 、 d 为待定系

数,可利用 a1 ? m 、 a 2 ? n 求得);当特征方程有两个不等实根时 x1 、 x 2 时,
a n ? ex1
n ?1

? fx 2

n ?1

( e 、 f 为待定系数,可利用 a1 ? m 、 a 2 ? n 求得);当特征方程的根

为虚根时数列 ? a n ? 的通项与上同理,此处暂不作讨论。 例 4 已知 a 1 ? 2 、 a 2 ? 3 , a n ? 1 ? 6 a n ? 1 ? a n ,求 a n 。 解:递推式对应的特征方程为 x ? ? x ? 6 即 x ? x ? 6 ? 0 ,解得 x1 ? 2 、 x 2 ? ? 3 。
2 2

设 a n ? ex1

n ?1

? fx 2

n ?1

,而 a 1 ? 2 、 a 2 ? 3 ,即

9 ? ?e ? 5 ?e ? f ? 2 9 n ?1 1 ? n ?1 ,解得 ? ,即 a n ? ? 2 ? ? ( ? 3) 。 ? 5 5 ?2e ? 3 f ? 3 ?f ? 1 ? 5 ?

类型五: a n ? 1 ? p a n ? rq

n

( p ? q ? 0)
n ?1

思路(构造法) a n ? pa n ?1 ? rq :

,设

?a ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? ? ? ,则 n ?1 q ?q ? an
n

3

p ? ?? ? q ?? q ? p ?a r ? a1 r ? ? ? , 从而解得 ? 。 那么 ? n ? 为首项, ? 是以 ? n n ?1 n p?q? q p?q r ? ? ? ? ? 1 ? q ? rq ?q ? ?? ? ? p?q ?
p q

为公比的等比数列。

例 5 已知 a1 ? 1 , a n ? ? a n ?1 ? 2

n ?1

,求 a n 。
1 ? ? ?? ? 1? ?a ? 2 ? , 解得 ? , ? n ? ? n 3? ?2 ?? ? ? 1 ? 3 ?
n ?1

解: 设

? ?2? ? ?1 ?a ? ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ? , ? 则 n n ?1 n ?1 2 ?2 ? ? ? ? ? ? 1? 2 ? 2 ?

an

n

1 ?1? 是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列,即 n ? ? ? ? ? 2 3 6 ?2? 2 3 6 2

1

1

1

1

an

1

,? a n ?

2 ?1
n



3

类型六: a n ? 1 ? p a n ? f ( n ) ( p ? 0 且 p ? 1 ) 思路(转化法) a n ? pa n ?1 ? f ( n ? 1) ,递推式两边同时除以 p 得 :
n

an p
n

?

a n ?1 p
n ?1

?

f ( n ? 1) p
n

,我们令

an p
n

? b n ,那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例 6 已知 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 4 a n ? 2

n ?1

,求 a n 。
an 4
n

解: a n ? 4 a n ?1 ? 2 ,式子两边同时除以 4 得
n

n

?

a n ?1 4
n ?1

a ?1? ? ? ? ,令 n ? b n ,则 n 4 ?2?
?1? ?? ? ?2?
n?2

n

b n ? b n ?1

?1? ?1? ? ? ? ,依此类推有 b n ? 1 ? b n ? 2 ? ? ? ?2? ?2?
2

n

n ?1

、 bn ? 2 ? bn ? 3

、…、

?1? b 2 ? b1 ? ? ? ,各式叠加得 b n ? b1 ? ?2?

?

n

i?2

?1? ? ? ,即 ?2?
n n

n

b n ? b1 ?

?

n

i?2

1 ?1? ? ? ? ? 2 ?2?

n

?

n

i?2

?1? ? ? ? ?2?

n

?

n

i ?1

?1? ?1? ? ? ? 1? ? ? ?2? ?2?
4

n ? ?1? ? n n n n ? a n ? 4 ? b n ? 4 ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 2 。 ?2? ? ? ? ?

类型七: a n ? 1 ? p a n

r

( an ? 0 )

思路(转化法) :对递推式两边取对数得 log m a n ? 1 ? r log m a n ? log m p ,我们令
b n ? log m a n ,这样一来,问题就可以转化成类型一进行求解了。

例 7 已知 a 1 ? 1 0 , a n ? 1 ? a n ,求 a n 。
2

解:对递推式 a n ? 1 ? a n 左右两边分别取对数得 lg a n ? 1 ? 2 lg a n ,令 lg a n ? b n ,则
2

b n ? 1 ? 2 b n ,即数列 ? b n ? 是以 b1 ? lg 1 0 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,即 b n ? 2

n ?1



因而得 a n ? 10

bn

? 10

2

n ?1


c ? an

类型八: a n ? 1 ?

pan ? d

(c ? 0 )

思路(转化法) :对递推式两边取倒数得

1 a n ?1

?

pan ? d c ? an

,那么

1 a n ?1

?

d c

?

1 an

?

p c



令 bn ?

1 an

,这样,问题就可以转化为类型一进行求解了。

例 8 已知 a 1 ? 4 , a n ? 1 ?

2 ? an 2an ? 1

,求 a n 。
2an ? 1 2an

解:对递推式左右两边取倒数得
1 2 1 2

1 a n ?1

?



1 a n ?1

?

1

?

1

? 1 ,令

1 an

2 an

? bn 则
7 4

bn ?1 ?

b n ? 1 。设 b n ? 1 ? ? ?

? bn

? ? ? ,即 ? ? ? 2 ,? 数列 ? b n ? 2 ? 是以

1 4

?2? ?



首项、

1 2

为公比的等比数列,则 b n ? 2 ? ?
a ? an ? b c ? an ? d

7 2
n ?1

,即 b n ?

2

n?2

?7

2

n ?1

,? a n ?

2 2

n ?1

n?2

?7



类型九: a n ? 1 ?

( c ? 0 、 ad ? bc ? 0 )
5

思路(特征根法) :递推式对应的特征方程为 x ?

ax ? b cx ? d

即 cx ? ( d ? a ) x ? b ? 0 。当
2

? ? ? 1 ? 1 特征方程有两个相等实根 x1 ? x 2 ? ? 时,数列 ? ? 即? a?d ? an ? ? ? ? an ? 2c ?

? ? ? 为等差数列,我 ? ?

们可设

1 a n ?1 ? a?d 2c

? an ?

1 a?d 2c

? ? ( ? 为待定系数,可利用 a 1 、 a 2 求得) ;当特征方程

有两个不等实根 x1 、 x 2 时,数列 ?
a n ? x1

? a n ? x1 ? a 1 ? x1 为首项的等比数列,我们可设 ? 是以 a1 ? x 2 ? an ? x2 ?

? a ? x1 ? n ?1 ?? 1 ( ? 为待定系数,可利用已知其值的项间接求得) ;当特征方程 ??? an ? x2 a1 ? x 2 ? ?

的根为虚根时数列 ? a n ? 通项的讨论方法与上同理,此处暂不作讨论。 例 9 已知 a 1 ?
1 2

, an ?

4 a n ?1 ? 3 a n ?1 ? 2

(n ? 2 ) ,求 a n 。
4x ? 3 x?2

解:当 n ? 2 时,递推式对应的特征方程为 x ?

即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得
2

? a ?1? a 1 ? x1 2 ? ? ? 1 为首项的等比数列,设 x1 ? ? 1 、 x 2 ? 3 。数列 ? n ? 是以 a1 ? x 2 ?2 ? an ? 3 ?
an ? 1 an ? 3 ? ? ? 1? ? ?
n ?1

,由 a 1 ?

1 2

得 a 2 ? 2 则 ? 3 ? ? ? ,? ? ? 3 ,即

an ? 1 an ? 3

? ? ? 1? ? 3

n ?1



?1 ,n ?1 ?2 3 ?1 ? 从而 a n ? n ? 1 ,? a n ? ? n 。 3 ?1 3 ?1 ? ,n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1 ?
n

6


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